2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市一般高中協(xié)作校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知圓心角是2弧度的扇形的周長為4，則扇形的面積為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由扇形的周長和面積公式求解.【詳解】由扇形的周長公式得，解得，所以扇形的面積為.故選：A2．在邊長為1的正方形ABCD中，向量，則向量的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量關(guān)系知E為DC的中點(diǎn)，F為BC靠近B端的三等分點(diǎn)，可以求得向量的模長，然后求得數(shù)量積，從而求得向量夾角.【詳解】由向量關(guān)系知E為DC的中點(diǎn)，F為BC靠近B端的三等分點(diǎn)，則，，，則由知，則故向量的夾角為故選：B3．下列各式正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性以及每個選項(xiàng)對應(yīng)角所在的象限逐項(xiàng)分析.【詳解】對于A， ， 在第二象限是增函數(shù)， ，錯誤；對于B， ， ， ，錯誤；對于C， ， 在第一象限是增函數(shù)， ，錯誤；對于D， ， ， ，正確；故選：D.4．在中，角所對的邊分別為，若，則角的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，整理可得：，由余弦定理可解得，結(jié)合為三角形內(nèi)角即可解得的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)?/span>，整理可得：，由余弦定理可得：，由為三角形內(nèi)角，即，可得：.故選：C．5．點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將點(diǎn)A繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)位置，則的橫坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求出.【詳解】設(shè)點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則，，則點(diǎn)是終邊上一點(diǎn)，則，所以.故選：D.6．為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島.若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（    ）A．北偏東， B．北偏東，C．北偏東， D．北偏東，【答案】C【分析】在中，，，，故可由余弦定理求出邊AC的長度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．【詳解】據(jù)題意知，在中，，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因?yàn)?/span>為銳角，所以，所以航行的方向和路程分別為北偏東，海里.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.7．函數(shù)，將圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，若對任意，都有成立，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出 的解析式，再求出 ，由題意 是 的最大值，運(yùn)用輔助角公式求出 的最大值即可.【詳解】依題意 ， ， ，其中 ，∴ 的最大值為 ，依題意有 ，即 ， ；故選：A.8．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且邊上的中線，則（    ）A．3 B． C．1或2 D．2或3【答案】C【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在中由余弦定理可得，綜上即可求解c【詳解】由得，∴，∵，∴，即.在中，由余弦定理可得，整理得，在中，，∴，即 （*），當(dāng)時，（*）式可解得，；當(dāng)時，（*）式可解得，；故選：C 二、多選題9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A． B．的最小正周期為C．直線是函數(shù)的一條對稱軸 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱【答案】ABC【分析】代入計算 ，可判斷A；由正弦型函數(shù)的最小正周期公式可判斷B；代入計算 ，可判斷C，D選項(xiàng).【詳解】解：對于A， ，故A正確；對于B，的最小正周期為，故B正確；對于C，，所以直線是函數(shù)的一條對稱軸，故C正確，D不正確，故選：ABC.10．已知平面向量，，則下列說法正確的是（    ）A． B．C．向量與的夾角為 D．向量在上的投影向量為【答案】BD【分析】根據(jù)向量模長的坐標(biāo)計算即可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B,由夾角公式可判斷C，由投影向量的求解公式可判斷D.【詳解】，所以，故A錯誤；，故B正確；，，，，故C錯誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD11．已知函數(shù)，下列命題中的真命題有（    ）A．，為奇函數(shù)B．，對恒成立C．，，若，則的最小值為D．，，若，則【答案】BC【分析】先化簡函數(shù)；作出函數(shù)的圖象，再逐項(xiàng)判斷，；由函數(shù)的圖象是的圖象向左或向右平移個單位，它不會是奇函數(shù)的，故A錯誤； 由，得，，，；又，取或時成立B正確； 由時，得 的最小值為，所以C正確；當(dāng)時， ，所以D錯誤.【詳解】由題意；∵的圖象如圖所示；函數(shù)的圖象是的圖象向左或向右平移個單位，它不會是奇函數(shù)的，故A錯誤；若 ，∴，∴，∴，；又，∴取或時，∴對恒成立，故B正確； 時， 的最小值為，故C正確；當(dāng)時， 故D錯誤；故選:BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為，則下列說法正確的是（　?。?/span>A．若，則△ABC有兩解B．若，則△ABC為直角三角形C．若，則D．若A=60°，，則△ABC面積的最大值為【答案】ACD【分析】由正弦定理判斷A，切化弦，結(jié)合正弦定理判斷B，正弦定理判斷C，由余弦定理、基本不等式、三角形面積公式結(jié)合起來判斷D．【詳解】A．由正弦定理得，，角可以是銳角也可以是鈍角，有兩解，A正確；B．已知，由正弦定理及商數(shù)關(guān)系得，三角形中，所以，，或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；C．由正弦定理，，，C正確；D．由余弦定理，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，所以最大值為，D正確．故選：ACD． 三、填空題13．已知，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為       ．【答案】【分析】先由與的夾角為銳角推出，由此解出的取值范圍，再把上述取值范圍內(nèi)使得與同向的的值去掉即可【詳解】因?yàn)?/span>與的夾角為銳角所以，解之得或若與同向，則（）即綜上，的取值范圍為故答案為：14．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，且，則          .【答案】-【分析】根據(jù)圖像求出 的解析式即可.【詳解】由圖可知： ， ，又 ，即 ， ；故答案為：- .15．設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且滿足.則      .【答案】4【詳解】解法1  有題設(shè)及余弦定理得 .故 .解法2  如圖4，過點(diǎn)作，垂足為.則，.由題設(shè)得.又，聯(lián)立解得，.故.解法3  由射影定理得.又，與上式聯(lián)立解得，.故.16．中，，，，是邊上一點(diǎn)，，則      ．【答案】/【分析】設(shè)，可得，由已知可得，再平方即可求出.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，解得，所以，則，所以.故答案為：. 四、解答題17．已知為銳角，.(1)求的值；(2)求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)；(2)對稱中心為,單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間. 【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡可得，即求；（2）利用正切函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）∵，∴，又為銳角，∴；（2）由題知函數(shù)，由，得，∴函數(shù)的對稱中心為；由，得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間.18．的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知．(1)求；(2)若是銳角三角形，，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等變換即可求解；(2)結(jié)合已知條件利用正弦定理表示出，再利用三角恒等變換求值即可.【詳解】（1）由正弦定理得，，在中，，故，∴，∴，，從而，，∵，∴；（2）由正弦定理得，，，其中為的外接圓半徑，故，因?yàn)?/span>是銳角三角形，，，即且，故，，所以，從而，故，故三角形周長的取值范圍為．19．在①②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.在中，角A?B?C所對的邊分別是a?b?c，___________.(1)求角A﹔(2)若，的面積為，求的周長.【答案】(1)(2) 【分析】（1）如選擇①，根據(jù)平方關(guān)系得到，再由正弦定理將角化邊，最后由余弦定理計算可得．選擇②，由正弦定理將邊化角，再利用誘導(dǎo)公式、和差公式即可得出．（2）由已知利用三角形的面積公式可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求的值，進(jìn)而可求的周長．【詳解】（1）解：若選擇①，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．若選擇②，因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，又，所以，則，所以．由于，，所以，，故．（2）因?yàn)?/span>，，的面積為，所以，由余弦定理，可得，解得，所以的周長．20．如圖，在中，已知(1)求；(2)已知點(diǎn)是上一點(diǎn)，滿足點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，滿足，是否存在非零實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，. 【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合向量數(shù)量積求出，再求出夾角B作答.（2）假定存在滿足條件的實(shí)數(shù)，利用向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算求解作答.【詳解】（1）在中，，，則，顯然有，于是得，，所以.（2）假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)，使得，由，得，則，又，則，于是得，而，解得，所以存在非零實(shí)數(shù)，使得.21．如圖有一塊半徑為4，圓心角為的扇形鐵皮，是圓弧上一點(diǎn)（不包括，），點(diǎn)，分別半徑，上．(1)若四邊形為矩形，求其面積最大值；(2)若和均為直角三角形，求它們面積之和的取值范圍．【答案】(1)8；(2). 【分析】(1)連接OP，令，用表示出矩形的面積，再借助三角函數(shù)計算作答.(2)利用(1)中信息，用表示出和的面積和，再換元變形結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計算作答.【詳解】（1）連接OP，如圖，令， 因四邊形為矩形，則，于是得矩形的面積，而，則當(dāng)，即時，取最大值1，即有，所以矩形面積最大值為8.（2）由(1)知，，則，，和的面積和：，令，即，而，則，，則，顯然在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，，而，因此，，所以和的面積和的取值范圍是：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及圖形上的點(diǎn)變化引起的線段長度、圖形面積等問題，若點(diǎn)的運(yùn)動與某角的變化相關(guān)，可以設(shè)此角為自變量，借助三角函數(shù)解決.22．函數(shù)圖象的一條對稱軸為，一個零點(diǎn)為，最小正周期滿足．(1)求的解析式；(2)若對任意恒成立，求的最大值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）首先根據(jù)周期的范圍求出，然后再結(jié)合函數(shù)的對稱軸和零點(diǎn)即可求出和的值，從而可求出函數(shù)的解析式；（2）首先根據(jù)的解析式把條件轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合變名的誘導(dǎo)公式及余弦的二倍角公式即可得到，即得到，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求出的取值范圍，從而可求的最大值．【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期滿足，所以，即；因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一條對稱軸為，所以①，因?yàn)楹瘮?shù)的一個零點(diǎn)為，所以②，②①，得，所以當(dāng)時，，因?yàn)?/span>，所以把代入①，得.所以.（2）因?yàn)?/span>，所以由，得，即，所以，即，所以，即，所以，所以，即，所以的最大值為. 

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