一、單選題
1．集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先化簡求出集合，集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.
【詳解】由，得，所以，
因?yàn)椋?br>所以.
選選：.
2．函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【分析】先求出函數(shù)過定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用基本不等式求最值.
【詳解】函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，所以，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
3．已知d是等差數(shù)列的公差，是的首項(xiàng)，是的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：存在最小值，乙：且，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，判斷甲乙兩命題間的邏輯推理關(guān)系，即可判斷答案.
【詳解】當(dāng)且時，存在最小值為，所以甲乙；
當(dāng)且時，存在最小值，故乙甲，
所以甲是乙的必要不充分條件，
故選：B．
4．函數(shù)的部分圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)的奇偶性，特值法求解即可.
【詳解】，
所以，
所以為奇函數(shù)，故排除A，D；
當(dāng)時，，故排除B；
故選：C.
5．若函數(shù)，的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用可得，再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得，解不等式即可求得的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意可知若，則可得；
顯然當(dāng)時，可得，
由的值域?yàn)椋萌呛瘮?shù)圖像性質(zhì)可得，
解得，即的取值范圍是.
故選：D
6．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，當(dāng)時，，則的值為（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】D
【分析】由函數(shù)是上的偶函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可得出函數(shù)的周期，根據(jù)時的表達(dá)式可求解出一個周期的函數(shù)值，從而解出本題.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，
所以，
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以，即，
所以，
所以，
所以函數(shù)是上周期為4的函數(shù)，
當(dāng)時，，
所以，，
又，，
所以，
所以.
故選：D.
7．設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造，發(fā)現(xiàn)為奇函數(shù)，從而可得的對稱中心為，得到，再通過求導(dǎo)可發(fā)現(xiàn)與在R上單調(diào)遞增，繼而求解不等式即可.
【詳解】假設(shè)，
所以，所以，
所以為奇函數(shù)，
而，
則其圖象是的圖象向右平移1個單位長度，向上平移4個單位長度得到的，
所以的對稱中心為，所以，
因?yàn)?，所以?br>易得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
而，則，
所以恒成立，即在上單調(diào)遞增，
所以在R上單調(diào)遞增，
因?yàn)榈茫?br>所以，解得.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造函數(shù)，利用其奇偶性結(jié)合函數(shù)圖象的平移和函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得到，解出即可.
8．已知實(shí)數(shù)，，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造可判斷與的大小，再構(gòu)造，可判斷與的大小，進(jìn)而可得解.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)時，，則單調(diào)遞減，
所以，所以．
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
所以時，，
即，則，所以．
綜上，，
故選：A.
二、多選題
9．設(shè)是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．與垂直D．
【答案】ABD
【分析】A：根據(jù)不共線進(jìn)行分析；B：根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式進(jìn)行分析；C：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行分析；D：結(jié)合向量的三角不等式進(jìn)行分析.
【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)槭侨齻€非零的平面向量，且相互不共線，
所以不會同時與垂直，所以與不會同時為，
所以，故A錯誤；
選項(xiàng)B：，由于，
所以，故B錯誤；
選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>所以與垂直，故C正確；
選項(xiàng)D：因?yàn)槭欠橇阆蛄?，且不共線，所以設(shè)，
從而，在中，兩邊之差小于第三邊，所以，故D錯誤；
故選：ABD.
10．設(shè)、為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則或
C．若，則
D．若，則在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上
【答案】BD
【分析】利用特殊值法可判斷AC選項(xiàng)；設(shè)，，根據(jù)模長運(yùn)算和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；設(shè)，，，根據(jù)模長運(yùn)算和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A，令，，則，此時，A錯誤；
對于B，設(shè)，，則，
所以，，即，則；
若，則成立，此時；
若，，由知；由知：，此時；
同理可知：當(dāng)，時，；
若，，由得：，則，此時；
綜上所述：若，則或，B正確；
對于，令，，則，此時，C錯誤；
對于D，設(shè)，，，
則，，
由，可得，
所以，
又、不全為零，
所以表示一條直線，
即在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，故D正確.
故選：BD.
11．正方體的展開圖如圖所示.已知為線段的中點(diǎn)，動點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動.則關(guān)于該正方體，下列說法正確的有（ ）
A．與是異面直線
B．與所成角為
C．平面平面
D．若，則點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是正六邊形
【答案】BCD
【分析】先根據(jù)正方體展開圖將其還原成正方體，分別判斷線線位置關(guān)系，平面與平面位置關(guān)系.
【詳解】由展開圖還原正方體如下圖所示，
對于，且，所以四邊形為平行四邊形，
，與是共面直線，錯誤；
對于與所成角即為，
為等邊三角形，
，即與所成角為正確；
對于平面平面；
又平面平面，
又平面平面平面正確；
對于，由正方體性質(zhì)可知平面，
取中點(diǎn)，連接，
則平面平面點(diǎn)的軌跡為正六邊形的邊，D正確.
故選：BCD.
12．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論正確的是（ ）
A．存在無數(shù)個零點(diǎn)
B．在上單調(diào)遞減
C．若，則
D．，都有
【答案】ACD
【分析】解方程，可判斷A；利用特殊值法可判斷B；推導(dǎo)出，可判斷C；根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)證明判斷D.
【詳解】對于A，由，解得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，可得，則，
故，所以函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)，A正確；
對于B，，
因?yàn)椋?br>即，故，
故函數(shù)在上不可能單調(diào)遞減，B錯誤；
對于C，對任意的，
當(dāng)時，有，C正確；
對于D，當(dāng)時，設(shè)，則，
所以，
則，D正確；
故選：ACD
【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查函數(shù)的性質(zhì)，考查了零點(diǎn)，單調(diào)性，對稱性綜合應(yīng)用問題.
三、填空題
13．已知直線，且，則的值是 .
【答案】/
【分析】根據(jù)兩直線平行得到關(guān)于的方程，然后求解出的值并進(jìn)行檢驗(yàn).
【詳解】若，則，解得：或，
當(dāng)時，，直線重合,
當(dāng)時，，顯然，
故答案為：.
14．若，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)輔助角公式可得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以.
故答案為：.
15．在中，角A，，所對的分別為，，．若角A為銳角，，，則的周長可能為 ．（寫出一個符合題意的答案即可）
【答案】9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個值均可）
【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可得，進(jìn)而可得周長的取值范圍.
【詳解】由余弦定理可得，
因?yàn)榻茿為銳角，則，可得，
所以的周長.
故答案為：9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個值均可）.
16．在正四棱臺中，為棱的中點(diǎn).當(dāng)時，正四棱臺的表面積是 ；當(dāng)正四棱臺的體積最大值時，的長度是 .
【答案】 /
【分析】根據(jù)條件求出側(cè)面積進(jìn)而求得表面積；設(shè)，得，用換元法及導(dǎo)數(shù)求得取最大值時的長度.
【詳解】當(dāng)時，，，
分別取的中點(diǎn)，則為側(cè)面高，
側(cè)面為等腰梯形，側(cè)面高為，
所以一個側(cè)面面積為，
故正四棱臺的表面積是.
設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，過作，該四棱臺的高，
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以該四棱臺的體積為，
所以，
令，則，
令，則，
令得，
當(dāng)時，，為增函數(shù)，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，
故當(dāng)即時有最大值，此時有最大值，
此時的長度是8.
故答案為：；8
四、解答題
17．已知的三個頂點(diǎn)分別為.
(1)求邊的垂直平分線的方程；
(2)已知平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由兩條直線垂直的斜率關(guān)系，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)線段的中點(diǎn)，且，
則邊的垂直平分線的斜率，
由直線的點(diǎn)斜式可得，
化簡可得.
（2）由四邊形為平行四邊形，且，
則，又，則.
18．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，求出，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列的定義求出和公差，即可得的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯位相減求解即可.
【詳解】（1）解：設(shè)的公差為的公比為，
由已知可得，
，
，
，
，
又，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
……①
……②
①-②，得.
.
19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)特殊角余弦值的特點(diǎn)，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，整理得，又，得
則數(shù)列是以-2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列.
則
（2）當(dāng)時，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
則
20．如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.
(1)求證：平面平面；
(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為4，求點(diǎn)到直線的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）過作，易得，再由為弧的中點(diǎn)，得到是弧的中點(diǎn)，結(jié)合，得到，再由，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系分別求得是面的一個法向量，是面的一個法向量，由求得高與底面半徑的關(guān)系，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】（1）證明：過作，交底面弧于，連接，
易知：為平行四邊形，所以，
又為弧的中點(diǎn)，所以是弧的中點(diǎn)，所以，
而由題設(shè)知：，則，
所以，即，
由底面平面，則，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由題意，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
令半圓柱半徑為，高為，則，
所以，
設(shè)是面的一個法向量，
則，令，則，
設(shè)是面的一個法向量，
則，令，則，
所以.
整理可得，則，
又，
由題設(shè)可知，此時點(diǎn)，
則，
所以點(diǎn)到直線的距離.
21．已知滿足.
(1)求證：；
(2)若為銳角，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用反證法，先假設(shè)角為直角；再根據(jù)題目條件證明假設(shè)不成立即可證明.
（2）先利用兩角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理對題目條件進(jìn)行化簡，得；再根據(jù)為銳角和余弦定理，得；最后兩者結(jié)合得到關(guān)于和的不等式，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）假設(shè)角為直角，則，
所以.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
顯然，所以矛盾，故假設(shè)不成立，
所以角不可能為直角.
（2）因?yàn)椋?br>所以.
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，
化簡得：.
因?yàn)闉殇J角，
所以，
則，即.
所以.
因?yàn)?br>所以，即.
令，
則有，解得：，
所以的取值范圍為.
22．已知函數(shù).
(1)求在處的切線方程；
(2)求證：當(dāng)時，函數(shù)有且僅有個零點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題求出，，即可得出該切線方程；
（2）令，得，分不同區(qū)間討論的增減和正負(fù)，進(jìn)而得出結(jié)論.
【詳解】（1），
，
在處的切線方程為.
（2）由（1）令，
則，
①當(dāng)時，，即.
②當(dāng)時，，
③當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.
，
存在唯一，使得.
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.
又，
存在唯一，使得，
即當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，有且僅有個零點(diǎn).
④當(dāng)時，.
綜上，當(dāng)時，有且僅有個零點(diǎn).

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