一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)并集定義可直接求解得到結(jié)果.
【詳解】由并集定義得：
故選：
【點睛】本題考查集合運算中的并集運算，屬于基礎(chǔ)題.
2．命題“”的否定為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用全稱量詞命題的否定直接寫出結(jié)論即可．
【詳解】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以命題“”的否定為：．
故選：A．
3．在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】化簡得到，然后判斷象限即可.
【詳解】因為，所以對應(yīng)的點位于第四象限.
故選：D.
4．已知甲和乙的月薪分別為a元?b元，且，則（ ）
A．這兩人月薪之和的最小值為1.5萬元
B．這兩人月薪之和的最大值為1.5萬元
C．這兩人月薪之和的最小值為1萬元
D．這兩人月薪之和的最大值為1萬元
【答案】C
【分析】直接根據(jù)均值不等式計算得到答案.
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以這兩人月薪之和的最小值為1萬元.
故選：C.
5．奇函數(shù)在點處的切線斜率為（ ）
A．12B．C．8D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)的運算求解.
【詳解】因為為奇函數(shù)，
所以，即，所以，
所以，則.
故選:A.
6．在等比數(shù)列中，已知，則必有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)，
由，
在等比數(shù)列中，各項均不為0，所以必有.
故選：D
7．在如圖所示的斜三棱柱中，，，則“”是“”的（ ）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】以為基底，計算，然后解不等式即可判斷答案.
【詳解】因為，
所以
，
所以，
因為，所以.
反之，若，則，
則，即.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
8．已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)作出的圖象，從而得解.
【詳解】令，得，
因為有兩個零點，所以函數(shù)與的圖象有兩個交點，
畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，
由圖可知，則.
故選：C.
二、多選題
9．若，則的數(shù)量級為，例如，則120的數(shù)量級為2.已知木星的質(zhì)量為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若以為單位，則木星質(zhì)量的數(shù)量級為30
B．的數(shù)量級為4
C．若以為單位，則木星質(zhì)量的數(shù)星級為30
D．的數(shù)量級為3
【答案】CD
【分析】根據(jù)數(shù)量級的定義，結(jié)合木星的質(zhì)量，可判斷A，C；將對數(shù)式化為指數(shù)式，表示出s，結(jié)合數(shù)量級的定義可判斷B，D.
【詳解】由題意知木星的質(zhì)量為，
若以為單位，則木星質(zhì)量的數(shù)量級為27，若以為單位，則木星質(zhì)量的數(shù)量級為，A錯誤，C正確.
因為，所以，所以的數(shù)量級為3，B錯誤，D正確.
故選：CD
10．已知為平面外一點，則（ ）
A．過點可以作無數(shù)個平面與平行B．過點可以作無數(shù)條直線與平行
C．過點可以作無數(shù)個平面與垂直D．過點可以作無數(shù)條直線與垂直
【答案】BC
【分析】根據(jù)過平面外一點只能作一個平面與已知平面平行和過平面外一點只能作一條直線與已知平面垂直的結(jié)論即可推理得到.
【詳解】對于選項A，若為平面外一點，過點只能作一個平面與平行，故A項錯誤；
對于選項B，過點先作一個平面與平行，再在平面內(nèi)，過點P可以作無數(shù)條直線與平行，故B項正確；
對于選項C，過點先作一條直線與垂直，再經(jīng)過直線可作無數(shù)個平面與垂直，故C項正確；
對于選項D，因過平面外一點只能作一條直線與平面垂直，故D項錯誤.
故選：BC.
11．如圖，在直角梯形中，，，將直角梯形繞著旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓臺，下列說法正確的是（ ）
A．該圓臺的體積為B．該圓臺的側(cè)面積為
C．該圓臺可由底面半徑為，高為的圓錐所截得D．該圓臺的外接球半徑為
【答案】ABD
【分析】利用圓臺體積公式、圓臺側(cè)面積公式以及圓臺定義直接判斷選項ABC，根據(jù)圓臺與外接球的軸截面，利用，轉(zhuǎn)化即可求出外接球半徑.
【詳解】由題知該圓臺的高，上底面圓的半徑，下底面圓的半徑.
對于A，該圓臺的體積，A正確.
對于B，該圓臺的側(cè)面積，B正確.
對于C，由題知，，
則該圓臺可由底面半徑為，高為的圓錐所截得，C錯誤.
對于D，作該圓臺與它的外接球的軸截面，如圖所示，
其中點就是外接球的球心，且在上，，
設(shè)，則，即，
可得，所以外接球半徑，D正確.
故選：ABD
12．若關(guān)于的不等式的解集恰有50個整數(shù)元素，則下列各選項正確的是（ ）
A．的值可能為-43
B．這50個整數(shù)元素之和可能為-925
C．的值可能為57.5
D．這50個整數(shù)元素之和可能為1625
【答案】BCD
【分析】考慮，，，解不等式，再根據(jù)解集恰有50個整數(shù)元素，計算得到答案.
【詳解】不等式等價于不等式.
當(dāng)時，的解集為，不合題意；
當(dāng)時，的解集為，則50個整數(shù)解為，
所以，這50個整數(shù)元素之和為；
當(dāng)時，的解集為，則50個整數(shù)解為，
所以，這50個整數(shù)元素之和為.
綜上所述：的取值范圍是，這50個整數(shù)元素之和為-925或1625.
故選：BCD.
三、填空題
13．已知向量，且，則 .
【答案】12
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】由，可得，解得.
故答案為：12
14．某正方體的棱長為，則該正方體內(nèi)切球的表面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)正方體的棱長求出內(nèi)切球的半徑，進而求得內(nèi)切球的表面積.
【詳解】因為正方體的棱長為，所以內(nèi)切球的半徑為，
所以該正方體內(nèi)切球的表面積為.
故答案為：
四、雙空題
15．若，則 ， .
【答案】
【分析】利用三角函數(shù)倍角公式與和差公式即可得解.
【詳解】因為，
所以，，且，解得，
故，則，
所以.
故答案為：；.
五、填空題
16．如圖，已知平面五邊形的周長為12，若四邊形為正方形，且，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時， ．

【答案】
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
【詳解】過點作，垂足為．設(shè)，則，
∵，∴，則，
由，得．
在中，．
記的面積為，則．
設(shè)函數(shù)，則，
令，得或．當(dāng)時，；
當(dāng)時，．故當(dāng)時，取得最大值，
則取得最大值，此時．

故答案為：.
【點睛】利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法就是先求出函數(shù)的極值，若極值有多個，則需要比較各極值與端點值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值；若函數(shù)只有一個極大（?。┲?，則這個極大（小）值就是函數(shù)的最大（?。┲?
六、解答題
17．a(chǎn)，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊.已知.
(1)求；
(2)若A為鈍角，且，，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡即可求解；
（2）由（1），根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，結(jié)合余弦定理計算即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
因為，所以.
（2）因為A為鈍角，且，所以.
由余弦定理得，
即，由解得，
所以的周長為.
18．已知函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為，
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，從而利用整體代入法求得，由此得解；
（2）利用整體法求得的范圍，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）
，
因為圖象的一條對稱軸方程為，
所以，所以，
因為，所以，
所以.
（2）由（1）知，
因為，所以，
所以，故.
七、證明題
19．已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合的條件即可證明；
（2）利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）證明：因為，
所以.
又，所以，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為4，公比為2.
（2）解：由（1）知，
即，則.
，
，
則
，
所以.
20．如圖，在底面為梯形的四棱錐中，底面，.
(1)證明：平面.
(2)延長至點，使得，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明即可；
（2）以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線的方向向量，由點到平面的距離公式求解即可.
【詳解】（1）證明：因為，所以.
因為底面，所以，
因為，平面，所以平面，
又，所以平面.
（2）解：以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，即令，得.
因為，所以點到平面的距離.
八、解答題
21．已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)在和之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）按題意兩式相減即可，注意驗證首項
（2）按題意算出通項，再裂項相消即可求解
【詳解】（1）當(dāng)時，，解得．
因為，
所以當(dāng)時，，
兩式相減得，即．
因為滿足上式，所以．
（2）由題意可得，，
．
22．已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間，
(2)當(dāng)時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2).
【分析】（1）求出，分、 、、討論可得答案；
（2）由已知整理得，構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性可得，令，再利用的單調(diào)性求得最值可得答案.
【詳解】（1），
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令，得或，令，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令，得或，令，得，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2），即，
整理得，因為，所以，
令，
因為，所以在上單調(diào)遞減，
因為，所以，所以，
因為，所以，令，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問的關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性可得，再構(gòu)造函數(shù).

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