1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（除解析幾何外）．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）．
A． B．C．D．
2．已知復數(shù)，為z的共軛復數(shù)，則的虛部為（ ）．
A．B．C．D．
3．已知平面向量，，且，則（ ）．
A．5B．C．D．
4．黃州青云塔矗立在黃岡市寶塔公園的缽孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名．該塔塔身由青灰色石塊砌成，共七層，假設該塔底層（第一層）的底面面積為16平方米，且每往上一層，底面面積都減少1平方米，則該塔頂層（第七層）的底面面積為（ ）．
A．8平方米B．9平方米C．10平方米D．11平方米
5．已知為銳角，，則（ ）．
A．B．C．D．或
6．已知，是函數(shù)圖象上不同的兩點，則（ ）．
A．B．
C．D．
7．在四棱錐中，底面為正方形，，，，則四棱錐的體積為（ ）．
A．B．C．D．16
8．已知函數(shù)在上只有一個零點，則正實數(shù)m的取值范圍為（ ）．
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、中位數(shù)都是，則（ ）．
A．數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)相等
B．數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的方差相等
C．數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的極差相等
D．數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)相等
10．已知函數(shù)的定義域為R，，且當時，，則（ ）．
A．B．
C．D．沒有極值
11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．是偶函數(shù)
B．的最小正周期是
C．的圖象關于直線對稱
D．若，，，則a的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知函數(shù)的圖象在點處的切線過點，則__________．
13．某員工在開辦公室里四位數(shù)的數(shù)字密碼門時，發(fā)現(xiàn)按鍵“3”“6”“9”上有清晰的指紋印，若該密碼確實由數(shù)字“3”“6”“9”組成，則該密碼有__________種可能．（用數(shù)字作答）
14．如圖，平行六面體的底面是菱形，，，，若非零向量，滿足，，則的最小值為__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．
（1）求A；
（2）若的外接圓面積為，角B的平分線交于D，求的面積，及與的面積之比．
16．（15分）已知函數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若恒成立，求a的取值范圍．
17．（15分）如圖，在三棱柱中，，，，．
（1）證明：平面平面．
（2）求二面角的正弦值．
18．（17分）設數(shù)列的前n項和為，若，且對任意的，均有（k是常數(shù)且）成立，則稱為“Ⅱ（k）數(shù)列”．
（1）設為“Ⅱ（1）數(shù)列”．
①求的通項公式；
②若，數(shù)列的前n項和為，證明：．
（2）是否存在既是“Ⅱ（k）數(shù)列”，又是“Ⅱ數(shù)列”？若存在，求出符合條件的的通項公式及對應的k的值；若不存在，請說明理由．
19．（17分）甲、乙兩人玩一個紙牌游戲，先準備好寫有數(shù)字1，2，…，N的紙牌各一張，由甲先隨機抽取一張紙牌，記紙牌上的數(shù)字為a，隨后將紙牌放回（后面每次抽牌記錄數(shù)字后都需將紙牌放回），接下來甲有2種選擇：
①再抽取一次紙牌，記紙牌上的數(shù)字為b，若，則乙贏，游戲結(jié)束，否則，甲結(jié)束抽牌，換由乙抽牌一次；
②直接結(jié)束抽牌，記，換由乙抽牌一次．
記乙抽到的紙牌上的數(shù)字為c，若，則乙贏，否則甲贏．游戲結(jié)束．
（1）若甲只抽牌1次，求甲贏的概率；
（2）若甲抽牌2次，求甲贏的概率；
（3）當甲抽取的第一張紙牌上的數(shù)字滿足什么條件時，甲選擇②贏得游戲的概率更大？（結(jié)果用含N的式子表示）
參考公式：若數(shù)列的通項公式為，則的前n項和．
高三數(shù)學考試參考答案
1．C 由，得，即，所以．
2．A ，．
3．B ．
因為，所以，解得．
4．C
由題意可得該塔第一層至第七層的底面面積依次成等差數(shù)列，且首項為16，公差為，
故該塔頂層的底面面積為平方米．
5．C
，解得．
因為為銳角，所以，
，．
．
6．A
由題意不妨設，因為是增函數(shù)，所以，即．
，
則，即，A正確，B錯誤．
取，，則，，，C錯誤．
取，，則，，，D錯誤．
7．C
過點P作底面，垂足為O，
設E，F(xiàn)分別為，的中點，連接，，則點O在上．
設，因為，，所以．
，，
．
在中，，
所以，解得，所以．
故四棱錐的體積為．
8．D
分別作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象．
分兩種情形：當時，，如圖1，
圖1 圖2
當時，與的圖象有一個交點，符合題意；
當時，，如圖2，
當時，要使得與的圖象只有一個交點，
只需，即，解得（舍去）．
綜上，正實數(shù)m的取值范圍為．
9．AC
設數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，則，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，A正確．
數(shù)據(jù)，，，，的方差，
數(shù)據(jù)，，，的方差，
所以數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的方差不一定相等，B錯誤．
數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的極差相等，C正確．
數(shù)據(jù)，，，，與數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)不一定相等，如數(shù)據(jù)2，2，5，7，9的平均數(shù)、中位數(shù)都是5，但數(shù)據(jù)2，2，7，9的中位數(shù)不是5，D錯誤．
10．ABD
令，得，A正確．
令，得，所以，，
據(jù)此類推可得，所以，B正確．
也滿足題意，C錯誤．
令，，，則．
當時，．因為當時，，所以，
即，，所以是增函數(shù)，沒有極值，D正確．
11．BCD
因為，所以是奇函數(shù)，A錯誤．
當時，；當時，．
又因為，
所以的最小正周期是，B正確．
，
所以的圖象關于直線對稱，C正確．
當時，，，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
，．
結(jié)合對稱性，得到的部分圖象如圖所示．
當時，．
由題意可得，當時，，．
，，
結(jié)合的圖象可得，，解得，
則a的取值范圍是，D正確．
12．5
，，．
的圖象在點處的切線方程為．
因為該切線過點，所以，解得．
13．36 ．
14．
設，則．
因為，所以在上的投影向量，
則投影向量的模長，
過點作平面，使得平面（圖略），則點N在平面內(nèi)．
設，則等價于，
即，則，所以點M在以為直徑的球面上．
又，，
，
所以以為直徑的球的半徑．
設的中點為E，則在上的投影向量為
，
所以球心E到平面的距離．
因為，所以平面在球E的外部．
的最小值表示球E上的點M到平面內(nèi)的點N的距離的最小值，
顯然．
15．解：（1）在中，，．
因為，，
所以，即，．（2分）
因為，所以，（3分）
即，（5分）
所以，．
（2）因為的外接圓面積為，所以的外接圓半徑為3．（7分）
因為，所以，．（9分）
．（11分）
，
所以與的面積之比為．（3分）
16．解：（1）．（1分）
因為在上單調(diào)遞增，所以當時，．（3分）
因為是增函數(shù)，所以，解得．
故a的取值范圍為．（5分）
（2），即．（7分）
令，．（9分）
由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（11分）
．（13分）
因為恒成立，所以．
故a的取值范圍為．（15分）
17．（1）證明：取的中點O，連接，，．
四邊形為平行四邊形，
又因為，，所以為等邊三角形，
所以，．（1分）
在中，，．
因為，所以．（3分）
因為，所以平面．（4分）
因為平面，所以平面平面．（5分）
（2）解：以O為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，，．（7分）
，，．（8分）
設平面的法向量為，平面的法向量為．
，即，令，得．（10分）
，即，令，得．（12分）
，則，（14分）
故二面角的正弦值為．（15分）
18．（1）①解：因為為“Ⅱ（1）數(shù)列”，所以．
因為，所以．
當時，，得．（1分）
當時，，則，
即，（3分）
經(jīng)檢驗，當時，滿足，
所以對任意的恒成立，是首項為2，公比為的等比數(shù)列，
所以．（5分）
②證明：．
，（6分）
，
兩式相減得，（7分）
所以．（8分）
當n為偶數(shù)時，．
當n為奇數(shù)時，．
故．（10分）
（2）解：假設存在這樣的數(shù)列，
由是“Ⅱ（k）數(shù)列”可得．
由是“Ⅱ數(shù)列”可得，（11分）
所以，，
即，所以．（13分）
由，令，得，令，得．
因為，所以，解得，
所以為2，，2，，2，，…，
的通項公式為．（15分）
當n為偶數(shù)時，，解得，k為奇數(shù)．
當n為奇數(shù)時，，解得，k為奇數(shù)．（16分）
綜上，存在既是“Ⅱ（k）數(shù)列”，又是“Ⅱ數(shù)列”，
此時的通項公式為，且k為奇數(shù)．（17分）
19．解：（1）若甲只抽牌1次，甲贏的情況如下．
甲抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，此時有1種情況；
甲抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，此時有2種情況；
甲抽到的紙牌上的數(shù)字為3，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時有3種情況；
……
依次類推，甲贏的情況共有．（3分）
故甲贏的概率為．（4分）
（2）若甲抽牌2次，甲贏的情況如下．
①甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為1．
第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，此時有2種情況；
第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時有3種情況；
……
第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，…，1，此時有N種情況．
以上有種情況．（6分）
②甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為2．
第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為1，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，此時有3種情況；
第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為2，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，，，此時有4種情況；
……
第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為，乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N，，…，1，此時有N種情況．
以上有種情況．（8分）
依次類推，甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為3時，甲贏的情況有種；
……
甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為時，甲贏的情況有種；
甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為時，甲贏的情況有N種．（9分）
甲贏的情況的總數(shù)為
．（11分）
故甲贏的概率為．（12分）
（3）當甲抽取的第一張紙牌上的數(shù)字為a時，
若甲選擇①，則甲贏的概率，（14分）
若甲選擇②，則甲贏的概率．（15分）
令，即，
化簡得，解得．
綜上，當甲抽取的第一張紙牌上的數(shù)字大于時，甲選擇②贏得游戲的概率更大．（17分）

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