（考試時(shí)間：120分鐘；滿分150分）
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1. 志愿服務(wù)，傳遞愛心，傳遞文明，下列志愿服務(wù)標(biāo)志為中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用配方法解一元二次方程時(shí)，下列變形正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為，則a的值為（ ）
A. 0B. C. 1D. －1
4. 一元二次方程根的情況是（ ）
A. 沒有實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D. 無法確定
5. 將拋物線：向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到拋物線，則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A. B. C. D.
6. 對于的性質(zhì)，下列敘述正確的是（ ）
A. 頂點(diǎn)坐標(biāo)為B. 對稱軸為直線
C. 當(dāng)時(shí)，y有最大值2D. 當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小
7. 下列各圖象中有可能是函數(shù)的圖象的是（ ）
A. B. C. D.
8. 將一副三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上，則的度數(shù)為（ ）
第8題圖
A. B. C. D.
9. 如圖，在中，，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），則的度數(shù)為（ ）
第9題圖
A. B. C. D.
10.【新定義】函數(shù)的“向心值”：兩個(gè)不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離，叫做這兩個(gè)函數(shù)的“向心值”.
【問題解決】拋物線與直線的“向心值”為（ ）
A. B. C. 3D. 4
二、填空（本大題共6題，每題4分，共24分）
11. 若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，那么______.
12. 一元二次方程的根是______.
13. 已知，是方程的兩根，則代數(shù)式的值為______.
14. 讀一讀下面的詩詞：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同.詩詞大意是周瑜三十歲當(dāng)上了東吳都督，去世時(shí)年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)小3，個(gè)位數(shù)的平方等于他去世時(shí)的年齡.若設(shè)他去世時(shí)年齡的個(gè)位數(shù)為x，則根據(jù)題意可列出方程______.
15. 如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，，，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______.
第15題圖
16. 已知直線與函數(shù)的圖象至少3個(gè)交點(diǎn)，則b取值范圍是______.
第16題圖
三、解答題（本大題共9小題，共86分）
17.（8分）解下列方程：
（1）（2）
18.（8分）若、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，且.求m的值.
19.（8分）先化簡，再求值：，其中.
20.（8分）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個(gè)單位長度，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.
第20題圖
（1）將向上平移1個(gè)單位長度，再向右平移5個(gè)單位長度后得到的，畫出，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，按要求作出圖形.
21.（8分）如圖所示，在中，，，將繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到.
第21題圖
（1）線段的長是______，的度數(shù)是______；
（2）連接，求證：四邊形是平行四邊形.
22.（10分）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物“江南憶”，融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因，三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”，造型形象生動(dòng)，深受大家的喜愛，某網(wǎng)店售賣“江南憶”玩偶，已知每套玩偶的進(jìn)價(jià)為50元，售價(jià)為80元，每周可賣出200套.為拓展銷量，該店決定調(diào)整價(jià)格，發(fā)現(xiàn)每降價(jià)1元，每周可多賣出10套.假設(shè)每套玩偶降價(jià)x元，每周的利潤為y元，不能因降價(jià)而導(dǎo)致虧損.
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）每套玩偶的售價(jià)定為多少元時(shí)，每周獲得的利潤最大？并求此最大利潤.
23.（10分）如圖，和均為等邊三角形，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)（在直線AC的右側(cè)）.
（1）求證：；
（2）若點(diǎn)C，M，N在同一條直線上，
①求的度數(shù)；
②點(diǎn)M是CN的中點(diǎn)，求證：.
24.（12分）一副三角板如圖1擺放，，，，點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)A在DF上，且AF平分，現(xiàn)將三角板DFE繞點(diǎn)F以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)D落在射線FB上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒.
圖1 圖2
（1）當(dāng)______秒時(shí)，；當(dāng)______秒時(shí)，；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，DF與AB的交點(diǎn)記為P，如圖2，若有兩個(gè)內(nèi)角相等，求t的值.
25.（14分）已知拋物線和直線，且.
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）試說明拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）已知點(diǎn)，且，過點(diǎn)T作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)P，與直線交于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求線段PQ長的最大值.
2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中九年級(jí)數(shù)學(xué)
參考答案
一、選擇題（本大題共10題，每題4分，共40分）
二、填空題（本大題共6題，每題4分，共24分）
11. 1 12. ， 13. 14.
15. 16.
三、解答題（本大題共9小題，共86分）
17.（8分）解：（1）∵，
∴，…………1分
∴，…………3分
∴或…………4分
（2）∵，
∴，…………6分
∴或…………8分
（解法二公式法……略）
18.（8分）解：∵、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，
∴，，……………1分
∵，
∴，……………3分
，
解得：或1，……………5分
當(dāng)時(shí)，方程為，
，此時(shí)方程無解；……………6分
當(dāng)時(shí)，方程為，此題方程有解；……………7分
綜上所述，m的值為1.……………8分
19. 解：原式…………2分
…………3分
………………………5分
當(dāng)時(shí)，
原式………………………8分
20. 解：解：（1）如圖，即為所求.……………3分
點(diǎn)的坐標(biāo)為.……………4分
（2）如圖，即為所求.…………8分
21. 解：（1）5；；………………4分
解：∵，∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴.
故答案為5，；
（2）證明：∵，
∴，………………6分
又∵，
∴四邊形是平行四邊形.………………8分
22. 解：（1）當(dāng)每套玩偶降價(jià)x元時(shí)，每套玩偶的銷售利潤為元，每周可賣出套，
∴每周的利潤，…………3分
∴.………………4分
又∵為拓展銷量，該店決定調(diào)整價(jià)格，不能因降價(jià)而導(dǎo)致虧損，
∴，且，…………5分
∴，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；…………6分
（2）
，…………8分
∵，
∴當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為6250，此時(shí).…………9分
答：當(dāng)每套玩偶的售價(jià)定為75元時(shí)，每周獲得的利潤最大，最大利潤為6250元.…10分
23.（1）證明：∵和是等邊三角形，
∴，，，……………1分
∴，
即，……………2分
在和中，，
∴；……………3分
（2）①解：∵為等邊三角形，
∴，……………4分
∵，
∴，……………5分
∴；……………6分
②證明：∵點(diǎn)M是CN的中點(diǎn)，
∴，…………7分
∵是等邊三角形，
∴，…………8分
∵為等邊三角形，
∴，……………9分
∴MB是AC的垂直平分線，
∴.…………10分
24. 解：（1）3；21
如圖（1），當(dāng)時(shí)，，
∵AF平分，，
∴，
又∵為的一個(gè)外角，
∴，
∴；
如圖（2），當(dāng)時(shí)，
，
∴，∵，
∴，
∴.
故答案為：3；21.
圖（1） 圖（2）
（2）①如圖（3），當(dāng)時(shí)，
∵，∴，
∴；………………7分
②如圖（4），當(dāng)時(shí)，
∵，，
∴，………………8分
∴；………………9分
圖（3） 圖（4）
③如圖（5），當(dāng)時(shí)，
，
∴，………………11分
綜上所述：當(dāng)t為6或15或24時(shí)，有兩個(gè)內(nèi)角相等………………12分
圖（5）
25. 解：依題意得：
.
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；…………………3分
（2）由拋物線兩解析式和直線，
得，
即，
得，
即，
∵，∴，，
∴拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn).…………………7分
（3）由（2）得直線與拋物線的交點(diǎn)為和，
由得，………………8分
當(dāng)時(shí)，如下圖示
.
此時(shí)PQ長的最大值為，又，
∴.…………………10分
當(dāng)時(shí)，如下圖示.
.…………………12分
∵，得當(dāng)時(shí)，PQ有最大值，且最大值為2m，
又∵，
∴，即PQ的最大值為6.…………………13分
綜上所述，PQ的最大值為6.…………………14分
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
A
B
C
B
C
A

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