一、單選題
1．已知全集，集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化簡(jiǎn)集合B，應(yīng)用集合的補(bǔ)集，交集的運(yùn)算即可.
【詳解】，，.
故選：C
2．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】.
故選：B
3．已知向量，滿足，且，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出，進(jìn)而得到.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椋裕?br>解得，
.
故選：D
4．直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)點(diǎn)設(shè)是所求直線上任意一點(diǎn)，然后結(jié)合點(diǎn)的對(duì)稱性與已知條件代入求解即可；
【詳解】設(shè)是所求直線上任意一點(diǎn)，
則關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，且在直線上，
代入可得，即.
故選：C.
5．如圖，在棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，則直線與直線所成的角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作直線與直線的平行線，然后解三角形即可得出答案.
【詳解】
如圖設(shè)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，連接，，，，
E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以（或其補(bǔ)角）為直線與直線所成的角.
設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為，
則，，，
，，
所以，所以，.
故選：D.
6．已知是第一象限角，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正切求出正弦和余弦，進(jìn)而由二倍角公式和正弦和角公式求出答案.
【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵遥?br>故，又，
所以，，
，，
.
故選：A
7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】B
【分析】錯(cuò)位相減法求出，然后得出，即可得出答案.
【詳解】，，
兩式相減可得
，
所以，
因?yàn)椋?，即恒成立，?
故選：B.
8．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函數(shù)，.若在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意可得，在上有解，即有解，然后換元構(gòu)造函數(shù)即可.
【詳解】由題意可得，在上有解，
即有解，
令，，則，
令函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
，所以為偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減.
，，
故，，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求出其值域，則得到關(guān)于的不等式，解出即可.
二、多選題
9．根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速如圖所示，則（ ）
A．我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速最高為
B．我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為
C．我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總?同比增速的分位數(shù)為
D．我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)圖形中給定數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合中位數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速?gòu)男〉酱笠来螢?br>2.5%，3.1%，4.6%，5.5%，7.6%，10.6%，12.7%，18.4%.
我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速最高為18.4%，A正確.
我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為，B正確.
，我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的分位數(shù)為，C錯(cuò)誤.
我國(guó)今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為，D正確.
故選：ABD
10．在橢圓中，為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓短軸上的頂點(diǎn)，若橢圓的離心率為，則（ ）
A．B．
C．大于D．
【答案】ACD
【分析】結(jié)合離心率為黃金分割比例的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，即，
所以，，.
因?yàn)?，所以，即大?
故選：ACD
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（ ）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．沒(méi)有極值點(diǎn)
【答案】AC
【分析】選項(xiàng)A：賦值法求解判斷；選項(xiàng)B: 的值不確定；選項(xiàng)C：通過(guò)賦值解得，然后賦值，判斷函數(shù)奇偶性；選項(xiàng)D：根據(jù)抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)利用對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)驗(yàn)證極值點(diǎn)；
【詳解】令，得，A正確；
令，得，
故的值不確定，B錯(cuò)誤；
令，得，
令，得，則為奇函數(shù)，C正確；
由，可得，
根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)舉例，當(dāng)時(shí)，可設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)有極值點(diǎn)，D錯(cuò)誤；
故選：AC.
12．如圖，在一個(gè)有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個(gè)球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長(zhǎng)都是，則（ ）
A．這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為
B．這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為
C．這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為
D．這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意作出截面圖，通過(guò)幾何關(guān)系結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 從而研究?jī)蓚€(gè)球體的半徑的最值，然后將兩個(gè)球體的表面積之和表示成，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得最大值；
【詳解】當(dāng)這兩個(gè)球體的表面積之和取最大值時(shí)，有一個(gè)球體和圓錐的底面相切，過(guò)底面圓的直徑作截面，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為.
設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為r，的最大值為，且取最大值時(shí)，，
所以，，，，.
因?yàn)椋?br>所以①，
整理得，解得.
令函數(shù)，，.令函數(shù)，，所以是增函數(shù).
又因?yàn)?，，所以，?br>所以，，，，
即，，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以，即這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為.
由①可得，
這兩個(gè)球體的表面積之和為.
令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為.
故選：BC.
三、填空題
13．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 .
【答案】15
【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的冪指數(shù)等于7，求出的值，即可求得展開(kāi)式中的系數(shù).
【詳解】，
令，解得，
故的系數(shù)為.
故答案為：15
14．已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 .
【答案】5
【分析】利用拋物線定義將點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)距離，再利用三點(diǎn)共線距離最小求值.
【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則，由拋物線的定義可得到該拋物線準(zhǔn)線的距離等于，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)P、M、F三點(diǎn)共線時(shí)成立.
故答案為：5.
15．已知函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)，則的最大值為 .
【答案】
【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性可求出的一個(gè)范圍，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，可得，再求出的一個(gè)范圍，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，，解得，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，
即，解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
故的最大值為.
故答案為：.
16．已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，且其4個(gè)零點(diǎn)，，，成等差數(shù)列，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意得出，判斷其為偶函數(shù)，作出圖像，得出，，，的關(guān)系，即可求解.
【詳解】，
因?yàn)椋?br>所以是偶函數(shù)，如圖，
所以，，
又成等差數(shù)列，所以，則，
因?yàn)椋?，所以?
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)奇偶性得，，再利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，最后代入計(jì)算即可.
四、解答題
17．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求解.
（2）由第一問(wèn)知，再運(yùn)用正弦定理求得.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所以，解?
（2）由（1）可得.因?yàn)?，所以，解?
18．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，，，，.
(1)證明：.
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2).
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積證明垂直即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面與平面的夾角的余弦值即可解決.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，所以，，
因?yàn)?，所?
（2）由（1），，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，不妨取，則.
易得平面，所以是平面的一個(gè)法向量，且.
設(shè)平面設(shè)與平面的夾角為，
所以.
故平面與平面的夾角的余弦值為.
19．已知數(shù)列滿足，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，記數(shù)列的前99項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先通過(guò)累加法求解，然后解得；
（2）首先通過(guò)分析判斷出數(shù)列是周期數(shù)列，然后通過(guò)平方差公式分解求得，最后代入求解即可；
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，，
累加得，
所以.
（2）因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列.
故.
20．已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程，
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)解得，然后求得切線方程；
（2）結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最小值；
【詳解】（1），，.
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）由（1）得.
令函數(shù)，則，所以是增函數(shù).
，，
所以存在，使得，即.
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
.
因?yàn)?，所以?br>所以.
故.
21．已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在上.
(1)求的方程；
(2)，分別為的左、右焦點(diǎn)，過(guò)外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若直線，互相垂直，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，設(shè)過(guò)且與相切的直線，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，由斜率乘積為，列出方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題可知，解得，
故的方程為.
（2）
由題可知，直線，的斜率均存在，
設(shè)，過(guò)且與相切的直線，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，整理得.
將代入，得，則，
從而.
因?yàn)榍芯€，互相垂直，所以，即.
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為.
22．有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因?yàn)樗恢懊媸欠裼懈玫?，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中一共會(huì)遇到顆麥穗（假設(shè)顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥橞，現(xiàn)有如下策略：不摘前顆麥穗，自第顆開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設(shè)，該學(xué)生摘到那顆最大的麥穗的概率為.（?。?br>(1)若，，求；
(2)若取無(wú)窮大，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.
【答案】(1)
(2)的最大值為，此時(shí)的值為.
【分析】（1）由題意可知，要摘到那顆最大的麥穗，有兩種情況，最大的麥穗是第3顆和最大的麥穗是最后1顆，分情況分析兩種情況的可能性，結(jié)合古典概型即可求出結(jié)果；
（2）記事件表示最大的麥穗被摘到，根據(jù)條件概率和全概率公式求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.
【詳解】（1）這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有種情況.
要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況：
①最大的麥穗是第3顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有種情況.
②最大的麥穗是最后1顆，第二大的麥穗是第1顆或第2顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有種情況.
故所求概率為.
（2）記事件表示最大的麥穗被摘到，事件表示最大的麥穗在麥穗中排在第顆.
因?yàn)樽畲蟮哪穷w麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，所以.
以給定所在位置的序號(hào)作為條件，.
當(dāng)時(shí)，最大的麥穗在前顆麥穗之中，不會(huì)被摘到，此時(shí).
當(dāng)時(shí)，最大的麥穗被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前顆麥穗中的最大的一顆在前顆麥穗中時(shí)，
此時(shí).
由全概率公式知.
令函數(shù)，.
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以.
所以當(dāng)，時(shí)取得最大值，最大值為，此時(shí)，
即的最大值為，此時(shí)的值為.

相關(guān)試卷

2024湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含答案：

這是一份2024湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含答案，共13頁(yè)。試卷主要包含了本試卷主要考試內(nèi)容，已知是第一象限角，且，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖北省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）：

這是一份湖北省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版），共19頁(yè)。試卷主要包含了本試卷主要考試內(nèi)容， 已知是第一象限角，且，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024屆湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2024屆湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析，共19頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023屆湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023屆湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）
2023屆湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2023屆湖北省部分學(xué)校高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析
湖北省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

湖北省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
湖北省部分學(xué)校2022屆高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案

湖北省部分學(xué)校2022屆高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部