一、單選題
1．設集合，集合，則集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分別求解集合和集合，進而求解即可.
【詳解】解：由，可知或，
由，可知.
則.
故選：A.
【點睛】本題考查集合的交集運算，結合分式不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎題.
2．已知命題：“若，則”，則下列說法正確的是
A．命題的逆命題是“若，則”
B．命題的逆命題是“若，則”
C．命題的否命題是“若，則”
D．命題的否命題是“若，則”
【答案】C
【分析】寫出命題的逆命題和否命題，逐項判斷即可．
【詳解】解：命題：“若，則”，
命題的逆命題是“若，則”，
命題的否命題是“若，則”，
故、、錯誤，正確，
故選：．
【點睛】本題考查四種命題，注意逆命題交換命題的條件和結論，否命題分別否定條件和結論，屬于基礎題．
3．已知向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】首先根據(jù)向量的數(shù)量積可得，從而可判斷出與的關系，利用充分條件、必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】若，等價于，
等價于，等價于，
即等價于，
但與之間沒有必然的聯(lián)系，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
4．青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【分析】根據(jù)關系，當時，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.
【詳解】由，當時，，
則.
故選：C.
5．設命題，則為
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結合其形式，求得結果.
【詳解】因為為：，
故選：C.
6．若函數(shù)滿足，則的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，得到，求出的解析式即可．
【詳解】令，則，
故，
故，
故選：D
【點睛】本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查換元思想，是一道基礎題．
7．已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出的值，再求的值．
【詳解】解：因為
；
．
故選：D
【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)值，屬于基礎題．
8．函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)根式和零次方的性質運算求解.
【詳解】由題意可得：，解得且，
所以函數(shù)的定義域是.
故選：D.
9．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將不等式變?yōu)?，根?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個選項中真數(shù)與的大小關系，進而得到結果.
【詳解】由得：，
令，
為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，
，
，，，則A正確，B錯誤；
與的大小不確定，故CD無法確定.
故選：A.
【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關鍵是能夠通過構造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關系，考查了轉化與化歸的數(shù)學思想.
10．設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.
【詳解】由題意可得，
對于A，不是奇函數(shù)；
對于B，是奇函數(shù)；
對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；
對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).
故選：B
【點睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.
11．已知，則
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】運用中間量比較，運用中間量比較
【詳解】則．故選B．
【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉化與化歸思想解題．
12．函數(shù)的圖像大致為 ( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.
詳解：為奇函數(shù)，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此選B.
點睛：有關函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．
二、填空題
13．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則 .
【答案】1
【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.
【詳解】因為，故，
因為為偶函數(shù)，故，
時，整理得到，
故，
故答案為：1
14．曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．
求導得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
15．設等差數(shù)列的前項和為，且,則 ．
【答案】
【詳解】分析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由S13=52，可得13a1+d=52，化簡再利用通項公式代入a4+a8+a9，即可得出．
詳解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵S13=52，∴13a1+d=52，化為：a1+6d=4．
則a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.
點睛：本題主要考查等差數(shù)列通項和前n項和，意在考查學生等差數(shù)列基礎知識的掌握能力和基本的運算能力.
16．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則 ．
【答案】
【分析】由三角形面積公式可得，再結合余弦定理即可得解.
【詳解】由題意，，
所以，
所以，解得（負值舍去）.
故答案為：.
三、解答題
17．已知函數(shù).
(1)當，時，求函數(shù)的值域；
(2)若函數(shù)在上的最大值為，求實數(shù)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得，利用二次函數(shù)的基本性質可求得函數(shù)在上的值域；
（2）分、、三種情況討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結合可求得實數(shù)的值.
【詳解】（1）解：當時，，
故當時，，，
此時，函數(shù)在上的值域為.
（2）解：函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.
①當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
此時，解得，合乎題意；
②當時，即當時，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，.
若，由，可得，不合乎題意；
若，由，可得，不合乎題意；
③當時，即當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時，解得，不合乎題意.
綜上所述，.
四、證明題
18．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域 ；
（2）判斷的奇偶性并加以證明;
（3）若在上恒成立，求實數(shù)的范圍.
【答案】（1）； （2）見解析； （3）.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出方程組，即可求解；
（2）直接利用函數(shù)的奇偶性的定義，即可作出判定；
（3）把在上恒成立，轉化為在上恒成立，結合二次函數(shù)的圖象與性質，即可求解.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)有意義，則滿足，
解得，即函數(shù)的定義域為.
（2）由（1）知，函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，
又由，
即，所以函數(shù)是定義域上的奇函數(shù).
（3）由
由在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
即函數(shù)在上恒成立，
又因為，則函數(shù)的對稱軸，
則只需，解得，
即實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，函數(shù)的奇偶性的判定與證明，以及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用，其中解答中把對數(shù)式的恒成立，轉化為二次函數(shù)的恒成立，結合二次函數(shù)的性質求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.
五、解答題
19．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.
（1）求函數(shù)的函數(shù)解析式
（2）在中，角A為三角形內(nèi)角且，D在邊BC上，AD是的角平分線，，，求AD的長度.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求得A，結合周期求得，代入對稱軸求得，從而求得函數(shù)的解析式；（2）由可得，利用三角形面積相等即可求得結果.
【詳解】解：（1）由圖可知：，，即，
根據(jù)，得，
由得，，
因為，∴
函數(shù)的解析式為.
（2）由可得，
因為為的角平分線，所以
又因為，
即
，代入可得.
20．已知向量
（1）當時，求的值；
（2）已知鈍角中，角為鈍角，分別為角的對邊，且，若函數(shù)，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)得出，化簡得出結果；
（2）根據(jù)正弦定理得出，代入f（B），求出f（B）的值．
【詳解】（1）∵,∴，即
,
（2），
，
由角為鈍角知
，
.
【點睛】本題考查了平面向量垂直與坐標的關系，三角函數(shù)的化簡求值，屬于中檔題．
21．已知且，函數(shù)．
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.
【分析】（1）求得函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導函數(shù)研究的單調(diào)性，并結合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.
【詳解】（1）當時，,
令得,當時，,當時，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
,設函數(shù),
則,令，得,
在內(nèi),單調(diào)遞增；
在上,單調(diào)遞減；
,
又，當趨近于時，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,
所以的取值范圍是.
[方法二]：構造差函數(shù)
由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．
構造函數(shù)，求導數(shù)得．
當時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；
當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
由于，
當時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點知，所以，即．
構造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．
所以，實數(shù)a的取值范圍為．
[方法三]分離法：一曲一直
曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．
因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．
①當時，與只有一個交點，不符合題意．
②當時，取上一點在點的切線方程為，即．
當與為同一直線時有得
直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．
記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所以當且時有．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．
[方法四]：直接法
．
因為，由得．
當時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；
當時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．
令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．
故實數(shù)a的范圍為．]
【整體點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，
方法一：將問題進行等價轉化，分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結合思想求解.
方法二：將問題取對，構造差函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.
方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結論．
方法四：直接求導研究極值，單調(diào)性，最值，得到結論.
22．已知函數(shù).
（1）當時，求出函數(shù)的最大值，并寫出對應的的集合；
（2）在中，角、、的對邊分別為、、，若，，求的最小值.
【答案】（1）函數(shù)取最大值，此時的取值集合為；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，由可計算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的有界性可求得的最大值及其對應的的值，即可得解；
（2）由結合角的取值范圍可求得角的值，再利用余弦定理結合基本不等式可求得的最小值.
【詳解】（1）函數(shù)
，
，所以，，
當或時，即當時，函數(shù)取最大值；
（2）由題意，化簡得，，，，解得.
在中，根據(jù)余弦定理，得.
由，知，即.
當時，取最小值為.
【點睛】求函數(shù)在區(qū)間上最值的一般步驟：
第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或）的最值；
第三步：求出所求函數(shù)的最值．

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