一、單選題
1．已知集合， ，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】D
【分析】先計(jì)算出集合、，運(yùn)用并集運(yùn)算得出中元素個(gè)數(shù)，結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式即可得子集個(gè)數(shù).
【詳解】，
由，解得，
即，即，
共有4個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：D.
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則可整理求得結(jié)果.
【詳解】由得：.
故選：B.
3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合等差數(shù)列求和公式可推導(dǎo)證得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，解得：，
.
故選：D.
4．已知非零向量滿足，且，則的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的數(shù)量積和模長求夾角即可.
【詳解】由已知可得，即，
又因?yàn)椋裕?br>所以夾角為.
故選：C
5．已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即可討論求解.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在單調(diào)遞增，在，
由于的單調(diào)遞減區(qū)間為，則，得，
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，這與的單調(diào)遞減區(qū)間為矛盾，故不符合題意，
當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增，故不符合題意，
綜上可得，
故選：A
6．已知命題，則（ ）
A．，，且是真命題
B．，，且是假命題
C．，，且是假命題
D．，，且是真命題
【答案】D
【分析】根據(jù)命題的否定的性質(zhì)得出，再驗(yàn)證的真假，變形等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)幫助比較大小即可得.
【詳解】由，，
則，，
由，則有，
等價(jià)于
等價(jià)于，
令，則，
則時(shí)，恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，
故，
即，
故原命題錯(cuò)誤，則是真命題.
故選：D.
7．已知圓錐的高為，體積為，若圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的所有點(diǎn)均在球上，則球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由圓錐體積公式可求得圓錐底面圓半徑，分別討論球心位于圓錐內(nèi)部和外部的情況，利用勾股定理可構(gòu)造方程求得球的半徑，代入球的體積公式即可.
【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，球的半徑為，則，解得：；
當(dāng)球心位于圓錐內(nèi)部時(shí)，過圓錐頂點(diǎn)，底面圓圓心和球心作出軸截面如下圖所示，
，即，解得：，
球的體積；
當(dāng)球心位于圓錐外部時(shí)，過圓錐頂點(diǎn)，底面圓圓心和球心作出軸截面如下圖所示，
，即，解得：，舍去；
綜上所述：球的體積為.
故選：C.
8．已知為偶函數(shù)，對(duì)任意有，當(dāng)時(shí)，，則方程的所有實(shí)根之和為（ ）
A．3B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)圖象和對(duì)稱性即可求解.
【詳解】由得，
又為偶函數(shù)，所以，
故，，因此為周期為2的周期函數(shù)且為偶函數(shù)，
由時(shí)，，
作出和的圖象，又，
由于和均關(guān)于對(duì)稱，
由圖象可知和的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，
根據(jù)對(duì)稱可知：方程所有實(shí)根之和為6.
故選：B
9．在實(shí)際應(yīng)用中，通常用吸光度和透光率來衡量物體的透光性能，它們之間的換算公式為，下表為不同玻璃材料的透光率：
設(shè)材料1?材料2?材料3的吸光度分別為、、，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)條件得出、、， A，B，C三個(gè)選項(xiàng)利用作差比較大小即可，選項(xiàng)D，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性，重要不等式及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果.
【詳解】由題知，，，
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，故，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，故，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，即，
由可得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
二、多選題
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則（ ）
A．的最小正周期為
B．將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象
C．在上有3個(gè)零點(diǎn)
D．的圖象的對(duì)稱軸為直線
【答案】ABD
【分析】根據(jù)可得，進(jìn)而結(jié)合周期以及，即可得，進(jìn)而可得，結(jié)合選項(xiàng)，利用整體法即可逐一求解.
【詳解】依圖可得，，，所以，
由于位于單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，所以,
因此，
又，得，即，
由于，故，所以，因此，故，
故，
將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到為偶函數(shù)，B正確，
令,所以，
所以在上的零點(diǎn)有，故有2個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤，
令，，故D正確，
故選：ABD
11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)，則（ ）
A．在上單調(diào)遞增
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C．若，則
D．過坐標(biāo)原點(diǎn)僅有一條直線與曲線相切
【答案】ABC
【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的極值點(diǎn)，結(jié)合該極值點(diǎn)為的零點(diǎn)可構(gòu)造方程求得的值，從而得到；利用的正負(fù)可確定的單調(diào)性，知A正確；驗(yàn)證可知，知B正確；利用AB中的結(jié)論可推導(dǎo)得到C正確；利用過某一點(diǎn)切線方程的求法可確定D錯(cuò)誤.
【詳解】由題意知：，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
是的極小值點(diǎn)，即是的極小值點(diǎn)，也是的零點(diǎn)，
，解得：，；
對(duì)于A，在上恒成立且不恒為，
在上單調(diào)遞增，A正確；
對(duì)于B，，
，
的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，B正確；
對(duì)于C，由得：，
在上單調(diào)遞增，，
由B知：，即，，
，C正確；
對(duì)于D，設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，
，切線方程為：，
即切線方程為：，
代入點(diǎn)得：，即，
解得：或，
過坐標(biāo)原點(diǎn)有兩條不同的直線與相切，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為.對(duì)任意正整數(shù)，設(shè)，其中，記，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】A選項(xiàng)，分和，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出答案；B選項(xiàng)，作差得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造，，二次求導(dǎo)得到單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，證明出結(jié)論；C選項(xiàng)，得到，，設(shè)，，，只需，故；D選項(xiàng)，計(jì)算出在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，結(jié)合，得到，得到D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
又當(dāng)時(shí)，，滿足要求，
綜上，，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，，
則，
令，則在上恒成立，
故在單調(diào)遞增，
又，故在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，故在恒成立，
綜上，，B正確；
C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)，，
故
，，
設(shè)，，
由于，，
只需即可，
此時(shí)
，
又，，C正確；
D選項(xiàng)，，
由C選項(xiàng)可知，，，
又，
故，所以，D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列新定義問題，主要針對(duì)于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運(yùn)用，對(duì)常見的求通項(xiàng)公式和求和公式要掌握牢固，同時(shí)涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與導(dǎo)函數(shù)等知識(shí)的綜合，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問題.
三、填空題
13．已知，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)弦化切得，即可由正切的和差角公式求解.
【詳解】由可得，
所以，
故答案為：
14．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為棱上的點(diǎn)，，且平面，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，平行線分線段成比例等知識(shí)求得正確答案．
【詳解】設(shè)，連接，
由于平面，平面，平面平面，
則，
由于,,所以，
所以．
故答案為：．
15．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，記設(shè)函數(shù)，則的最小值為 .
【答案】
【分析】先求出切線方程，再結(jié)合函數(shù)的新定義和函數(shù)圖像找到最小值點(diǎn)，代入橫坐標(biāo)即可求出最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，在點(diǎn)處的切線方程為，
設(shè)，由和函數(shù)圖像可知，
當(dāng)時(shí)，最小值為兩函數(shù)的交點(diǎn)，
所以，此時(shí)，
故答案為：
16．如圖，一個(gè)池塘的東?西兩側(cè)的端點(diǎn)分別為，現(xiàn)取水庫周邊兩點(diǎn)，測得，，池塘旁邊有一條與直線垂直的小路，且點(diǎn)到的距離為.小張（點(diǎn)）沿著小路行進(jìn)并觀察兩點(diǎn)處豎立的旗幟（與小張的眼睛在同一水平面內(nèi)），則小張的視線與的夾角的正切值的最大值為 .
【答案】/
【分析】解三角形求出，再利用直角三角形得出的正切值，根據(jù)兩角差正切公式化簡，由均值不等式求最值即可.
【詳解】在中，，
所以，，
由正弦定理可得，所以（），
在中，，所以，
所以（），
在中，由余弦定理，
，所以（），
設(shè)與的交點(diǎn)為，，，如圖，
則，
由，可得，
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即（）時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：
四、解答題
17．已知等比數(shù)列的公比，記其前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列基本量計(jì)算可得，進(jìn)而可求解通項(xiàng)，
（2）根據(jù)等比求和公式得，即可由分組求和求解.
【詳解】（1）因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，
得，即，解得，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
則.
18．如圖，在三棱柱中，平面分別為棱的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，易知四邊形為平行四邊形，利用線面平行的判定定理證得命題成立；
（2）建系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)以及平面的法向量，利用線面角的公式求解即可．
【詳解】（1）
如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
又，所以，所以在平面內(nèi).
因?yàn)?，所以?br>所以四邊形是平行四邊形，，
又平面，所以平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則點(diǎn)，
.
設(shè)平面的法向量為，
由得
不妨令，得平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
19．在鈍角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)證明：是等腰三角形；
(2)若且，求的面積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化結(jié)合二倍角公式可得，即可由三角函數(shù)的性質(zhì)求解，
（2）根據(jù)正弦定理即可求解，進(jìn)而由面積公式求解.
【詳解】（1）由條件及正弦定理可得，
所以.
因?yàn)椋?，所以或?br>即或.
因?yàn)槭氢g角三角形，所以，
所以，所以是等腰三角形.
（2）由題意及（1）得，從而.
由正弦定理得，
所以，且，
由，可得，
整理得，,所以.
所以，
由，得，
所以.
20．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和記為，，且（為常數(shù)）.
(1)若構(gòu)成等比數(shù)列，求的值；
(2)若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分別令和可用表示出，根據(jù)等比數(shù)列定義可構(gòu)造方程求得；
（2）由與關(guān)系和已知等式可推導(dǎo)得到，采用裂項(xiàng)相消法可求得，由此可得結(jié)果.
【詳解】（1）令，則，；
令，則，，即；
成等比數(shù)列，，即，
解得：或，又，.
（2）當(dāng)時(shí)，由得：，
即，
，
，
，，
，
，
又，，，
，即的最小值為.
21．如圖，在三棱錐中，分別是線段的中點(diǎn)，，.
(1)求證：平面；
(2)若二面角的余弦值為，求.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)長度關(guān)系可利用勾股定理可證線線垂直，進(jìn)而可利用線面垂直的判定求證，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是線段的中點(diǎn)，
所以，且.
因?yàn)椋?
因?yàn)?，所以，所?
又因?yàn)槠矫?，且?br>所以平面.
（2）因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，且有，所以是直角三角形，其中.
由（1）可知平面，所以可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，設(shè)，
則.
則，
所以.
不妨設(shè)平面與平面的法向量分別為，
則有即有
令
即
令，此時(shí)有.
則，
整理得.
因?yàn)?，所以，即?br>所以.
22．已知函數(shù)，.
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）分離變量得到恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得的取值范圍；
（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為；利用切線進(jìn)行放縮，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得在點(diǎn)處的切線方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得，并推導(dǎo)得到；取即可證得結(jié)論.
【詳解】（1）若恒成立，則恒成立；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
，
，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2），
要證，只需證；
在曲線上任取一點(diǎn)，
由（1）知：，，
在點(diǎn)處的切線方程為：，即；
下面先證明：當(dāng)且時(shí)，；
設(shè)，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
即當(dāng)且時(shí)，；
正實(shí)數(shù)滿足，，
當(dāng)時(shí)，，
，
取，則，
，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立、證明不等式的問題；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)的切線對(duì)函數(shù)進(jìn)行放縮，從而將所證不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，通過對(duì)賦值確定最終的不等關(guān)系.
玻璃材料
材料1
材料2
材料3
0.7
0.8
0.9

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