數(shù) 學(xué)
本試卷共4頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知全集，，則集合（ ）
A.B.
C.D.
2.函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A.B.C.D.
3.若事件，發(fā)生的概率分別為，，，則“”是“”的（ ）條件.
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分且必要D.既不充分又不必要
4.球是棱長為1的正方體的外接球，則球的內(nèi)接正四面體體積為（ ）
A.B.C.D.
5.某同學(xué)擲一枚正方體骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，統(tǒng)計(jì)出結(jié)果的平均數(shù)為2，方差為0.4，可判斷這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為（ ）
A.1B.2C.3D.4
6.已知，，且，則的最小值為（ ）
A.13B.C.14D.
7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，，則一定正確的是（ ）
A.的周期為2B.圖象關(guān)于直線對稱
C.為偶函數(shù)D.為奇函數(shù)
8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A.466B.467C.932D.933
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9.若，則（ ）
A.B.
C.D.
10.已知平面內(nèi)點(diǎn)，，點(diǎn)為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A.，點(diǎn)的軌跡為橢圓B.，點(diǎn)的軌跡為雙曲線
C.，點(diǎn)的軌跡為拋物線D.，點(diǎn)的軌跡為圓
11.如圖，圓錐的底面直徑和母線長均為6，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（ ）
A.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值為
B.當(dāng)時(shí)，四面體的體積為
C.當(dāng)且面時(shí)，
D.當(dāng)時(shí)，
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)到漸近線的距離是點(diǎn)到漸近線距離的2倍，則的離心率為______.
13.已知數(shù)列滿足，其前100項(xiàng)中某項(xiàng)正負(fù)號(hào)寫錯(cuò)，得前100項(xiàng)和為，則寫錯(cuò)的是數(shù)列中第______項(xiàng).
14.如右圖所示，中，，是線段的三等分點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，與，分別交于，，則平面向量用向量，表示為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面積為，求的周長.
16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面.
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的正弦值.
17.（15分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18.（17分）橢圓：左右頂點(diǎn)分別為，，且，離心率.
（l）求橢圓的方程；
（2）直線與拋物線相切，且與相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值.
19.（17分）（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程；
（2）設(shè)，且，證明：；
（3）設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列滿足：，且對任意正整數(shù)，均有.證明：對任意正偶數(shù)，均有.
河北省2025屆高三年級(jí)11月階段調(diào)研檢
測數(shù)學(xué)參考答案與解析
1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C
4.【答案】C
【解析】因?yàn)檎拿骟w可以補(bǔ)形為正方體，可知右圖中正四面體和正方體有同一外接球，正方體棱長為1，則體積為1，可得正四面體體積為正方體體積去掉四個(gè)角上的四面體體積，即.故選C.
5.【答案】B
【解析】不妨設(shè)五個(gè)點(diǎn)數(shù)為，由題意平均數(shù)為2，方差為0.4，
知.
可知五次的點(diǎn)數(shù)中最大點(diǎn)數(shù)不可能為4，5，6.
五個(gè)點(diǎn)也不可能都是2，則五個(gè)點(diǎn)數(shù)情況可能是3，3，2，1，1，其方差為
，不合題意.
若五個(gè)點(diǎn)數(shù)情況為3，2，2，2，1，其方差為
，符合題意，其眾數(shù)為2.
故選B.
6.【答案】A
【解析】，，又，且，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為13.故選A.
7.【答案】D
【解析】為奇函數(shù)，得，即，
則為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
且圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B錯(cuò)誤；
可知，函數(shù)周期為4，故A錯(cuò)誤；
，又圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，知，
所以，得關(guān)于點(diǎn)對稱，則關(guān)于點(diǎn)對稱，
所以為奇函數(shù)，故D正確.故選D.
8.【答案】B
【解析】【法一】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，
因?yàn)?，可得?br>又由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
且滿足，且，可得，即，且，
當(dāng)時(shí)，，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
所以，得
解得
令，
，共有467個(gè)零點(diǎn).故選B.
【法二】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，
因?yàn)?，可設(shè)，則，
又函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
可得，所以，則由圖象性質(zhì)，
可知，得，即.
或者，得，即.
所以最大為，得.
，解得.
令
，共有467個(gè)零點(diǎn).故選B.
9.【答案】AC
【解析】令，則，故A正確；
由二項(xiàng)式定理，則，故B錯(cuò)誤；
令，則，
則，故C正確；
令，則，又，
所以，得，故D錯(cuò)誤.
故選AC.
10.【答案】AD
【解析】由橢圓的定義知A正確；
線段的長度與線段的長度的差為，則的軌跡應(yīng)為雙曲線靠近點(diǎn)的一支，故B錯(cuò)誤；
設(shè)點(diǎn)，由得，
整理得，即，
當(dāng)時(shí)，，得或，
故曲線與軸有三個(gè)交點(diǎn)，軌跡不為拋物線，故C錯(cuò)誤；
由得，整理得
即軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故D正確.故選AD.
11.【答案】ACD
【解析】由題意可知是邊長為6的等邊三角形，，，.
時(shí)，為的中點(diǎn)，取得，為直線與所成角或其補(bǔ)角，
又，，.則，故A正確；
在中，，，得，
，且，則四面體的體積為.
，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，故四面體體積為四面體體積的四分之一，得四面體體積為，故B錯(cuò)誤；
對于CD選項(xiàng)：
【法一】當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，則，
過作交于，
此時(shí)為的中點(diǎn)，所以面面，
得面，所以，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，
在面內(nèi)過作交于，
則面，面，
故此時(shí)得到的，
中，，
由余弦定理得，，，
得，則，故D正確.故選ACD.
【法二】則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得
，，，
，，
，
得，，
，
對于C，，則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，，可取.
面時(shí)，得，
解得.故C正確.
對于D，，
由得，，.故D正確.
故選ACD.
12.【答案】2
13.【答案】38
【解析】，則其前100項(xiàng)和為
某項(xiàng)正負(fù)號(hào)寫錯(cuò)后得前100項(xiàng)和為，說明某正項(xiàng)寫成了負(fù)數(shù)，又，，故寫錯(cuò)的數(shù)為75，令，解得.故寫錯(cuò)的是數(shù)列中第38項(xiàng).
14.【答案】
【解析】【法一】與交于，可設(shè)，
解得，，得.
同理得，
所以.
【法二】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，
得，
同理過點(diǎn)作的平行線可得，
，
.
【法三】設(shè)，，則，得，
又因?yàn)?，?br>所以.
故，，解得，，
則.
同理可得，
【法四】特殊三角形法
設(shè)是底為12，高為2的等腰三角形建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
得，，，，，，
得直線：，：，：，
解得，，
得，，，
設(shè)，，
解得，，所以.
15.解：（1），由余弦定理得，，，
.
又，
.
（2）因?yàn)榈拿娣e為，即，
.
由余弦定理得.
解得.
所以周長為.
16.解：（1）【法一】證明：如圖所示，取中點(diǎn)，為等邊三角形，，
又面垂直于底面，交線為，
得面，
又面.
底面為直角梯形，，，
，，，
所以，，，
所以，得，
又，得面，面，所以.
【法二】取中點(diǎn)，為等邊三角形且垂直于底面，交線為，
則，得面，
又因?yàn)?，，?br>可設(shè)，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
得，，，
得，，
所以，
得.
（2）【法一】由（1）知面，
不妨設(shè)，則，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
得，，，
，，；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，，
可?。?br>設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
可取.
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的正弦值為.
【法二】不妨設(shè)，
為等邊三角形且垂直于底面，交線為，
底面為直角梯形，，，
所以面，
又，得面，
面，得面面，交線為，
取的中點(diǎn)，則，
等邊邊長為2，則，
，則面，
則點(diǎn)到面的距離等于點(diǎn)到面的距離為，
因?yàn)槊?，面，，均為直角三角形，?br>得，，.
作，可得，
所以平面與平面夾角的正弦值為.
17.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
得，則，
所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
，.
所以在上單調(diào)遞增，又，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上所述：單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）由，且，
得單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
又
由題意恒成立，得，
即恒成立，得恒成立，
設(shè)，得，
所以當(dāng)時(shí)，最大為.
所以恒成立，得.
綜上，若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18.解：（1）由題意，得，.
又的離心率為，得，所以，
則，
得橢圓的方程為.
（2）【法一】由題意當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，
易得，此時(shí).
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，方程可設(shè)為，與拋物線聯(lián)立得
整理得
由.
聯(lián)立，得，又，
整理得
且
得
設(shè)，，則，.
得
又點(diǎn)到直線距離為，
由二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)（滿足）時(shí)，
取得最大值為，
綜上所述，得的面積的最大值為.
【法二】由題意知直線斜率不為0，故方程可設(shè)為，
與拋物線聯(lián)立得，
直線與拋物線相切得，
聯(lián)立，得，
且.
設(shè)，
則，.
又與軸交于點(diǎn)，
則
又，
，
當(dāng)（此時(shí)，符合）時(shí)，取得最大值為
綜上所述，得的面積的最大值為.
【法三】由題意可設(shè)直線的切點(diǎn)為，
則切線方程為
當(dāng)切點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，易得
當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立
整理得
，得
設(shè)，
則，.
得
又點(diǎn)到直線距離為，
當(dāng)時(shí)（滿足），面積最大.
綜上所述，得的面積的最大值為.
【法四】設(shè)直線的切點(diǎn)為，即，
則切線方程為.
由題意知直線斜率不為0，得直線方程為，
，得.
設(shè)，
則，.
又與軸交于點(diǎn)，
則
當(dāng)（滿足）時(shí)，取得最大值為.
綜上所述，得的面積的最大值為.
19.解：（1）解方程，得，
由解得，
由，利用二次方程求根公式得，即，
所以的根為，，.
（2）【法一】證明：由，，
可設(shè)，，.
得.
【法二】選學(xué)內(nèi)容方法
由，且，
可設(shè)，.
則，，
則
（3）由于，且對任意正整數(shù)，均有，故
整理得，
解得.
因此，故
進(jìn)而由得，
①
因?yàn)闉榕紨?shù)，
又
利用①得
所以對任意正偶數(shù)，均有.
0
極大值

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