一、單選題
1．已知復數(shù)z滿足，則（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】根據(jù)復數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由于，所以，故，
故選：A
2．下列函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合基本函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】對于A, 的定義域為，故不符合題意，
對于B，故為奇函數(shù)，且當時，，為上的單調(diào)遞增函數(shù)，進而可得在上的單調(diào)遞增，故B滿足題意，
對于C，為非奇非偶函數(shù)，故不符合題意，
對于D，為周期函數(shù)，故不是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故不符合題意，
故選：B
3．已知，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用，結(jié)合兩角和的余弦公式求值.
【詳解】因為，所以，
又，所以為銳角，且.
∴.
故選：C
4．如圖，“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機取一個數(shù)，該數(shù)大于2023的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由楊輝三角的性質(zhì)判斷第20行的數(shù)大于2023的個數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.
【詳解】由楊輝三角的性質(zhì)知第20行的數(shù)為，一共有21個數(shù)，
其中，
由楊輝三角的對稱性可知，第20行中大于2023的數(shù)的個數(shù)為，
故所求概率為.
故選：A.
5．在中，“”是“為直角三角形”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】逐步分析條件，否定充分性，舉例子否定必要性即可.
【詳解】在中，若，則，
故，或，或，
故充分性不成立，令，，不符合，故必要性不成立，
故選：D
6．已知為數(shù)列的前n項和，，下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．當數(shù)列的前n項積最大時，或者
D．數(shù)列的前n項和為
【答案】D
【分析】A選項，利用求出通項公式；B選項，計算出，，，故B錯誤；C選項，計算出，且當時，，得到當時，數(shù)列的前n項積最大；D選項，，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.
【詳解】A選項，當時，，
當時，，
因為，故，A錯誤；
B選項，，，
，由于，B錯誤；
C選項，由A知，，
故，
當時，，
綜上，當時，數(shù)列的前n項積最大，C錯誤；
D選項，由A選項，，，
故的前n項和為
，D正確.
故選：D
7．已知某正四棱錐高為h，底面ABCD邊長為a，內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R，下列說法中不正確的是（ ）
A．得到a，h的值，可以確定唯一的R
B．得到a，h的值，可以確定唯一的r
C．得到a，R的值，可以確定唯一的h
D．得到a，r的值，可以確定唯一的h
【答案】C
【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合外接球以及內(nèi)切球的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】在正四棱錐中，當?shù)酌孢呴L以及四棱錐的高確定時，此時正四棱錐是唯一確定的，
因此此時正四棱錐的內(nèi)切球以及外接球均唯一確定，故AB正確，
如圖，，為，的中點，,
由題意，為正四棱錐，底邊長為，
根據(jù)等體積法可得,化簡可得，
的值，可以確定唯一的h，D正確,
設外接球球心為,連接，
,化簡可得，
當時，此時有兩個不相等的實數(shù)根，
所以得到a，的值，不可以確定唯一的h，C錯誤，
故選：C．
8．橢圓C：（）的左右焦點分別為，，B為橢圓C的下頂點，延長交橢圓C于另一點A，若，則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由橢圓的定義可得，又,由余弦定理可得則,由于，結(jié)合余弦定理，即可得出答案．
【詳解】由橢圓的定義可得，
根據(jù)題意可得，
所以，
解得,
所以，
所以，
所以，所以，
所以，
故選：B
二、多選題
9．已知，是全集的兩個非空真子集，下列說法中一定正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】結(jié)合韋恩圖判斷集合間的運算結(jié)果.
【詳解】
如圖所示，，A選項錯誤；，，，BCD選項正確；
故選：BCD.
10．已知m，n為異面直線，平面，平面．若直線l滿足，，，，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．
【答案】AC
【分析】A選項，由線面垂直得到線線垂直，進而由線面平行得到線線平行；B選項，可舉出反例；C選項，由線面垂直得到，，進而得到；D選項，假設，得到，與矛盾，D錯誤.
【詳解】A選項，因為平面，則存在，使得且，
因為，由線面平行判定可得，A正確；
B選項，如圖1，滿足題目條件，但不垂直，B錯誤；
C選項，如圖2，因為，所以，
平面，，故，
平面，，故，
又，，故，C正確；
D選項，假設，因為平面，所以，
則與矛盾，D錯誤.
故選：AC
11．已知數(shù)列滿足，，下列說法中正確的是（ ）
A．
B．，且，滿足
C．（）
D．記的前n項積為，則
【答案】AD
【分析】A選項，變形得到，若，推出，矛盾，故，即；B選項，得到，若，推出，矛盾；C選項，假設（），代入條件得到，C錯誤；D選項，得到，利用累乘法可得：，因為，所以，則，也可構(gòu)造法求出，得到BC錯誤.
【詳解】A選項，由可得，
若，則，以此類推，，…，，與已知條件矛盾，
故，此時，且滿足，所以A正確．
B選項，由可得，
因為，若，則，以此類推，，…，，與已知條件矛盾．
故，又，所以恒成立．
則，故是遞減數(shù)列，所以B錯．
C選項，假設（），則，
將代入中得，
，
或者取驗證可知C不成立，所以C錯．
D選項，由，，利用累乘法可得：
，
因為，所以，則．所以D正確．
另解AB選項：由，左右兩邊同時取對數(shù)，
，
令，則，設，
故，故，
故為等比數(shù)列，首項為，公比為2，
故，故，
代入，則．顯然，故A正確，
因為函數(shù)單調(diào)增函數(shù)，且大于0恒成立，則單調(diào)遞減，
則數(shù)列為遞減數(shù)列，則不存在，且，滿足，所以B錯誤；
故選：AD.
【點睛】方法點睛：由遞推公式求解通項公式，根據(jù)遞推公式的特點選擇合適的方法，
（1）若，采用累加法；
（2）若，采用累乘法；
（3）若，可利用構(gòu)造進行求解；
12．函數(shù)的圖象稱為牛頓三叉戟曲線．若關(guān)于x的方程有3個實根，，，，且，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性作出其圖象.對于A：結(jié)合圖象分析判斷；對于B：由圖可知，利用作差法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于C：根據(jù)題意整理得，結(jié)合運算求解即可；對于D：整理得，令，構(gòu)建（），利用導數(shù)求其最值即可.
【詳解】由題意可知：的定義域為，，
令，解得或；令，解得；
則在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，
令，解得或，
可得的圖象如圖所示：
對于A：若關(guān)于x的方程有3個實根，由函數(shù)圖象可知，符合題意，故A正確；
對于B：由圖可知，則，
，
因為在上單調(diào)遞增，由，可得，
所以，故B錯誤；
對于C：由可得，由圖象可知，
即，解得，故C錯誤；
對于D：由，
令，則（），
構(gòu)造（），則，
令，解得；令，解得；
則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以，即，故D正確．
【點睛】方法點睛：（1）作圖：常用描點法和圖象變換法．圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換．
（2）識圖：從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應關(guān)系．
（3）用圖：圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數(shù)形結(jié)合研究．
三、填空題
13．函數(shù)在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】求導，得到，得到切線方程.
【詳解】，，
故在點處的切線方程為，即.
故答案為：
14．2023年10月5日晚，杭州亞運會女籃決賽在杭州奧體中心體育館打響，中國女籃戰(zhàn)勝日本女籃，以6戰(zhàn)全勝的戰(zhàn)績強勢奪冠，第7次獲得亞運會金牌.中國隊6場比賽得分依次為101，101，111，104，100，74，則中國隊6場比賽得分的第75百分位數(shù)是 ．
【答案】104
【分析】根據(jù)百分位數(shù)知識即可求解.
【詳解】由題意知：將場比賽得分從小到大排列為：，，，，，，
因為，
所以可得場比賽得分第百分位數(shù)為第位的數(shù)：.
故答案為：.
15．（），若存在，使得，則正實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的值域可知存在，使得，即可利用整體法求解.
【詳解】當時，，
故由可得，
因此存在，使得，
由于，（），
則，
因此，解得，
故答案為；
16．MN是棱長為2的正方體的內(nèi)切球的一條直徑，點E為的中點，若空間內(nèi)動點Р滿足AP⊥CE，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算可得，進而利用線面垂直可判斷在平面上，即可利用空間向量求解點面距離求解.
【詳解】設內(nèi)切球的球心為,連接，可得
，
取,的中點為，連接，
由于E為的中點，所以又,
所以,因此,故,
又,所以,
又平面，平面，所以,
平面，
因此點在平面上不同于點處運動，
故當平面時，此時最小，
建立如圖所示的空間坐標系，則,
,
設平面法向量為，則，
取，則，
故到平面的距離為
所以的最小值為，
故答案為：
【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點線面關(guān)系的認知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.
四、解答題
17．在中，，，，為的平分線．
(1)求的面積；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；
（2）利用二倍角的余弦公式求出，再根據(jù)角平分線定理求出，再解即可.
【詳解】（1）在中用余弦定理，，
則，
所以；
（2）因為為的平分線，所以，
則，解得，
因為為的平分線，
在和中分別用正弦定理可得，
，
因為，
所以
所以，又，所以，
在中用正弦定理，，解得．
18．如圖，已知兩個正四棱錐與的所有棱長均為2．
(1)設平面與平面的交線為l，證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求解；
（2）建立空間坐標系，利用法向量與方向向量的夾角即可求解.
【詳解】（1）由正四棱錐可知，平面，平面，
所以平面，平面平面，平面，所以．
又因為平面且平面，由線面平行的判定定理，平面．
（2）由題設知，是正方形，所以．由正四棱錐的性質(zhì)，平面，
取中心為O，分別以直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），
由題設條件，相關(guān)各點的坐標分別是，，，，
所以，，，
設平面QAB的法向量為，由，?。?br>設與平面所成角為，
則．
所以PA與平面QAB所成角的正弦值為．
19．甲，乙兩學校進行體育比賽，比賽共設兩個項目，每個項目勝方得分，負方得分，平局各得分．兩個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在兩個項目中獲勝的概率分別為，，甲學校在兩個項目中平局的概率分別為，．各項目的比賽結(jié)果相互獨立．
(1)求甲學校兩場比賽后獲得冠軍的概率；
(2)用表示甲學校兩場比賽的總得分，求的分布列與期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)獨立事件的乘法公式結(jié)合互斥事件概率的加法公式直接計算；
（2）確定隨機變量的可能情況，再根據(jù)獨立事件的乘法公式結(jié)合互斥事件概率的加法公式計算概率，可得分布列與期望.
【詳解】（1）甲獲勝分三種情況：勝勝，勝平，平勝，
則甲獲勝的概率為
（2）所有可能取值為，，，，，，
，
，
，
，
，
，
其分布列如下表
.
20．記數(shù)列的前項和為，滿足，且．
(1)求的通項公式：
(2)記，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用退一相減法可得，進而確定數(shù)列的通項公式；
（2）利用裂項相消法確定當和時的前項和.
【詳解】（1）由已知，
當時，，解得，
當時，，
則，
即，
則當時，，
即，，
所以，
則，，
又，滿足上式，
所以，；
（2）由（1）得，
又當時，，即，
當時，，即，
設數(shù)列的前項和為，
則當時，；
當，
，
綜上所述，.
21．已知．
(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范同：
(2)設表示不超過的最大整數(shù)，已知的解集為，求．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最小值，進而可得參數(shù)范圍；
（2）由，可得，分情況討論該不等式是否有解，可得，進而可得.
【詳解】（1）由，得，令得，當時，，當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，因為恒成立，
所以，即，解得；
（2）由，
得，則，
設函數(shù)，，
令，可得，
所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，
則當時，即時，
由（1）得在單調(diào)遞增，恒成立，
且當時，；
當時，即時，由（1）知在單調(diào)遞減，，不符合題意；
當時，易知有解；
因為的解集為，則，所以，即．
【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．
22．已知拋物線C：（）的準線方程為．動點P在上，過P作拋物線C的兩條切線，切點為M，N．
(1)求拋物線C的方程：
(2)當面積的最大值時，求點P的坐標．（O為坐標原點）
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)準線方程得到方程，求出，得到拋物線方程；
（2）求出過M，N的切線方程，從而，均在直線上，聯(lián)立，根據(jù)弦長公式結(jié)合求出，表達出的面積，，構(gòu)造函數(shù)，求導，得到單調(diào)性，求出最值.
【詳解】（1）因為準線方程為，所以，解得，
拋物線C的方程為．
（2）設，，則，
對求導可得，
故過M的切線方程為，即，
故，
故MP：，
同理可得NP：，
因為兩切線均經(jīng)過，
所以
，均在直線上，
可知MN：，當?shù)茫?，解得?br>則MN與y軸的交點坐標為．
聯(lián)立，整理得，
由韋達定理，，，
則，
又因為在圓，則，
代入可得，
，
因為，所以，．
構(gòu)造，，，
易知在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
當時，取得最小值，此時取到最大值，點P的坐標為．
【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．

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