一、單選題
1．設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【分析】由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值.
【詳解】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，不等式的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
2．已知復(fù)數(shù)，則=（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可.
【詳解】，則.
故選：A.
3．已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值為（ ）
A．6B．14C．30D．62
【答案】B
【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)已知結(jié)合等比數(shù)列前相和公式得出，由等比數(shù)列定義得出，結(jié)合與的圖象得出的值，即可計(jì)算得出答案.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，
若，則，與題中條件矛盾，故．
，解得，
則．
由在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
根據(jù)與在上的圖象，結(jié)合，
可得有唯一解，
，
故選：B．
4．已知，，，若不等式恒成立，則m的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．7
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式中“”的代換求出的最小值，即可得到的最大值．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
又，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，即，的最大值為3．
故選：C．
5．如圖，在正方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線(xiàn)段AE上，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】應(yīng)用空間向量基本定理即可.
【詳解】由題意知，，，
，，，
所以．
故選：D
6．已知拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若，則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】已知焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)與斜率，求解拋物線(xiàn)方程，確定交點(diǎn)坐標(biāo). 第一步表示焦點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程，第二步與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程得：，可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)
【詳解】法一：（）的方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為，則，所以直線(xiàn)AB的方程為，與（）聯(lián)立，消去x，得．設(shè)，，則，由，解得，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為．
法二：設(shè)直線(xiàn)AB的傾斜角為，則，得，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為．
故選：B.
7．某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：
則（ ）
A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
【答案】B
【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；
講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；
講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；
講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，
講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò).
故選:B.
8．已知，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則在內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】易得，再根據(jù)圖象求得，進(jìn)而得到，然后得到，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
由圖象知：，
則，，
所以，
又，
則，
即，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，則，
所以，
則，
令，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，
所以在內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，
故選：B
二、多選題
9．已知是的導(dǎo)函數(shù)，且，則（ ）
A．B．
C．的圖象在處的切線(xiàn)的斜率為0D．在上的最小值為1
【答案】BC
【分析】由題意，利用方程思想，求導(dǎo)賦值，建立方程，求得的值，可得函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)解析式，
對(duì)于A、B，直接代值，可得答案；對(duì)于C，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，可得答案.
【詳解】∵，∴，令，則，故B正確；則，，
，故A錯(cuò)誤；
的圖象在處的切線(xiàn)的斜率為，故C正確；
，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
10．某雜志以每?jī)?cè)元的價(jià)格發(fā)行時(shí)，發(fā)行量為萬(wàn)冊(cè).經(jīng)過(guò)調(diào)查，若單冊(cè)價(jià)格每提高元，則發(fā)行量就減少冊(cè).要該雜志銷(xiāo)售收入不少于萬(wàn)元，每?jī)?cè)雜志可以定價(jià)為（ ）
A．元B．元
C．元D．元
【答案】BC
【分析】設(shè)每?jī)?cè)雜志定價(jià)為元，根據(jù)題意由，解得的范圍，可得答案.
【詳解】依題意可知，要使該雜志銷(xiāo)售收入不少于萬(wàn)元，只能提高銷(xiāo)售價(jià)，
設(shè)每?jī)?cè)雜志定價(jià)為元，則發(fā)行量為萬(wàn)冊(cè)，
則該雜志銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，
所以，化簡(jiǎn)得，解得，
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解題意并求出每?jī)?cè)雜志定價(jià)為元時(shí)的發(fā)行量是解題關(guān)鍵.
11．對(duì)于函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
C．D．在上是單調(diào)函數(shù)
【答案】ABC
【分析】求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求得函數(shù)的極大值，可判定A正確，D錯(cuò)誤；再由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到在上必有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合，可判定B正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合作差比較，可判定C正確.
【詳解】由函數(shù)，可得，其中，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，故A正確，D錯(cuò)誤；
因?yàn)椋傻茫?br>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以在上必有一個(gè)零點(diǎn)，
由，所以為的一個(gè)零點(diǎn)，又由在上單調(diào)，
所以在上無(wú)零點(diǎn)，所以恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故B正確；
因?yàn)?，?br>可得，所以，
又在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以C正確.
故選：ABC.
12．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)可能與直線(xiàn)垂直
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得到導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，從而可求參數(shù)的取值范圍，即可判斷A選項(xiàng)；
假設(shè)滿(mǎn)足條件的切線(xiàn)存在，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的科率，得到的值，結(jié)合A項(xiàng)結(jié)果推出矛盾，可得B不正確；
由，利用整體替換思想得到，最后根據(jù)的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)得到，可得C正確；
由，利用整體替換思想可知若D正確，則只需，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此可證得結(jié)論，從而判斷D選項(xiàng)．
【詳解】對(duì)于A，，令，則，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，，
即，，A正確；
對(duì)于B，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，
若該切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則，即，與矛盾，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由題意知：，即，
則，由A知：，
由二次函數(shù)性質(zhì)知：，C正確；
對(duì)于D，由題意知：，即，又，
，即；
要證，只需證，即證，
即證，
設(shè)，則只需證，
令，則，
在上單調(diào)遞增，，，
則，D正確.
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D項(xiàng)，求解這類(lèi)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的關(guān)鍵：一是消參，把極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之后，需要利用兩個(gè)變量把參數(shù)表示出來(lái)，再巧妙地把兩個(gè)極值點(diǎn)通過(guò)消參向求證的結(jié)論逐漸靠近；二是消“變”，即減少變量的個(gè)數(shù)，只有把不等式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)“變量”的式子后，才能建立與之相應(yīng)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解．
三、填空題
13．若函數(shù) 為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，列出等式，用待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，
所以，即，
整理的，即，所以
故答案為：
14．已知命題，，命題q：存在集合，，使得，若p，q都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)p和q是真命題，分別求出的范圍，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又，所以，
因?yàn)榧希?br>所以，即．，
由，得或，
所以或，
因?yàn)閜，q都是真命題，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：.
15．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
【答案】3
【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，直接判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】作出函數(shù)圖象，如下，
由圖象可知，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)（3個(gè)零點(diǎn)分別為，0，2）.
故答案為：3
16．如圖，已知邊長(zhǎng)為1的正方形與正方形所在平面互相垂直，為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】由題意知三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三棱錐外接球的表面積，然后，利用勾股定理求出外接球半徑，進(jìn)而可求解
【詳解】
如圖，由題意知三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即求三棱錐外接球的表面積，因?yàn)檎叫闻c正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，.過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由正方形與正方形所在平面互相垂直，得平面.設(shè)三棱錐外接球的球心為，的中點(diǎn)為，連接，則平面.延長(zhǎng)到點(diǎn)，使.連接，設(shè)，則，，解得，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則.故所求表面積
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：三棱錐的體積與底面積和高有關(guān)，若底面面積不變，高增大時(shí)，體積增大；若高不變，底面面積增大時(shí)，體積增大，本題中，點(diǎn)到平面的距離不變，當(dāng)三角形的面積最大時(shí)，三棱錐的體積取最大值，另外求球的半徑，可以根據(jù)題意先確定出球心的位置，然后可在直角三角形中表示球的半徑，此類(lèi)問(wèn)題考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，難度比較大.
四、解答題
17．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【詳解】（1）因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．
18．在①，②，③，．這三個(gè)條件中任進(jìn)一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答．
已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且________．
(1)求的值;
(2)若，求的周長(zhǎng)與面積．
【答案】(1)
(2)周長(zhǎng)為11，面積為
【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角及誘導(dǎo)公式求出，再求出，由正切的二倍角公式即可求出的值；若選②，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)的平方和，可求出，，再由正切的二倍角公式可求出的值；若選③，由余弦的二倍角公式代入化簡(jiǎn)求出，再求出，由正切的二倍角公式可求出的值；
（2）由，求出，由正弦定理求出，最后根據(jù)三角形的面積公式和周長(zhǎng)即可得出答案.
【詳解】（1）若選①:由正弦定理得，
故，
而在中，，
故，又，
所以，則，
則，
故．
若選②:由，化簡(jiǎn)得，代入中，整理得，
即，
因?yàn)?，所以，所以?br>則，
故．
若選③:因?yàn)椋?br>所以，即，則．
因?yàn)?，所以?br>則，
故．
（2）因?yàn)?，且?br>所以．
由（1）得，則
，
由正弦定理得，則．
故的周長(zhǎng)為，
的面積為．
19．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的右頂點(diǎn)，，P是橢圓C上一點(diǎn)，M，N分別為線(xiàn)段的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)若不過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，且，判斷直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)
【分析】（1）由三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)可得四邊形OMPN的周長(zhǎng)即為2a，橢圓的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為a－c， 聯(lián)立即可得橢圓方程；
（2）分類(lèi)討論斜率存在與斜率不存在，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，由韋達(dá)定理可得，再由可得k與m的關(guān)系式，將其代入直線(xiàn)方程可得定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，代入計(jì)算即可.
【詳解】（1）M，N分別為線(xiàn)段的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，
，
四邊形OMPN的周長(zhǎng)為，
，
，
，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，
代入，整理得，
則，
．
易知，
，
化簡(jiǎn)得，
或(舍去)，
直線(xiàn)l的方程為，即，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，
代入，解得，
由得，
，解得或(舍去)，
此時(shí)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)．
綜上，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】求解直線(xiàn)或曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路
(1)把直線(xiàn)或曲線(xiàn)方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線(xiàn)或曲線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)．
(2)由直線(xiàn)方程確定其過(guò)定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線(xiàn)方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)(0，m)．
20．已知幾何體，如圖所示，其中四邊形、四邊形、四邊形均為正方形，且邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在棱上.

(1)求證：.
(2)是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成的角為?若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)當(dāng)點(diǎn)在上，且時(shí)，直線(xiàn)與平面所成的角為
【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，由證明.
（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線(xiàn)面角的向量求法即得.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?、四邊形、四邊形均為正方形?br>所以，，.
以D為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，.
又點(diǎn)M在棱DG上，故可設(shè)，
，，
，.
（2）當(dāng)點(diǎn)在上，且時(shí)，直線(xiàn)與平面所成的角為
理由如下：假設(shè)存在點(diǎn)，直線(xiàn)與平面所成的角為.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由（1）知，，
，令，得
.
因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成的角為，
，解得.
又，，存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意.
所以當(dāng)點(diǎn)在上，且時(shí)，直線(xiàn)與平面所成的角為
21．學(xué)校舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒(méi)有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的.已知小明每次投籃投中的概率都是，小強(qiáng)每次投籃投中的概率都是p(0

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