一、單選題
1．已知集合，集合，則
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】,故選A.
2．拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的拋物線，直接求出其準(zhǔn)線方程即得.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，準(zhǔn)線方程為.
故選：C
3．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．10B．20C．40D．80
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，求得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，進(jìn)而求得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，得到答案.
【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，可得，即二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：C.
4．已知復(fù)數(shù)（，），則“為純虛數(shù)”的充分必要條件為 ( )
A．B．C．，D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)的定義即可求解.
【詳解】,所以為純虛數(shù)即且,
故選：D.
5．設(shè),，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】分析：舉反例判斷A、C、D，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷B．
詳解：a，b∈R，若a＞b，
當(dāng)a=1，b=﹣1時(shí)，故A不成立，
因?yàn)閥=2x為增函數(shù)，所以2a＞2b，故B成立，
當(dāng)a=﹣1，b=﹣2時(shí)，C沒(méi)有意義，故C不成立，
當(dāng)a=，b=時(shí)，D不成立，
故選B．
點(diǎn)睛：本題考查了不等式的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題
6．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)圖象在區(qū)間上單調(diào)遞減，則m的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)列不等式求得的最小值．
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得到，其減區(qū)間滿足:
，
即，
所以函數(shù)的減區(qū)間為
又在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則
則且,
即且，
所以
的最小值為：.
故選：C.
7．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一側(cè)，排法種數(shù)為（ ）
A．12B．40C．60D．80
【答案】D
【分析】首先從五個(gè)位置中選出三個(gè)給甲乙丙三人，再排丙，接著安排甲、乙，最后再安排丁、戊，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.
【詳解】解：先從五個(gè)位置中選出三個(gè)給甲乙丙三人，共有種選法，
其中丙在兩端，有種選法，剩余兩個(gè)位置甲、乙全排有種，
最后剩余兩個(gè)位置給丁、戊有種，
所以排法種數(shù)為；
故選：D.
8．已知曲線：（為參數(shù)），，，若曲線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】曲線化為普通方程為:,由，可得點(diǎn)在以為直徑的圓上,又在曲線上,即直線與圓存在公共點(diǎn),故圓心到的距離小于等于半徑,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式有:,解得,故選C.
9．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A．-1B．C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求得實(shí)數(shù)的取值范圍，得出答案.
【詳解】由函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
因?yàn)樵谏嫌形ㄒ坏膶?shí)數(shù)根，
可得，所以實(shí)數(shù)的最小值為.
故選：B.
10．已知甲?乙?丙三人組成考察小組，每個(gè)組員最多可以攜帶供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且計(jì)劃每天向沙漠深處走30公里，每個(gè)人都可以在沙漠中將部分水和食物交給其他人然后獨(dú)自返回.若組員甲與其他兩個(gè)人合作，且要求三個(gè)人都能夠安全返回，則甲最遠(yuǎn)能深入沙漠公里數(shù)為（ ）
A．1080B．900C．810D．540
【答案】C
【分析】每人最多帶36天的水和食物，按乙丙兩人同時(shí)把水和食物交給甲，乙丙先后不同時(shí)把水和食物交給甲兩種情況分別計(jì)算甲行駛的總天數(shù)即可判斷.
【詳解】甲、乙、丙三人一起出發(fā)，設(shè)天后，乙丙兩人同時(shí)把水和食物交給甲，乙丙分別給甲天的水和食物，
于是，解得，甲全程共有水和食物的天數(shù)，
因此從出發(fā)點(diǎn)甲最多往前走天，最遠(yuǎn)能深入沙漠公里；
甲、乙、丙三人一起出發(fā)，設(shè)天后乙丙之一獨(dú)自返回，不妨令丙返回，丙扣除天的水和食物后，
把剩余的水和食物的一半分別分給甲乙，則由，得，
從出發(fā)甲乙?guī)У乃褪澄锏奶鞌?shù)都為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
要使前行天數(shù)最多，則取，甲乙均有36天的水和食物，甲乙繼續(xù)前行，再行天后，乙獨(dú)自返回，
乙扣除天的水和食物后，把剩余的水和食物給甲，則由，解得，
此時(shí)甲全程共有水和食物的天數(shù)是，
因此從出發(fā)點(diǎn)甲最多往前走27天，最遠(yuǎn)能深入沙漠公里，顯然，
所以甲最遠(yuǎn)能深入沙漠公里數(shù)為810.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分類(lèi)討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問(wèn)題的時(shí)候，將問(wèn)題劃分成不同的模塊，通過(guò)分塊來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析處理能力和解決能力.
二、雙空題
11．若等比數(shù)列滿足，，則公比 ，前項(xiàng)和 ．
【答案】 2
【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得方程，可求出公比，繼而求得首項(xiàng)，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得.
【詳解】等比數(shù)列滿足，,設(shè)公比為q,
則;
又,
故答案為：.
12．在中，，① ；②若，則 ．
【答案】
【解析】①利用余弦定理將已知等式角化邊，可得三邊關(guān)系，即可求得角;
②由①得出角的關(guān)系,利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得出的值.
【詳解】①由，得，整理得，
所以．
②由①得，
所以．
故答案為:；.
【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查誘導(dǎo)公式,考查學(xué)生計(jì)算能力,屬于中檔題.
三、填空題
13．若非零向量，滿足，，則向量，夾角的大小為 ．
【答案】120°
【詳解】因?yàn)?所以因此,又,所以?shī)A角為,故填.
14．雙曲線的漸近線為等邊三角形的邊，所在直線，直線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，且，則 ．
【答案】/
【分析】結(jié)合已知條件和雙曲線的對(duì)稱(chēng)性求出與之間的關(guān)系，然后利用平面幾何求出，再結(jié)合即可求解.
【詳解】由題意和雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，，
又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，
從而，即，
又由等邊三角形性質(zhì)可知，，
又由可知，.
故答案為：．
15．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于它到定點(diǎn)的距離，記點(diǎn)的軌跡為.給出下面四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；③點(diǎn)在曲線上；④在第一象限內(nèi)，曲線與軸的非負(fù)半軸、軸的非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
【答案】②③④
【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)（1，1）的距離，可得曲線方程，作出曲線的圖象，即可得到結(jié)論．
【詳解】動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)（1，1）的距離，所以，
即.若，則，即，故，
以為中心的雙曲線的一支；若，則，即，故或，
所以函數(shù)的圖象如圖所示

所以曲線C關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，②正確；又，所以點(diǎn)在曲線上，
③正確；在第一象限內(nèi)，曲線與軸的非負(fù)半軸、軸的非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于，故④正確.
故答案為：②③④.
【點(diǎn)睛】本題考查求曲線的軌跡方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，本題解題關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象，是一道中檔題．
四、問(wèn)答題
16．已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）求的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ），．
【詳解】試題分析: （Ⅰ）由題意，可得a值; （Ⅱ）利用二倍角公式和兩角和與差的正弦公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理, 由，，求得x的范圍,進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
試題解析:（Ⅰ）由題意可知，即，
即，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
函數(shù)的遞增區(qū)間為，．
由，，
得，，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
五、證明題
17．某公司購(gòu)買(mǎi)了A，B，C三種不同品牌的電動(dòng)智能送風(fēng)口罩.為了解三種品牌口罩的電池性能，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從三種品牌的口罩中抽出25臺(tái)，測(cè)試它們一次完全充電后的連續(xù)待機(jī)時(shí)長(zhǎng)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下（單位：小時(shí)）：
（Ⅰ）已知該公司購(gòu)買(mǎi)的C品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩比B品牌多200臺(tái)，求該公司購(gòu)買(mǎi)的B品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩的數(shù)量；
（Ⅱ）從A品牌和B品牌抽出的電動(dòng)智能送風(fēng)口罩中，各隨機(jī)選取一臺(tái)，求A品牌待機(jī)時(shí)長(zhǎng)高于B品牌的概率；
（Ⅲ）再?gòu)腁，B，C三種不同品牌的電動(dòng)智能送風(fēng)口罩中各隨機(jī)抽取一臺(tái)，它們的待機(jī)時(shí)長(zhǎng)分別是a，b，c（單位：小時(shí)）.這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為.若，寫(xiě)出a+b+c的最小值（結(jié)論不要求證明）.
【答案】（Ⅰ）該公司購(gòu)買(mǎi)的B品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩的數(shù)量為800臺(tái)；（Ⅱ）；（Ⅲ）18.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)該公司購(gòu)買(mǎi)的B品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩的數(shù)量為臺(tái)，則購(gòu)買(mǎi)的C品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩為臺(tái)，由此可求解結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)A品牌待機(jī)時(shí)長(zhǎng)高于B品牌的概率為，求得的值，即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）根據(jù)平均數(shù)的定義，即可求解的最小值.
試題解析：
（Ⅰ）設(shè)該公司購(gòu)買(mǎi)的B品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩的數(shù)量為x臺(tái)，
則購(gòu)買(mǎi)的C品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩為臺(tái)，
由題意得，所以.
答：該公司購(gòu)買(mǎi)的B品牌電動(dòng)智能送風(fēng)口罩的數(shù)量為800臺(tái)
（Ⅱ）設(shè)A品牌待機(jī)時(shí)長(zhǎng)高于B品牌的概率為P，
則.
答：在A品牌和B品牌抽出的電動(dòng)智能送風(fēng)口罩中各任取一臺(tái)，A品牌待機(jī)時(shí)長(zhǎng)高于B品牌的概率為.
（Ⅲ）由題意得，有三個(gè)數(shù) 構(gòu)成數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ，表中數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ，所以，所以，所以 的最小值為18
18．如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，平面平面
（I）求證：；
（II）若M為中點(diǎn)，求證：平面；
（III）在線段BC上（含端點(diǎn)）是否存在點(diǎn)P，使直線DP與平面所成的角為？若存在，求得值，若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)不存在這樣的點(diǎn)P.
【詳解】（I）由，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而可證明；（II）由于，建立空間直角坐標(biāo)系，利用的方向向量與平面 的法向量數(shù)量積為零可得平面 ；（III）由（II）可知平面的法向量，設(shè)，利用空間向量夾角余弦公式列方程可求得，從而可得結(jié)論.
詳解：證明：（I）在直三棱柱中，
∵平面 ∴
∵平面平面，且平面平面
∴平面
∴
（II）在直三棱柱中，
∵平面，∴
又，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，
，，，，

設(shè)平面的法向量
∵ ∴ 令 則
∵為的中點(diǎn)，∴
∵ ∴
又平面，∴平面
（III）由（II）可知平面的法向量
設(shè)
則
若直線DP與平面所成的角為，
則
解得
故不存在這樣的點(diǎn)P，使得直線DP與平面所成的角為
點(diǎn)睛：本題主要考查利用空間向量的證明與求值，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
六、問(wèn)答題
19．已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)．
(1)判斷是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
(2)若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)是的極值點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；
(2)
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)的分子，可得函數(shù)值為，根據(jù)判別式結(jié)合驗(yàn)證可得是函數(shù)的異號(hào)零點(diǎn)，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可．
【詳解】（1）解：由可得函數(shù)定義域?yàn)椋?br>，
令，經(jīng)驗(yàn)證，
因?yàn)椋缘呐袆e式，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，是函數(shù)的異號(hào)零點(diǎn)，
所以是的異號(hào)零點(diǎn)，
所以是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（2）解：已知，
因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋裕?br>所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以有恒成立；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，所以不等式不能恒成立；
所以時(shí)，有在區(qū)間恒成立．
七、解答題
20．已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，且，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，且與橢圓交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，試求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)橢圓方程為，離心率為
(2)
【分析】（1）由橢圓的定義以及焦距，求得和的值，則，即可求得橢圓的方程和離心率.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由橢圓方程及弦長(zhǎng)公式分別求得，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得四邊形面積的最大值.
【詳解】（1）由題意，又因?yàn)椋?br>所以，橢圓方程為，離心率為．
（2）①當(dāng)直線斜率不存在或者為時(shí)，
易得，從而四邊形的面積為4．
②當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，直線，
聯(lián)立，
易知，由韋達(dá)定理得，，
，
同理，
所以，
從而四邊形面積的最大值為．
八、證明題
21．對(duì)于正整數(shù)集合（，），如果去掉其中任意一個(gè)元素（）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱(chēng)集合為“和諧集”．
（Ⅰ）判斷集合是否是“和諧集”（不必寫(xiě)過(guò)程）；
（Ⅱ）求證：若集合是“和諧集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)；
（Ⅲ）若集合是“和諧集”，求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值．
【答案】（Ⅰ）不是“和諧集”；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）7.
【分析】（Ⅰ）利用定義直接求解；（Ⅱ）利用定義直接證明，對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)分別證明；（Ⅲ）根據(jù)合情推理，結(jié)合反證法思想求解.
【詳解】（Ⅰ）集合不是“和諧集”．
（Ⅱ）設(shè)集合所有元素之和為．
由題可知，（）均為偶數(shù)，
因此（）的奇偶性相同．
（?。┤绻麨槠鏀?shù)，則（）也均為奇數(shù)，
由于，所以為奇數(shù)．
（ⅱ）如果為偶數(shù)，則（）均為偶數(shù)，
此時(shí)設(shè)，則也是“和諧集”．
重復(fù)上述操作有限次，便可得各項(xiàng)均為奇數(shù)的“和諧集”．
此時(shí)各項(xiàng)之和也為奇數(shù)，集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)．
綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)，
當(dāng)時(shí)，顯然任意集合不是“和諧集”．
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，
則有 ①，或者 ②；
將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，
則有 ③，或者 ④．
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此當(dāng)時(shí)，集合一定不是“和諧集”．
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
因?yàn)?，?br>，，
，，
所以集合是“和諧集”．
集合中元素個(gè)數(shù)的最小值是7．
A
4
4
4.5
5
5.5
6
6
B
4.5
5
6
6.5
6.5
7
7
7.5
C
5
5
5.5
6
6
7
7
7.5
8
8

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