一、單選題
1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
A.B.C.D.
2．下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是( )
A.B.C.D.
3．將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的解析式是( )
A.B.C.D.
4．已知是一元二次方程的一個解，則m的值是( )
A.1B.0C.0或1D.0或-1
5．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是( )
A.有兩不相等實數(shù)根B.有兩相等實數(shù)根
C.無實數(shù)根D.不能確定
6．點，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是
A.B.C.D.
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，其中一個三角形是由另一個三角形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度得到的，則其旋轉(zhuǎn)中心是( )
A.B.C.D.
8．某小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，由題意所列方程正確的是( )
A.B.C.D.
9．四位同學(xué)在研究函數(shù)（b，c是常數(shù)）時，甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，函數(shù)有最小值；乙發(fā)現(xiàn)是方程的一個根；丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3；丁發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，，已知這四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯誤的，則該同學(xué)是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
10．已知二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）圖象的對稱軸是直線，其圖象的一部分如圖所示，下列說法中：
①；
②；
③當(dāng)時，；
④；
⑤.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.2B.3C.4D.5
二、填空題
11．若y與x的函數(shù)是二次函數(shù)，則______.
12．已知拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-1，則_______.
13．已知關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，則m的值為___.
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點Q，則點Q的坐標(biāo)為_____.
15．已知拋物線，點在拋物線上，則的最大值是_____.
16．如圖，在中，，，點D是線段BC上的動點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至，連接.若，則的最小值為_____.
三、解答題
17．解方程：
（1）；
（2）.
18．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，頂點坐標(biāo)為，則此二次函數(shù)的解析式并寫出y隨x值的增大而增大的x取值范圍？
19．圖，在的方格紙中，的三個頂點都在格點上.
（1）在圖1中，畫出一個與成中心對稱的格點三角形；
（2）在圖2中，畫出繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的三角形.
20．已知關(guān)于x的方程
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若方程有一個小于1的正根，求實數(shù)k的取值范圍.
21．如圖①，等腰直角三角形的直角頂點O為正方形的中心，點C，D分別在和上，現(xiàn)將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角，連接，（如圖②）.
（1）在圖②中，_____；（用含的式子表示）
（2）在圖②中猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
22．如圖所示，，，，繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接AE.
（1）求證：；
（2）連接AD，求AD的長.
23．“互聯(lián)網(wǎng)”時代，網(wǎng)上購物備受消費者青睞.某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條40元，當(dāng)售價為每條80元時，每月可銷售100條.為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價措施.據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價每降1元，則每月可多銷售5條.設(shè)每條褲子的售價為x元(x為正整數(shù))，每月的銷售量為y條.
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤為w元，當(dāng)銷售單價降低多少元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
24．如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，對稱軸為且.
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點Q為y軸上一點，點E為拋物線頂點，連接，若為等腰三角形，求點Q的坐標(biāo)；
（3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)后，點A的對應(yīng)點恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標(biāo).
25．如圖，在等邊三角形內(nèi)有一點P.
（1）若，，，求的度數(shù)；
（2）若等邊三角形邊長為4，求的最小值；
（3）如圖，在正方形內(nèi)有一點P，且，，，求正方形的邊長.
參考答案
1．答案：D
解析：A、圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意.
故選：D.
2．答案：D
解析：A.方程中，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
B.方程中，此方程有兩個相等的實數(shù)根；
C.方程中，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
D.方程中，此方程沒有實數(shù)根；
故選D.
3．答案：B
解析：將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為.
故選：B.
4．答案：A
解析：把代入方程，可得，得，
故選：A.
5．答案：A
解析：，
，
，
，
即，
方程有兩個不相等實數(shù)根，
故選A.
6．答案：B
解析：二次函數(shù)中，，開口向下，對稱軸為直線，
則二次函數(shù)圖像上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
，，到對稱軸的距離分別為4、2、4，
，
故選：B.
7．答案：C
解析：如圖所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，只有點到三角形的三頂點距離相等，故是圖形的旋轉(zhuǎn)中心，
故選：C.
8．答案：A
解析：依題意得：，
故選：A.
9．答案：B
解析：A.假設(shè)甲同學(xué)的結(jié)論錯誤，則乙、丙、丁的結(jié)論都正確
由乙、丁同學(xué)的結(jié)論可得
，
解得：，
二次函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時，y的最小值為，與丙的結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故本選項不符合題意；
B.假設(shè)乙同學(xué)的結(jié)論錯誤，則甲、丙、丁的結(jié)論都正確，
由甲、丙的結(jié)論可得二次函數(shù)解析式為，
當(dāng)時，解得，當(dāng)時，，
∴此時符合假設(shè)條件，故本選項符合題意；
C.假設(shè)丙同學(xué)的結(jié)論錯誤，則甲、乙、丁的結(jié)論都正確，
由甲乙的結(jié)論可得：
，
解得：，
，
當(dāng)時，解得：，與丁的結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故本選項不符合題意；
D.假設(shè)丁同學(xué)的結(jié)論錯誤，則甲、乙、丙的結(jié)論都正確
由甲、丙的結(jié)論可得二次函數(shù)解析式為
當(dāng)時，解得，與乙的結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故本選項不符合題意.
故選B.
10．答案：B
解析：拋物線開口向下，則.
對稱軸在y軸右側(cè)，a、b異號，則.
拋物線與y軸交于正半軸，則，
，故①正確；
拋物線的對稱軸是直線，則，，
，故②正確；
由圖象可知，拋物線與x軸的左交點位于0和-1之間，在兩個交點之間時，，在時，，故③錯誤；
當(dāng)時，有，故④正確；
由，得，代入得，兩邊乘以2得，故⑤錯誤.
綜上，正確的選項有：①②④.
所以正確結(jié)論的個數(shù)是3個.
故選：B.
11．答案：-1
解析：是二次函數(shù)，
且，
解得：，
故答案為-1.
12．答案：1
解析：物線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-1，
，
，
故答案為1.
13．答案：-3
解析：將一元二次方程整理得：
，
關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，
且，
解得：.
故答案為：-3.
14．答案：
解析：作圖如下，
，，
，
在和中，
，
，
，，
P點坐標(biāo)為，
Q點坐標(biāo)為，
故答案為.
15．答案：4.
解析：點在拋物線上，
，
，
當(dāng)時，有最大值4.
故答案為4.
16．答案：1
解析：在AC上截取，作于F，如圖，
，，
，，，
，
在中，，，
線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至，
，，
，
在和中
，
，
，
在中，，
當(dāng)時，有最小值1，
的最小值為1.
17．答案：（1），
（2），
解析：（1），
，
或，
解得：，；
（2），
，
，
或，
解得：，.
18．答案：；當(dāng)時，y隨x的增大而增大
解析：設(shè)此二次函數(shù)的解析式為且經(jīng)過點
解得：，
二次函數(shù)的解析式為：，
對稱軸為：，且拋物線開口向上，
當(dāng)時，y隨x的增大而增大.
19．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）如圖1，即為所求；
（2）如圖2，即為所求.
20．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：，，，
方程總有兩個實數(shù)根；
（2），
，
，，
方程有一個小于1的正根，
，
.
21．答案：（1）
（2），見解析
解析：（1）繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角，
，
四邊形為正方形，
，
，
故答案為：；
（2），理由如下，
如圖②，四邊形為正方形，
，，
，
，
為等腰直角三角形，
，
在和中
，
，
.
22．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明：繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，
，，，
，
，
，
在與中，，
；
（2）連接AD，
繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，
，，，
，
，，
，
，
，，
.
23．答案：（1）
（2）當(dāng)銷售單價降低10元時，每月獲得最大利潤為4500元
解析：（1）由題意得：，
y與x的函數(shù)關(guān)系式為，
故答案為：；
（2）由題意得：，
，拋物線開口向下，
當(dāng)時，w有最大值，最大值為4500，
此時元，
當(dāng)銷售單價降低10元時，每月獲得最大利潤為4500元；
24．答案：（1）拋物線的解析式
（2）點Q坐標(biāo)為，，
（3）或
解析：（1）與x軸交于點和點B，對稱軸為，
點B為，，
設(shè)：，
，，
點C為，
，解得：，
，
故答案為：拋物線的解析式，
（2），
頂點E為，，
設(shè)，
①當(dāng)時，，解得：，
，
②當(dāng)時，，解得：，
，
③當(dāng)時，，解得：，
，
故答案為：點Q坐標(biāo)為，，，
（3）設(shè)點P為，作對稱軸于D，
①如圖點P在x軸上方時，
，，
，
，，
，
，代入
得：解得：（舍），，
，，
②如圖點P在x軸下方時，
同①可得：，
，，
，
，代入
得：解得：，（舍），
，，
故答案為：或.
25．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）如圖所示，
將線段繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，
，
，，，，
是等邊三角形，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
（2）如圖所示，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，
則，，，則是等邊三角形，
，
再將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，則
，，，
當(dāng)B，P，D，E四點共線時，取得最小值，即的長，
設(shè)，交于點F，
，，，
，，
，
在中，，
，
即的最小值為；
（3）如圖，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，
，
，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是直角三角形，，
如圖，延長，過點B作于F，則，
，，
，
，
，
，即正方形的邊長為.

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