一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解出集合，根據補集含義即可得到答案.
【詳解】，即，解得，則 ，
所以.
故選：D.
2．已知是復數(shù)的共軛復數(shù)，則，則（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】B
【分析】設出復數(shù)的代數(shù)形式，結合復數(shù)相等的定義、復數(shù)模的定義進行求解即可.
【詳解】設，
由題意可得：
，
即，即，
故選：B
3．命題“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】將特稱命題否定成全稱命題即可
【詳解】命題“，”的否定是“，”，
故選：C
4．從1、2、3、4、5、6、7這7個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，事件：“取出的5個不同的數(shù)的中位數(shù)是4”，事件：“取出的5個不同的數(shù)的平均數(shù)是4”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據中位數(shù)的性質、平均數(shù)的定義，結合古典概型、條件概率的公式進行求解即可.
【詳解】根據題意，從7個數(shù)中任取5個數(shù)，則基本事件總數(shù)為，
這5個數(shù)的中位數(shù)是4的基本事件有個，
所以，
其中5個數(shù)的平均數(shù)都是4的基本事件有
1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，6，共3種情況，
這3種情況恰好也是的基本事件，
所以，所以，
故選：C
5．如圖所示，中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據平面向量基本定理結合已知條件求解即可
【詳解】因為點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，
所以
,
故選：A
6．若角的終邊經過點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據題意可求得，利用同角的三角函數(shù)關系結合二倍角公式化簡，代入求值，可得答案.
【詳解】根據角的終邊經過點，得，
又,
故選:C.
另解：根據三角函數(shù)的定義，得，，
所以，
所以，
故選：C.
7．若，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據題意求得和的值，結合兩角差的余弦公式，即可求解.
【詳解】由題意，可得，，
因為，，可得，，
則
.
故選：C.
8．已知函數(shù)在區(qū)間內有最大值，但無最小值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據正弦型函數(shù)的單調性，結合數(shù)形結合思想進行求解即可.
【詳解】因為，所以當時，
則有，
因為在區(qū)間內有最大值，但無最小值，
結合函數(shù)圖象，得，
解得，
故選：A
二、多選題
9．把函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）得到函數(shù)的圖像，下列關于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．最小正周期為B．單調遞增區(qū)間
C．圖像的一個對移中心為D．圖像的一條對稱軸為直線
【答案】ABD
【分析】由函數(shù)圖像變換得到解析式即可判斷A；利用整體代換法求出函數(shù)單調增區(qū)間即可判斷B；
分別求出和的值即可判斷C和D.
【詳解】函數(shù)的圖像先向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），
得到的圖像，則其最小正周期為，A正確；
令解得增區(qū)間是，B正確；
當時函數(shù)的值為，故C錯誤；
當時，函數(shù)的值為，
故圖像的一條對稱軸為直線，D正確．
故選:ABD．
10．已知向量，，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則與的夾角為
【答案】BC
【分析】根據向量垂直的坐標表示判斷A，根據向量平行和數(shù)量積的坐標表示判斷B，根據向量模長的坐標表示判斷C，根據向量夾角的坐標表示判斷D.
【詳解】選項A，若，則，解得，故A項錯誤；
選項B，若，則，解得，
則，故B項正確；
選項C，若，則，所以，故C項正確；
選項D，，則，，，
所以，所以與的夾角不是，故D項錯誤，
故選：BC
11．已知，則（ ）
A．的最大值為B．的最大值為
C．的最小值為5D．的最小值為
【答案】BC
【分析】利用基本不等式易得結論.
【詳解】∵已知，
∴，
∴即，當且僅當即時取等號，
對于A，，
當且僅當即時取最小值，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，
當且僅當，即時取最小值5，故C正確；
對于D，，當且僅當即時取等號，故D錯誤.
故選：BC.
12．在正方體中，，，分別為，，的中點，則（ ）

A．直線與所成的角為
B．直線與平面平行
C．若正方體棱長為1，三棱錐的體積是
D．點和到平面的距離之比是
【答案】BCD
【分析】對于A項，通過找平行線來求異面直線所成角即可；對于B項，通過面面平行的判定定理可證得平面平面AEF，再結合面面平行的性質可證得平面AEF；對于C項，由平面AEF可得和G到平面AEF的距離相等，運用等體積法即可求得三棱錐的體積；對于D項，由C與B到平面AEF的距離相等及即可求得結果.
【詳解】對于選項A，由圖可知與顯然平行，所以即為所求，故選項A不正確；
對于選項B，取的中點M，連接、，如圖所示，

易知，且平面AEF，平面AEF，所以平面AEF．
又易知，平面AEF，平面AEF，所以平面AEF．
又，、面，所以平面平面AEF．
又平面，所以平面AEF，故選項B正確；
對于選項C，由選項B知，平面AEF，所以和G到平面AEF的距離相等，
所以．故選項C正確；
對于選項D，平面AEF過BC的中點E，即平面AEF將線段BC平分，
所以C與B到平面AEF的距離相等，
連接交于點，如圖所示，

顯然，
所以與B到平面AEF的距離之比為，故選項D正確.
故選：BCD．
三、填空題
13．現(xiàn)有5名同學從北京、上海、深圳三個路線中選擇一個路線進行研學活動，每個路線至少1人，至多2人，其中甲同學不選深圳路線，則不同的路線選擇方法共有 種．（用數(shù)字作答）
【答案】.
【分析】根據題意，分為甲同學單獨1人和甲同學與另外一個同學一起，兩類情況討論，結合排列、組合，即可求解.
【詳解】每個路線至少1人，至多2人，則一個路線1人，另外兩個路線各2人，
若甲同學單獨1人時，有種不同的選法；
若甲同學與另外一個同學一起，則有種不同的選法，
則不同的選擇方法有60種．
故答案為：.
14．已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.
【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，
由雙曲線的離心率為，得，解得，則，
所以雙曲線的方程為.
故答案為：
15．等差數(shù)列的前n項和為，若前5項和5，倒數(shù)5項和為95，則 .
【答案】202
【分析】利用等差數(shù)列的性質及求和公式，列方程組即可求解.
【詳解】解：由前5項和為5，倒數(shù)5項和為95得，
，
兩個式子相加得：，即，
由等差數(shù)列求和公式知，解得，
故答案為：.
16．在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據正弦定理求出，即可根據三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因為，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．
故答案為：．
【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．
四、解答題
17．在遞增的等比數(shù)列中，，，其中.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，求出的首項、公比即可作答.
（2）利用分組求和法及等比數(shù)列前n項和公式求和作答.
【詳解】（1）由，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，得，
因此數(shù)列的公比，則，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）得，，
.
18．已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的最小正周期;
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）對進行化簡，得到正弦型函數(shù)的形式，根據，得到答案；（2）先得到，再將所求的，利用兩角和的正弦公式，計算得到答案.
【詳解】（1）
所以的最小正周期為.
（2）由（1）得，
所以
由得，
所以
【點睛】本題考查三角恒等變形，同角三角函數(shù)關系，三角函數(shù)給值求值題型，屬于簡單題.
19．為迎接黨的“二十大”勝利召開，學校計劃組織黨史知識競賽.某班設計一個預選方案：選手從6道題中隨機抽取3道進行回答.已知甲6道題中會4道，乙每道題答對的概率都是，且每道題答對與否互不影響.
(1)分別求出甲、乙兩人答對題數(shù)的概率分布列；
(2)你認為派誰參加知識競賽更合適，請說明你的理由.
【答案】(1)答案見解析；
(2)甲，理由見解析.
【分析】（1）分別確定甲、乙答對的可能題數(shù)，并求出對應的概率值，進而寫出它們的分布列；
（2）由（1）所得甲乙的分布列求期望和方差，比較它們的大小，進而確定知識競賽人選.
【詳解】（1）設甲、乙答對的題數(shù)分別為、，
的可能取值為1，2，3，
∴，，
∴的分布列為
的可能取值為0，1，2，3，且，
∴，，
，，
∴的分布列為
（2）由（1）有，
∴，
而，，
∴，
故兩人平均答對的題數(shù)相等，說明實力相當；但甲答對題數(shù)的方差比乙小，說明甲發(fā)揮較為穩(wěn)定，因此推薦甲參加比賽更加合適.
20．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并加以解答．
在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知______．
（1）求角A的大小；（2）若，求的取值范圍．
【答案】條件性選擇見解析，（1）；（2）.
【分析】（1）若選①：根據正弦定理，結合余弦定理進行求解即可；
若選②：根據正弦定理，結合同角的三角函數(shù)關系式進行求解即可；
若選③：直接應用余弦定理進行求解即可.
（2）根據正弦定理，結合輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質進行求解即可.
【詳解】（1）選①：由已知得，
故由正弦定理得．由余弦定理得．
因為，所以
選②：由正弦定理及，得，所以
因為，所以
選③：由及余弦定理，得，整理得．由余弦定理得．
因為，所以
（2）由（1)知，則，
因為，所以，即，
所以
，
因為，所以，則，所以.
21．在如圖所示的多面體中，四邊形是邊長為2的菱形，，平面，，，.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】（1）作輔助線，證明線線平行，從而得到線面平行；
（2）建立直角坐標系，求出平面的法向量，結合線面角的公式可求.
【詳解】（1）證明：設與的交點為，則為的中點，
取的中點，連接，則，又，所以，
因為，，
所以四邊形是平行四邊形，則，
因為平面，平面，
所以平面，即平面.
（2）取的中點，連接，則，易得，
因為平面，所以平面平面，
所以平面.
建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.
所以，，.
設平面的一個法向量為，
則，即，
取，得，，所以.
設直線與平面所成角為，
則.
【點睛】本題主要考查空間線面平行的證明及線面角的求解，線面平行一般利用線線平行或者面面平行來證明，線面角一般利用法向量進行求解，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
22．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)當時，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據導數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）當時，，，再令，求導可得存在，使得，進而得出的單調性，從而根據代入化簡可得，再構造函數(shù)證明即可.
【詳解】（1），，又，
故在點處的切線斜率為，切線方程為：
（2）證明：當時，，
則，
當時，，令，
則，故在上單調遞增.
∵，，
故存在，使得，即，即，
故當時，，此時，
當時，，此時，
即在上單調遞增，在上單調遞減，則
.
令，，則，
故在上單調遞增，則，故.
【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是采用隱零點法得，再計算，最后再設新函數(shù)，，得到的單調性即可證明原不等式.
1
2
3
0
1
2
3

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