一、單選題
1．___________，橫線上可以填入的符號有（ ）.
A．只有B．只有C．與都可以D．與都不可以
【答案】C
【分析】利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系即可求解.
【詳解】是集合的一個元素，所以，
因為，所以，
所以橫線上可以填入的符號有與都可以，
故選：C.
2．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用復(fù)數(shù)的乘方和乘法運算化簡，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解.
【詳解】解：因為，
所以.
故選：B
3．空間不重合的三個平面可以把空間分成（ ）
A．4或6或7個部分B．4或6或7或8個部分
C．4或7或8個部分D．6或7或8個部分
【答案】B
【分析】將空間不重合的三個平面位置關(guān)系分為：三個平面互相平行；三個平面有兩個平面平行；三個平面交于一線；三個平面兩兩相交且三條交線平行；三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，分情況分析求解即可.
【詳解】空間不重合的三個平面，
若三個平面互相平行，則可將空間分為4部分；
若三個平面有兩個平面平行，則第三個平面與其它兩個平面相交，可將空間分為6部分；
若三個平面交于一線，則可將空間分為6部分；
若三個平面兩兩相交且三條交線平行（聯(lián)想三棱柱三個側(cè)面的關(guān)系），則可將空間分為7部分；
若三個平面兩兩相交且三條交線交于一點（聯(lián)想墻角三個墻面的關(guān)系），則可將空間分為8部分.
所以空間不重合的三個平面可以把空間分成4或6或7或8個部分.


故選：B.
4．在二項式的展開式中，二項式系數(shù)最大的是（ ）
A．第3項B．第4項
C．第5項D．第3項和第4項
【答案】B
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)分析求解.
【詳解】二項式的展開式共有7項，則二項式系數(shù)最大的是第4項.
故選：B.
5．已知雙曲線的離心率為，若點與點都在雙曲線上，則（ ）
A．B．或
C．2或3D．
【答案】D
【分析】代入兩點坐標，得到方程組，求出，得到，求出或，檢驗后得到，得到離心率.
【詳解】由點，在雙曲線上，得，
則，即，整理得，
解得或，
當(dāng)時，，此時方程無解，不滿足題意；
當(dāng)時，，而，解得，，滿足題意.
所以，
故選：D.
6．?dāng)?shù)學(xué)家切比雪夫曾用一組多項式闡述余弦的倍角公式，即，，，，，，，…，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用新定義得出，然后結(jié)合換元法求出結(jié)果即可.
【詳解】由，
得
，
即，
整理得，
令，則，
解得，
因為，所以，
，所以.
故選：A
7．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于原點對稱，若關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不同的解，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，得到關(guān)于原點對稱，求得，得到，再由，得到，結(jié)合，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，得到且，再由，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，
得到函數(shù)的圖象，
因為所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以，可得，
又因為，所以，所以，
因為，所以，
由，可得，
根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可得，且，
則，所以.
故選：B.
8．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的上凸和下凸性質(zhì)得到，，結(jié)合得到，設(shè)，求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞減，得到，同理可得，，相加后求出，得到答案.
【詳解】設(shè)，畫出的圖象，
故為下凸函數(shù)，
當(dāng)時，
所以，.
設(shè)，畫出圖象，
故為上凸函數(shù)，當(dāng)時，
所以，
同一坐標系內(nèi)畫出和的圖象，
又在R上單調(diào)遞減，故，所以.
設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，
所以時，
所以，，
所以，
同理可得，，
相加得，，
所以.
故選：A
【點睛】結(jié)合函數(shù)圖象得到函數(shù)的凹凸性，進而可根據(jù)此性質(zhì)得到以下結(jié)論，
若函數(shù)為上凸函數(shù)，則有，
若函數(shù)為下凸函數(shù)，則有，
本題中可以此性質(zhì)比較出的大小.
二、多選題
9．人均國內(nèi)生產(chǎn)總值是人們了解和把握一個國家或地區(qū)的宏觀經(jīng)濟運行狀況的有效工具，即“人均GDP”，常作為發(fā)展經(jīng)濟學(xué)中衡量經(jīng)濟發(fā)展?fàn)顩r的指標，是最重要的宏觀經(jīng)濟指標之一.在國家統(tǒng)計局的官網(wǎng)上可以查詢到我國2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：元）的數(shù)據(jù)，如圖所示，則（ ）
A．2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增
B．2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為42201
C．這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是71828
D．這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長量最小的是2020年
【答案】ABD
【分析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)和極差、百分位數(shù)、增長量的定義判斷.
【詳解】由圖可知，2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，A正確；2013年至2022年人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為85698-43497=42201，B正確；因為10×80%=8，所以這10年的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是.C不正確；由圖中數(shù)據(jù)分析可知，2020年人均同內(nèi)生產(chǎn)總值的增長為71828-70078=1750（元），是這10年中增長量最小的，D正確.
故選：ABD.
10．已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（ ）
A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞減
【答案】BD
【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可以判斷選項A，B；對于選項C，舉出反例即可判斷；利用奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性的定義可以判斷選項D.
【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
對于選項A，因為，所以是偶函數(shù)，故選項A錯誤；
對于選項B，，故為偶函數(shù)，故選項B正確；
對于選項C，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故選項C錯誤；
對于選項D，因為是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，
又，在上單調(diào)遞減，所以，在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，
不妨設(shè)，則，，
所以在上單調(diào)遞減，故選項D正確.
故選：BD.
11．已知，，，則（ ）
A．的最小值為9B．的最小值為
C．的最大值為D．的最小值為
【答案】CD
【分析】A應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值，注意取等條件；B由，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值；C、D利用基本不等式及指數(shù)運算性質(zhì)求最值，注意取等條件.
【詳解】A：因為，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，取得最小值，錯；
B：，二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)，時取得最小值，錯；
C：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，對；
D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，對.
故選：CD
12．如圖，棱長為2的正四面體的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線，，上，則（ ）
A．三棱錐的體積為B．直線平面
C．直線與所成的角是D．平面
【答案】ACD
【分析】直接由垂直求得，計算出四面體體積判斷A，將正四面體放入正方體中，從而利用正方體的性質(zhì)判斷BCD．
【詳解】對于A，易知，可得，
則，故A正確；
對于B，結(jié)合A中結(jié)論，將正四面體放入正方體中，如圖所示，
因為，平面，所以與平面不平行，故B錯誤；
對于C，顯然與平行，所以為異面直線與所成的角，
又，所以直線與所成的角是，故C正確；
對于D，由C選項的分析可知在正方體中，平面，
而平面，則，
又，平面，所以平面，
因為平面，所以，
同理，而平面，
所以平面，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是將圖形補形成正方體，從而得解.
三、填空題
13．已知為橢圓：的右焦點，P為C上一點，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】結(jié)合橢圓的相關(guān)知識，求出，，，利用計算即可.
【詳解】依題意，，，
所以.
故答案為：.
14．已知是數(shù)列的前項和，，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則 .
【答案】341
【分析】由等比數(shù)列定義寫出通項公式，再由并應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式求結(jié)果.
【詳解】由數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，
則，
所以.
故答案為：
15．已知16個邊長為1的小菱形的位置關(guān)系如圖所示，且每個小菱形的最小內(nèi)角為60°，圖中的A，B，C，D四點均為菱形的頂點，則 .
【答案】
【分析】以圖形的對稱軸為y軸，過點A作對稱軸的垂線為x軸，建立平面直角坐標系.寫出各點坐標進而求得向量的坐標，即可求得數(shù)量積.
【詳解】因為每個小菱形的最小內(nèi)角為60°，所以每個小菱形都可以分為兩個正三角形.
以該圖形的對稱軸為y軸，過點A作對稱軸的垂線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，
則，，，，
所以，，
所以.
故答案為：
16．半徑為的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高，球缺的體積公式為.已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，在圓錐內(nèi)部放置一個小球，使其與圓錐側(cè)面和底面都相切，過小球與圓錐側(cè)面的切點所在的平面將小球分成兩部分，則較小部分的球缺的體積與球的體積之比為 .
【答案】
【分析】依題意作圓錐軸截面圖，按球缺的定義結(jié)合幾何條件即可求解.
【詳解】如圖所示為圓錐軸截面，,為小球與圓錐側(cè)面的切線上兩點，圓錐母線，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為.由題意是等邊三角形，則，，
所以小球的半徑.
又，所以，則，
解得，則是中點，
同理可得是中點，所以，
故到的距離為，則上部分球缺的高，
上部分即較小部分球缺的體積為，
則較小部分球缺的體積與球的體積之比為.
故答案為：.
四、證明題
17．已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，.
(1)求A；
(2)若，證明：.
【答案】(1).
(2)證明見解析.
【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理角化邊，可得，利用余弦定理即可求得答案；
（2）利用正弦定理邊化角，化簡，可得，結(jié)合輔助角公式化簡可求得角B以及角C，利用直角三角形性質(zhì)即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意，由正弦定理可得，
即，
故 ，
而，故.
（2）證明：因為，由正弦定理可得，
即,
所以，即，
因為，則，
故，
故在中，.
18．在數(shù)列中，，.
(1)求證：為等差數(shù)列；
(2)求的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用構(gòu)造法，結(jié)合等差數(shù)列的定義可得證；
（2）法一：利用并項求和的方法可得解，法二：分組求和的方法可得解.
【詳解】（1）由，得，
又，
所以數(shù)列是以為首項，的等比數(shù)列，
即，即，
所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得，
法一：
當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，
；
綜上所述，；
法二：
當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，
；
綜上所述.
五、解答題
19．如圖，已知四邊形為菱形，平面，平面，.
(1)證明：平面平面；
(2)若平面平面，求的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面平行和面面平行的判定定理證明即可；
（2）設(shè)，然后根據(jù)平面平面列方程求解即可.
【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，
又平面，平面，所以平面.
因為四邊形為菱形，所以，
又平面，平面，所以平面.
因為，平面，
所以平面BCF∥平面.
（2）
解：設(shè)交于點O，取中點H，連接，所以，底面.以為原點，以，，分別為x軸，y軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，
因為，所以，
設(shè)，則，，，，，.
所以，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，得；
，；
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，得.
因為平面平面，所以，解得，
故的長為1.
20．已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對，，且在處取得極小值，求的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；
（2）首先由恒成立得出，然后求出，求出的根，根據(jù)根的大小分類討論得出單調(diào)性及極值，從而得參數(shù)范圍．
【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為.
，
令，可得，
當(dāng)變化時，和的變化情況如下：
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）因為對恒成立，所以對恒成立，
顯然不恒成立，不合題意，則，解得.
令，可得或，
當(dāng)時，，
因為，（當(dāng)且僅當(dāng)時，）
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；
當(dāng)時，，
和的變化情況如下：
函數(shù)在處取得極小值，滿足題意；
當(dāng)時，，和的變化情況如下：
函數(shù)在處取得極大值，不滿足題意.
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
21．2023年9月23日第19屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會共設(shè)40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目.為研究不同性別學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況，某學(xué)校進行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件 “了解亞運會項目”， “學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計，.
附：，.
(1)根據(jù)已知條件，填寫下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為該校學(xué)生對亞運會項目的了解情況與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從該校了解亞運會項目的學(xué)生中，采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取9名學(xué)生，再從這9名學(xué)生中隨機抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，該校學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關(guān)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）根據(jù)題中所給條件填寫表格，寫出零假設(shè)，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算出值，與比較，得出結(jié)論即可.
（2）根據(jù)題意知其服從超幾何分布，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.
【詳解】（1）因為，，
所以對杭州亞運會項目了解的女生為，了解亞運會項目的學(xué)生為，
結(jié)合男生和女生各50名，填寫2×2列聯(lián)表為：
零假設(shè)：該校學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
依據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷成立，
即該校學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關(guān).
（2）由（1）知，采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取9名學(xué)生，
其中男生人數(shù)為（人）；
女生人數(shù)為（人），
由題意可得，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3.
，，
，.
隨機變量的分布列如下：
則.
22．已知拋物線：經(jīng)過，，，中的2個點，且焦點為，中的一個點.
(1)求的方程；
(2)判斷是否存在定直線，過直線上任意一點P作的兩條切線，切點分別為M，N，恒有且直線過的焦點?若存在，求出的方程，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在定直線：
【分析】（1）由拋物線C關(guān)于x軸對稱，可得，都在C上，或都不在C上，討論即可求解；
（2）先由對稱性知，直線也關(guān)于x軸對稱，再從特殊情況軸時入手， 求得定直線，再證明即可.
【詳解】（1）由拋物線C關(guān)于x軸對稱，可得，都在C上，或都不在C上，
若，都不在C上，則，都在C上，
得即矛盾，
所以，都在C上，，，焦點坐標為.
若C的焦點為，則，，可得C的方程為；
若C的焦點為，則，，不滿足題意.
綜上，C的方程為.
（2）由（1）知C的焦點為，假設(shè)存在符合條件的直線，
由拋物線C關(guān)于x軸對稱，可得直線也關(guān)于x軸對稱，
設(shè)，，，
當(dāng)軸時，由過，得，，
由對稱性可知點P在x軸上，知.
又，所以，得，
此時，的方程分別為，，
與聯(lián)立得，
因為，所以，與都相切，滿足題意，
所以直線的方程為.
下面證明對直線上的任意一點，都有，且直線過點.
設(shè)直線，的斜率分別為，
則直線的方程為，與聯(lián)立得：，
所以，整理得，
當(dāng)時，，，即.
同理可得，.
所以，是關(guān)于的方程的兩個根，
所以，即，
又，，
所以點，，共線，即直線過的焦點.
綜上，存在定直線：，過直線上任意一點作的兩條切線，切點分別為，，恒有且直線過的焦點.
.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法：1、從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關(guān)；2、直接推理、計算，并在推理過程中消去變量，得到定值.
0
-
-
0
+
單調(diào)遞減
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
0
+
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0
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單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
0
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0
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0
+
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
合計
男生
女生
合計
了解
不了解
合計
男生
15
35
50
女生
30
20
50
合計
45
55
100
0
1
2
3

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遼寧省朝陽市建平縣實驗中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題
2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽市建平縣實驗中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽市建平縣實驗中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽市建平縣實驗中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽市建平縣實驗中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
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