一、單選題
1．已知，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．
【詳解】因為，所以，即．
故選：A．
2．設(shè)，，，，且，，則（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的平行和垂直的坐標(biāo)表示，列式計算，可求得向量的坐標(biāo)，從而可得的坐標(biāo)，根據(jù)向量模的計算公式，即可得答案.
【詳解】因為，且，，
所以，，解得，
所以，
又因為，且，
所以，所以，
所以，
所以，
故選：D.
3．關(guān)于圓有四個命題：①點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓上；③圓心為；④圓的半徑為3.若只有一個假命題，則該命題是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根據(jù)圓的一般方程式及圓的幾何知識，對所給的條件分情況討論，從而判斷求解.
【詳解】若②③正確，則得：，故，
所以圓的方程為：，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，
①正確，圓的半徑為，④錯誤，符合題意；
若③④正確，則可求得圓的方程為：，
顯然點(diǎn)不在圓上，②錯誤，點(diǎn)在圓外，①錯誤，不合題意；
其他四種命題組合①②，①④，②④，①③無法確定圓的方程，無法對剩余命題判斷真?zhèn)?
綜上所述：故④為假命題，故D項錯誤.
故選：D.
4．已知的三內(nèi)角、、所對的邊分別是、、，設(shè)向量，，若，且滿足，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形B．等邊三角形
C．鈍角三角形D．直角非等腰三角形
【答案】B
【分析】利用平面向量平行的條件得，再根據(jù)題設(shè)條件利用正弦定理的邊角互化、和角公式確定兩邊、的關(guān)系以及角的大小，運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：由題意，向量，，，
則，可得：，即.
又由，可得，
即，
∵，∴，∴可解得：，
∵，∴，又∵，∴，
∴是等邊三角形.
故選：B.
5．如圖所示，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為.求與夾角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以為空間向量的基底，表示出和，由空間向量的數(shù)量積求出向量的夾角的余弦值即得．
【詳解】由題意．
以為空間向量的基底，，，
，
，
，
∴．∴與夾角的余弦值為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查用空間向量法求異面直線所成的角，解題時選取空間基底，把其他向量用基底表示，然后由數(shù)量積的定義求得向量的夾角，即得異面直線所成的角．
6．表面積為的球的表面上有四個點(diǎn)，，，，滿足，平面，，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【分析】求得三棱錐的外接球的半徑，根據(jù)題意證得平面，得到，取的中點(diǎn)，得出，即為外接球的球心，得到，求得，根據(jù)，求得，在錐體的體積公式，求得，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，
因為外接球的表面積為，可得，解得，
由平面，平面，所以，
又由，且，平面，所以平面，
因為平面，所以，
取的中點(diǎn)，分別連接，如圖所示，
結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，可得，
即為外接球的球心，所以，
在直角中，可得，即，解得，
因為，可得，
所以三棱錐的體積為：，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以三棱錐的體積最大值為.
故選：B.
7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若直線上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出點(diǎn)得軌跡方程，要使直線上存在點(diǎn)滿足，只需滿足直線與圓有公共點(diǎn).
【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因為，，,
所以,整理得：，
所以點(diǎn)得軌跡是以圓心，半徑為的圓；
所以圓心到的距離為，
要使直線上存在點(diǎn)滿足，只需滿足直線與圓相交或相切.
即，解得：.
故選：A.
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為AB的中點(diǎn)，將△ADM沿DM翻折．在翻折過程中，當(dāng)二面角A—BC—D的平面角最大時，其正切值為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則折疊后有平面，在四棱錐中過點(diǎn)作的垂線，垂足為，再過作的垂線，垂足為，連接，則為二面角的平面角，可用的三角函數(shù)表示的正切值，利用導(dǎo)數(shù)可求其最大值．
【詳解】
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，因為為等腰三角形，
故，同理， ，所以有平面．
因為平面，故平面平面．
在四棱錐中過點(diǎn)作的垂線，垂足為，再過作的垂線，垂足為，連接．
因為，平面，平面平面，故平面．
因為平面，故，
又，，故平面，
又平面，故，所以為二面角的平面角．
設(shè)，則，，
，
所以，其中．
令，則，令且，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以，故，故選B．
【點(diǎn)睛】二面角的平面角的大小或最值的計算，應(yīng)先構(gòu)造二面角的平面角，然后在可解的三角形（最好是直角三角形）中討論該角．注意最值的計算可以通過目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性討論得到．
二、多選題
9．下列命題中錯誤的是（ ）
A．若直線的一個方向向量是，平面的一個法向量是，則
B．已知用斜二測畫法畫出的的直觀圖是邊長為2的正三角形，那么的面積是
C．若空間中有（，）條直線，其中任意兩條相交，則這條直線共面
D．若向量，滿足，且，則在方向上的投影向量為
【答案】ABC
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，考慮現(xiàn)在面上還是在面外判斷選項A；利用斜二測畫法的直觀圖與原圖形面積關(guān)系計算判斷選項B;利用舉例子判斷選項C；利用投影向量的定義計算判斷選項D.
【詳解】對于A,因為，所以，則可以得到或，故A錯誤；
對于B,根據(jù)題意,由斜二測畫法的直觀圖與原圖形面積關(guān)系，可得，故B錯誤；
對于C,例如三條直線，兩兩相交可以確定1個平面或3個平面，故C錯誤；
對于D, 由，，則，所以在上的投影向量為，故D正確.
故答案選：ABC.
10．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是直線與直線互相垂直的充分不必要條件
B．已知兩點(diǎn)，，直線，若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是
C．已知直線的斜率，則其傾斜角的取值范圍是
D．已知，，，則的角平分線所在直線的方程是
【答案】ACD
【分析】對于A，先求出直線垂直的充要條件即可判斷；對于B，通過數(shù)學(xué)結(jié)合、斜率公式即可判斷；對于C，通過解三角不等式即可判斷；對于D，可以直接由角平分線的定義、點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行計算，畫圖驗證即可.
【詳解】對于A，若直線與直線互相垂直，則當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)且僅當(dāng)或，
所以是直線與直線互相垂直的充分不必要條件，故A正確；
對于B，易知直線恒過定點(diǎn)，如下圖所示：
由圖可知，若直線l與線段有公共點(diǎn)，則斜率或，
因此直線l的斜率的取值范圍是，故B錯誤；
對于C，已知直線的斜率，解得，故C正確；
對于D，已知，，，所以直線的方程為即，
直線的方程為即，
不妨設(shè)的角平分線所在直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)到直線、的距離相等，
即，進(jìn)一步，即或，
整理得或，結(jié)合圖形：
由此可知的角平分線所在直線的方程是，故D正確.
故選：ACD.
11．已知圓的圓心在直線上，且與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，.記線段，的中點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．圓的方程為B．四邊形面積的最大值為
C．弦的長度的取值范圍為D．直線恒過定點(diǎn)
【答案】AD
【分析】求出圓的方程判斷A；結(jié)合圓的性質(zhì)表示出四邊形面積，再求出其最大值判斷B；利用圓的性質(zhì)求弦的取值范圍判斷C；結(jié)合矩形的性質(zhì)判斷D.
【詳解】設(shè)圓心為，則半徑為，依題意，，
解得，則，因此圓的方程為，A正確；

連接,則，又，則四邊形為矩形，
設(shè)，則，，
故，
所以，
當(dāng)時，四邊形面積取到最大值，B錯誤；
當(dāng)弦過圓心時最長，最大值為4；當(dāng)弦時最短，最小值為，
即弦的長度的取值范圍為，C錯誤；
矩形的對角線互相平分，而，則過的中點(diǎn)，D正確.
故選：AD
12．如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體的表面上一個動點(diǎn)，則（ ）
A．當(dāng)在平面上運(yùn)動時，三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)在線段上運(yùn)動時，與所成角的取值范圍是
C．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動，且滿足時，長度的最小值是
D．使直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長度為
【答案】ABCD
【分析】對A：由的面積不變，點(diǎn)P到平面的距離不變，求出體積即可；
對B：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B；
對C：設(shè)，求得平面的一個法向量為，得到，可判定C.
對D：由直線AP與平面所成的角為，作平面，得到點(diǎn)P的軌跡，可判定D；
【詳解】對于A：的面積不變，點(diǎn)P到平面的距離為正方體棱長，
所以三棱錐的體積的體積不變，
且，所以A正確；
對于B：
以D為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，
設(shè)，則，
設(shè)直線與所成角為，
則，
因為，當(dāng)時，
可得，所以；
當(dāng)時，，
由，所以，
所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B正確；
對于C，
由，
設(shè)，
則
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
取，可得，所以，
因為平面，所以，可得，
所以，
當(dāng)時，等號成立，所以C正確；
對于D：
因為直線AP與平面所成的角為，
由平面，得直線AP與所成的角為，
若點(diǎn)P在平面和平面內(nèi)，
因為，故不成立；
在平面內(nèi)，點(diǎn)P的軌跡是；
在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；
在平面時，作平面，如圖所示，
因為，所以，又因為，所以，所以，
所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，
所以點(diǎn)P的軌跡的長度為，
綜上，點(diǎn)P的軌跡的總長度為，所以D正確；
故選：ABCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：
（1）立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點(diǎn)的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動點(diǎn)的軌跡方程；
（2）對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；
（3）對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.
三、填空題
13．若直線：與：平行，則，間的距離是 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)兩直線平行得出的值，再根據(jù)平行線的距離公式計算即可.
【詳解】因為兩直線平行可得且，解之得，
所以，，
故兩直線的距離為.
故答案為：.
14．已知正項等比數(shù)列的前n和為，若，且，則滿足的n的最大值為 .
【答案】5
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式求解基本量，再由解關(guān)于的不等式.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，因為，
所以，解得，或.
由數(shù)列為正項等比數(shù)列，則，所以.
又由，即，解得，
因為，
所以，得，解得，
因為，
即，又，
所以的最大值為.
故答案為：.
15．已知圓，圓，過軸上一點(diǎn)分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是，，則的最小值是 .
【答案】6
【分析】設(shè)，由，求出，取，當(dāng)三點(diǎn)共線時求出最小值即可.
【詳解】如圖所示：
設(shè)，則
，
取，則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，取等號，而，
所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，取最小值6.
故答案為：6 .
16．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，在底面的射影為正方形的中心，，點(diǎn)為中點(diǎn).點(diǎn)為該四棱錐表面上一個動點(diǎn)，滿足、都平行于過的四棱錐的截面，則動點(diǎn)的軌跡圍成的多邊形的面積為 .
【答案】/
【分析】首先取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接延長交與點(diǎn)，連接，證明平面即為所求的截面，再證明四邊形是矩形，，矩形面積加三角形面積之和即為所求.
【詳解】
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接延長交與點(diǎn)，依次連接，
可知，即，而，
所以共面，所以共面，
因為底面是邊長為的正方形，
所以對角線，，
因為在底面的射影為正方形的中心，可得面，
因為面， 所以，
因為，，所以，
因為、為、的中點(diǎn)，
所以，且，
因為平面，平面，
所以平面，同理平面，
所以平面即為所求截面.
又因為平面平面，平面，所以，
因為為的中點(diǎn)，可得，
所以， ，，
因為、為、的中點(diǎn)，所以，，
所以，，所以四邊形是平行四邊形，
因為，，，所以平面，
因為平面，可得，所以，
所以四邊形是矩形，
所以動點(diǎn)T的軌跡圍成的多邊形的面積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是作出符合題意的截面，再利用線面垂直證明線線垂直，將截面分割求面積.
四、解答題
17．已知圓的圓心在直線上，且該圓經(jīng)過點(diǎn)，.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)在圓上，且弦長為8，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求的中垂線方程，與聯(lián)立求得圓心和半徑可得答案；
（2）先根據(jù)垂徑定理求圓心到直線距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求直線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式得結(jié)果，注意考慮直線斜率不存在的情況是否滿足題意.
【詳解】（1）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，
所以的中垂線方程：，又圓的圓心在直線上，
由得，圓心坐標(biāo)為，
圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)圓心到直線距離為，則，所以，
當(dāng)直線的斜率不存在時，因為圓心到直線距離為3，所以滿足題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)為，所以，，所以，解得，所以，所以，
綜上，直線的方程為或.
18．在中，角所對的邊分別為，，，且.
(1)求;
(2)已知，為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長.
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）結(jié)合三角恒等變換中的輔助角公式整理即可求解;
（2）利用余弦定理計算出，，再轉(zhuǎn)化為正切值計算即可，
【詳解】（1）因為，所以，
所以，，，所以，,
因為，所以.
（2）因為，，，
根據(jù)余弦定理得:
，∴.
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
19．如圖，四面體中，、、兩兩垂直，，、分別為棱、的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求到平面的距離；
(3)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用空間向量的坐標(biāo)計算異面直線夾角；
（2）用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離；
（3）用空間向量法求線面角.
【詳解】（1）如圖，分別以直線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵，、分別為棱、的中點(diǎn)，
∴，，，，，
∵，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則，
即異面直線與所成角的余弦值為；
（2）設(shè)平面的一個法向量，
∵，，
由，得，取,故，
∵平面，，
∴到平面的距離
（3）由（2）中平面的一個法向量，
設(shè)與平面所成角為，
則
20．已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，且不等式對一切恒成立，求實數(shù)的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得的通項公式；
（2）將原不等式問題轉(zhuǎn)化為對一切恒成立，然后作差判斷的增減性可得最小值，則答案可求.
【詳解】（1）依題意得，解得（舍去），
∴，即.
（2）由（1）得，
由數(shù)列滿足，得
所以不等式對一切恒成立，
轉(zhuǎn)化為對一切恒成立，
令，則，又，
當(dāng)時，；時，，
所以，且，則.
所以實數(shù)的最大值為.
21．如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，四邊形為菱形，且，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)棱（除兩端點(diǎn)外）上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，的值為或
【分析】（1）結(jié)合題意添加輔助線，先證明平面，進(jìn)而得到；
（2）根據(jù)題目中的已知條件找到兩兩垂直的三條棱，然后建立空間直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出該二面角的兩個平面的法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式列出方程，解方程即可.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、、，
∵，且，∴為等邊三角形，得，
∵四邊形為正方形，且、分別是、的中點(diǎn)，
∴，
∵，、平面，∴平面，
∵平面，∴；
（2）∵平面平面，且平面平面，，平面，
∴平面，平面，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則，，，，
則，，，，，
設(shè)為平面的一個法向量，
由，取，得；
假設(shè)棱上（除端點(diǎn)外）存在點(diǎn)滿足題意，
令，得，
設(shè)為平面的一個法向量，
則由，
取，得.
由，解得或，
經(jīng)檢驗或時，二面角的平面角均為銳角，
綜上，的值為或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用向量共線定理設(shè)，再用表示出兩個平面的法向量，得到方程，解出即可.
22．如圖，已知圓M：，點(diǎn)為直線l：上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．

(1)時，求PA、PB方程（點(diǎn)A在點(diǎn)B上方）；
(2)求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；
(3)若兩條切線PA，PB與y軸分別交于S，T兩點(diǎn)，求的最小值．
【答案】(1)PA：；PB：
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心，半徑，當(dāng)時，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，再由直線與圓的位置關(guān)系求得，即可求解；
（2）根據(jù)（1）求得，從而得到以P為圓心，為半徑的圓P的方程，根據(jù)兩圓的相交弦所在直線方程求法得到直線的方程，進(jìn)而得到直線過定點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為F點(diǎn)，直線AB過的定點(diǎn)為H點(diǎn)，得到F點(diǎn)的軌跡為以HM為直徑的圓，即可求解.
（3）設(shè)切線方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得，設(shè)PA，PB的斜率分別為，，再由韋達(dá)定理得到.
，，令結(jié)合 即可求解.
【詳解】（1）圓，即，
則圓的圓心，半徑，
當(dāng)時，，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，即，
又過點(diǎn)P引圓M的兩條切線，則，解得：或，
因為點(diǎn)A在點(diǎn)B上方，
即直線的方程為：，直線的方程為：，
故的方程為；直線的方程為：.
（2）由（1）知：，圓的半徑，
又，則，，
即，
故以P為圓心，為半徑的圓P的方程為，
顯然線段AB為圓P和圓M的公共弦，
則直線AB的方程為，即，
由，所以直線AB過定點(diǎn)；
設(shè)AB的中點(diǎn)為F點(diǎn)，直線AB過的定點(diǎn)為H點(diǎn)，如圖所示：

當(dāng)不重合時，則HF始終垂直于FM，所以F點(diǎn)的軌跡為以HM為直徑的圓（除去點(diǎn)M），
又，，
故該圓圓心為，半徑，且不經(jīng)過．
∴點(diǎn)F的軌跡方程為；
故線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.
（3）設(shè)切線方程為，即，
故到直線的距離，即，
則，
設(shè)PA，PB的斜率分別為，，則，，
把代入，得，
則，
故當(dāng)時，取得最小值為．

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