2023屆山東省青島市高三上學期期初調(diào)研檢測數(shù)學試題 一、單選題1．若，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則即可化簡求解.【詳解】由得，故選：B2．若集合，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解無理不等式確定集合，解指數(shù)不等式確定集合，然后由交集定義求解．【詳解】，，所以．故選：C．3．已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】對展開化簡可得，再對等式兩邊平方化簡后結(jié)合二倍角公式可求出的值.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以，故選：A4．在的展開式中，常數(shù)項為（       ）A．80 B． C．160 D．【答案】D【分析】根據(jù)二項式展開式的特征即可知中間項（第4項）為常數(shù)項.【詳解】由于互為倒數(shù)，故常數(shù)項為第4項，即常數(shù)項為，故選：D5．已知，則（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中間值法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小【詳解】因為，，,故，故選：C6．已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的外接球半徑為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓臺的側(cè)面積計算公式可求母線長，進而可求圓臺的高，根據(jù)球的性質(zhì)，即可利用球心與底面圓心的連線垂直與底面，根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】設圓臺的高和母線分別為，球心到圓臺上底面的距離為，根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式可得，因此圓臺的高，當球心在圓臺內(nèi)部時，則，解得，故此時外接球半徑為，當球心在圓臺外部時，則，，解得不符合要求，舍去，故球半徑為故選：B7．據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當.即在算籌計數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數(shù)大于30的概率為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)5根算籌，分為四類情況：,逐一分類求解滿足要求的兩位數(shù)，即可求解概率.【詳解】根據(jù)題意可知：一共5根算籌，十位和個位上可用的算籌可以分為一共四類情況；第一類：，即十位用4根算籌，個位用1根算籌，那十位可能是4或者8，個位為1，則兩位數(shù)為41或者81；第二類：，即十位用3根算籌，個位用2根算籌，那十位可能是3或者7，個位可能為2或者6，故兩位數(shù)可能32，36，72，76；第三類：，即十位用2根算籌，個位用3根算籌，那么十位可能是2或者6，個位可能為3或者7，故兩位數(shù)可能是23，27，63，67；第四類：，即十位用1根算籌，個位用4根算籌，那么十位為1，個位可能為4或者8，則該兩位數(shù)為14或者18，綜上可知：所有的兩位數(shù)有:14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共計12個，則大于30的有32，36，41，63，67，72，76，81共計8個，故概率為，故選:C8．拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.如圖所示，從拋物線的焦點向軸上方發(fā)出的兩條光線分別經(jīng)拋物線上的兩點反射，已知兩條入射光線與軸所成角均為，且，則兩條反射光線之間的距離為（       ）A． B．4 C．2 D．【答案】D【分析】由題意得，則可求出直線的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立表示出的坐標，由結(jié)合拋物線的定義可求出，從而可求出兩點縱坐標的差，即可得兩條反射光線之間的距離.【詳解】由題意得，因為，所以直線的斜率為，所以直線為，由，得，解得或，所以，同理直線的方程為，由，得，解得或，所以，因為，所以，所以，解得，所以兩條反射光線之間的距離為，故選：D 二、多選題9．已知直線，則（       ）A．直線過定點B．當時，C．當時，D．當時，兩直線之間的距離為1【答案】ACD【分析】根據(jù)直線過定點的求法，可判斷A,根據(jù)直線的一般式在垂直平行滿足的條件可判斷BC,根據(jù)兩平行線間距離公式即可求解D.【詳解】對A;變形為令，則，因此直線過定點，A正確；對于B;當時，，故兩直線不垂直，故B錯誤；對于C;當時，，故兩直線平行，C正確；對于D;當時,則滿足，此時則兩直線距離為，故D正確；故選：ACD10．已知函數(shù)，則（       ）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點中心對稱D．在上有4個零點【答案】AC【分析】根據(jù)周期的計算公式可判斷A，根據(jù)整體法即可驗證是否單調(diào)，判斷B,計算，由此可判斷C,將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根，即可求解D.【詳解】對于A;周期,故A正確；對于B;當時，，故在上不單調(diào)遞增，B錯誤；對于C;，故是的一個對稱中心，故C正確；對于D;令,解得，故當時，取分別得故在上有5個零點，D錯誤,故選：AC11．在四棱錐中，底面為菱形，平面，為線段的中點，為線段上的動點，則（       ）A．平面平面B．三棱錐的體積為C．與平面所成角的最小值為D．與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】根據(jù)特殊位置的點,即可排除A,根據(jù)等體積法求三棱錐的體積可求解B，根據(jù)線面角的幾何法即可找到角，然后在三角形中求解最小值即可判斷C，根據(jù)平移，用幾何法找線線角，即可用三角形的余弦定理求解D       .【詳解】對于D;取中點,連接,則,故或其補角為與所成角，由于為邊長為2的等邊三角形，則,因此故,在中，由余弦定理可得,故與所成角的余弦值為，D正確；對于A;由于為線段上的動點，若移動到點時，此時考慮平面與平面是否垂直，若兩平面垂直，則其交線為,由于,平面，則平面，平面，故,這顯然與D選項矛盾，故平面與平面不垂直，A錯誤，對于B;取中點為，則所以平面平面,故平面,因此點到平面的距離與點到平面的距離相等，故,因此，故B正確；對于C;取中點為,連接,則,所以平面,故為與平面所成角，在直角三角形中，,故當長度最大時，最小，故當運動到與重合時，最大值為，此時最小為，故C正確；故選：BCD12．已知函數(shù)的定義域為為的導函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（       ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由是偶函數(shù)得出是奇函數(shù)，然后在已知式中對自變量賦值求解．【詳解】是偶函數(shù)，則，兩邊求導得，所以是奇函數(shù)，由，，得，即，所以是周期函數(shù)，且周期為4，，在，中令得，，A正確；沒法求得的值，B錯；令得，，，則，無法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在時，有，但不一定為0，因此C錯；在中令得，，在中令得，，兩式相加得，即，D正確；故選：AD． 三、填空題13．已知為中點，則___________.【答案】【分析】由中點坐標公式得點坐標，再求得向量的坐標后由數(shù)量積的坐標表示計算．【詳解】是中點，則點坐標為，，，．故答案為：．14．某地有6000名學生參加考試，考試后數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計該地學生數(shù)學成績在130分以上的人數(shù)為___________.【答案】300【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可成績在130分以上的概率，進而可求人數(shù).【詳解】由正態(tài)分布曲線的對稱軸為，以及可得，因此,故130分以上的人數(shù)為.故答案為：30015．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】求出導函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的極值、單調(diào)性、變化趨勢，從而得參數(shù)范圍．【詳解】，由題意有兩個不等的實根，即有兩個不等的實根，設，是，時，，遞減，時，，遞增，所以，又時，，且時，，，所以，方程有兩個不等的實根，且都是變號的根，即有兩個極值點．故答案為：．16．已知雙曲線的左?右焦點分別為，若線段上存在點，使得線段與的一條漸近線的交點滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.【答案】【分析】設，，由得，求出點坐標，代入漸近線方程得用表示的式子，求得其范圍后可得離心率范圍．【詳解】設，，，，則，，則，，，則，，點在漸近線上，所以，，由得，所以，又，所以，所以．故答案為：． 四、解答題17．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，由和差角公式即可化簡求值，（2）根據(jù)銳角確定的范圍，由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)即可求解.【詳解】(1)因為,所以由正弦定理得：,即,因為，所以，因為，故，所以，進而,(2)由（1）知,因為為銳角三角形，所以且,所以,由正弦定理得：,因為，所以,所以.18．如圖，在直三棱柱中，.(1)證明：；(2)若三棱錐的體積為，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直可得線線垂直，根據(jù)正方形對角線互相垂直得線線垂直，進而根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面,進而可證，（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)向量的坐標運算可求平面法向量，根據(jù)向量夾角求二面角大小.【詳解】(1)證明：連接，由三棱柱為直三棱柱可得平面，平面,所以因為,平面,所以平面,因為平面,所以.因為，所以四邊形是正方形，所以，又因為，平面,所以平面,因為平面,所以(2)由（1）得平面所以點到平面的距離為.所以解得.因為兩兩垂直，以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，設平面的法向量為,因為,則,令，則,設平面的法向量為,因為,則,令，則,設二面角的平面角為，根據(jù)幾何體特征可知為銳角，所以,所以二面角的大小為.19．記關(guān)于的不等式的整數(shù)解的個數(shù)為，數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，若對任意，都有成立，試求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）解不等式可確定，由及可求得；（2）由（1）求得，單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立，然后按的奇偶性分類討論得參數(shù)范圍．【詳解】(1)由不等式可得：，，，當時，，當時，，因為適合上式，；(2)由（1）可得：，，，，當為奇數(shù)時，，由于隨著的增大而增大，當時，的最小值為，，當為偶數(shù)時，，由于隨著的增大而減小，當時，的最大值為，，綜上可知：．20．為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080 (1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有無關(guān)聯(lián)；(2)從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；(3)為了提高學生體育鍛煉的積極性，學校設置了“學習女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓練.已知甲控制球時，傳給乙的概率為，傳給丙的概率為；乙控制球時，傳給甲和丙的概率均為；丙控制球時，傳給甲的概率為，傳給乙的概率為.若先由甲控制球，經(jīng)過3次傳球后，乙隊員控制球的次數(shù)為，求的分布列與期望.附：  【答案】(1)認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于(2)(3)分布列答案見解析，數(shù)學期望：【分析】（1）根據(jù)卡方的計算，與臨界值比較，即可根據(jù)獨立性檢驗的思想求解，（2）根據(jù)條件概率的計算公式即可求解，（3）由離散型隨機變量取值對應的事件，求出對應的概率，即可求解.【詳解】(1)零假設為：性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)聯(lián)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.(2)用表示事件“選到經(jīng)常參加體育鍛煉的學生”，B表示事件“選到男生”，則.(3)由題知的所有可能取值為，；所以的分布列為:012 21．在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個不同的點，連接交軌跡于點.（i）若直線交軸于點，證明：為一個定點；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個不同的點，且，求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切列出圓心距與半徑的關(guān)系，即可發(fā)現(xiàn)圓心的軌跡滿足橢圓的定義，進而可求其方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得韋達定理，根據(jù)點坐標可得方程，進而代入韋達定理即可求出坐標，根據(jù)弦長公式可求長度，進而得長，根據(jù)垂直，即可表示四邊形的面積，根據(jù)不等式即可求解最值.【詳解】(1)設動圓的半徑為，圓心的坐標為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，動圓的圓心的軌跡是以為焦點的橢圓，設其方程為：，其中從而軌跡的方程為：(2)（i）設直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點的橫坐標為：為一個定點，其坐標為（ii）根據(jù)（i）可進一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號當且僅當時取，即時，（法二）令，則當，即時，【點睛】本題考查了橢圓的方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，綜合性較強.利用幾何法求軌跡方程時，要多注意圖形位置間體現(xiàn)的等量關(guān)系，可通過先判斷軌跡，再求其方程.直線與橢圓相交問題，聯(lián)立方程是常規(guī)必備步驟，韋達定理得弦長，求面積或者長度最值時，往往需要先將其表達出來，再利用不等式或者函數(shù)的知識進行求解.22．已知函數(shù)(1)求的最小值；(2)函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，記該曲線與軸圍成圖形的面積為，證明：；(3)若對于任意恒成立，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導，利用導函數(shù)的正負確定單調(diào)性，進而可求最值，（2）通過單調(diào)性和最值可知當時，，進而可證明圍成的面積在梯形內(nèi)部，進而可求解，（3）對式子進行變形為，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為只需要即可求解.【詳解】(1)當時，由題知：當時，在上單調(diào)遞減當時，在上單調(diào)遞增.所以當，又因為所以最小值為.(2)因為，由（1）知：當時，.因為，所以在點處的切線方程為令，則所以在上單調(diào)遞減，所以.所以曲線在軸?軸?和之間設原點為軸與交點為和的交點為，點為，所以曲線在梯形內(nèi)部所以.(3)因為，所以所以①當時，因為，所以，所以②當時，令則在時恒成立所以在時單調(diào)遞增由題知：所以.所以由（1）知：所以【點睛】本題考查了導數(shù)的綜合運用，利用導數(shù)求解不含參的最值問題比較常規(guī)，處理起來也比較容易，對于含參問題，利用導數(shù)求解時，往往需要合理變形，然后根據(jù)式子特征構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性. 

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