數(shù)學試題
本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分為150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡相應的位置上，用2B鉛筆將自己的準考證號填涂在答題卡上.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；在試卷上作答無效.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答題卡上各題目指定區(qū)域內的相應位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔和平整.
一?單選題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項符合題目要求）
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.從6名男醫(yī)生，5名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，且至少有一名女醫(yī)生，則不同選法共有（ ）
A.130種 B.140種 C.145種 D.155種
3.已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，則（ ）
A. B.1 C.2 D.
4.中，為上一點且滿足，若為線段上一點，且滿足（為正實數(shù)），則的最小值為（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5.已知，則（ ）
A. B. C. D.
6.已知，則的大小關系為（ ）
A. B.
C. D.
7.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的右焦點為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與另一漸近線交于點，若是的中點，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B.2 C. D.3
8.已知：定義在上的可導函數(shù)的圖象關于點對稱的充要條件是導函數(shù)的圖象關于直線對稱.任給實數(shù)滿足，則（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二?多選題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中至少有兩項符合題目要求，有錯選不得分，漏選得2分，全部選對得5分）
9.關于函數(shù)，下列命題正確的是（ ）
A.函數(shù)的圖象關于點對稱
B.函數(shù)在上單調遞增
C.函數(shù)的表達式可改寫為
D.要得到函數(shù)的圖像，只需將圖像向左平移，再把各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?br>10.已知斜率為的直線經過拋物線的焦點，與拋物線交于點兩點（點在第一象限），與拋物線的準線交于點，若，則以下結論正確的是（ ）
A. B.
C. D.為中點
11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且為非常數(shù)函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列結論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
12.如圖，正方體中，是棱的中點，是棱上的動點，下列結論中正確的是（ ）
A.在平面內總存在與平面平行的直線
B.存在點使得直線與直線垂直
C.四面體的體積為定值
D.平面截該正方體所得截面可能為三角形?四邊形?五邊形
三?填空題（共4小題，每小題5分，共20分.其中第15題第一空2分，第二空3分）
13.復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面上對應的點到原點的距離為__________.
14.黃金比又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比.其中，較大部分與整體之比的比值稱為黃金分割數(shù)，黃金分割數(shù)被公認為最具有審美意義的比例數(shù)字.若數(shù)列是以黃金分割數(shù)為公比的等比數(shù)列，且，則__________.
15.在長方體中，已知分別為的中點，則三棱錐外接球的半徑為__________；平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積為__________.
16.設函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)使得恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.
四?解答題（共6小題，其中第17題10分，其他題各12分，共70分.每題需寫出相應的步驟）
17.已知圓心為的圓經過點和，且圓心在直線上.
（1）求圓的方程；
（2）過點的動直線與圓相交于兩點，當時，求直線的方程.
18.在中，角所對的邊分別為，若且.
（1）求的值；
（2）若平分，且交于點，求的面積.
19.已知四邊形為矩形，，且平面，點為上的點，且平面，點為中點.
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成線面角的正弦值.
20.設是數(shù)列的前項和，已知
（1）求，并證明：是等比數(shù)列；
（2）求滿足的所有正整數(shù).
21.已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成三角形的面積；
（2）若沒有零點，求的取值范圍.
22.已知橢圓的長軸長為，且其離心率小于為橢圓上一點，分別為橢圓的左?右焦點，的面積的最大值為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）為橢圓的上頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，直線為過點且與平行的直線，設與直線的交點為.證明：直線過定點.
參考答案：
1.D 2.C
3.A 【詳解】因為為等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，
設，則，故，所以，所以，故，故選A.
4.B 【詳解】因為為線段上一點，則，且，
又因為，可得，即，所以，
得，當且僅當，即時，等號成立
5.D 【詳解】
，
則，
6.B 【詳解】，
，故.
7.B 【詳解】如圖所示，由題意可知，，
又因為若是的中點，，所以，所以
，
根據(jù)雙曲線的性質，雙曲線的漸近線方程為：，
所以，因為，所以.
8.B 【詳解】設函數(shù)，則，其圖像關于對稱，故原函數(shù)的圖像關于點對稱，且，故對稱點的坐標為.
又由已知可得，則，
又當時，知在上恒單調遞增.
故點與點關于點對稱.所以即.
9.AC 【詳解】對選項A，，故A正確.
對選項，因為，所以，
所以在區(qū)間先增后減，故B錯誤.
對選項C，，故C正確.
對選項D，圖像向左平移得到，
再把各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫?，故D錯誤.
10.BCD 【詳解】如下圖所示：
分別過點作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點.
拋物線的準線交軸于點，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，
軸，，由拋物線的定義可知，，
則為等邊三角形，，則，
設，由Rt，則，可得所以
，解得所以，所以正確.
，得，A選項錯誤；
所以，滿足，所以正確.而，所以正確.
11.ABD 【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，即，即，所以的圖象關于點中心對稱，且，故A正確；
由，兩邊求導，得，即.
由的圖象關于點中心對稱，得，因此，故B正確；
因為為函數(shù)的導函數(shù)，且，即，
所以，即，所以的圖象關于直線對稱，
所以.又，所以，所以的圖象關于點中心對稱，
，
所以是周期函數(shù)，4為它的一個周期，所以，故錯誤；
由，得.又，
所以，所以，所以，故D正確.
12.ABC 【詳解】對于選項，連接，過點作交的延長線于點，
則四點共面，
若平面且平面平面，
所以，平面對；
對于選項，取的中點，連接，設，
因為且分別為的中點，則且
，
所以，四邊形為平行四邊形，，
平面平面，
平面，
當點為線段的中點時，，
所以，Rt，
所以，，故，即，
平面平面，
平面，
故當點為的中點時，，B對；
對于選項，設正方體的棱長為，
由選項可知平面，且，
，C對；
對于選項，當點與點重合時，截面截正方體為四邊形；
當點與點重合時，連接并延長交的延長線于點，連接交于點，連接，
此時，截面截正方體的截面為四邊形；
當點在線段（不包括端點）上運動時，
延長交于點，設直線分別交直線于點，
連接交于點，連接，
此時，截面截正方體所得截面為五邊形.
綜上所述，平面截該正方體所得截面可能為四邊形?五邊形，錯.
13.. 【詳解】試題分析：，在復平面上對應的點，到原點的距離.
14.2023 【詳解】由題意，設整體為1，較大部分為，則較小部分為，則，
即，解得（舍去），故黃金分割數(shù)為.
令，則，即，
所以，故.
15. 【詳解】以點為原點建立空間直角坐標系如圖所示：
依題意得：，
則，所以，則；
設為中點，因為則，
所以點為三棱錐外接球的球心，則.
設球心到平面的距離為，又因為為中點，所以點到平面的距離為，
由于，所以，
故截面圓的半徑為，所以截面圓面積為.
16. 【詳解】函數(shù)的定義域為，
由，得，所以，令，
由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，由，得，
所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，
所以沒有最小值，
由，得，
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以有最大值，無最小值，不合題意，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以即，所以，即的取值范圍為.
17.（1）設圓的方程為，
由已知可得方程組，
解得，
圓的方程為.
（2）當直線與軸垂直時，易知直線的方程為，
此時，符合題意；
當直線與軸不垂直時，設直線的斜率為，則直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離為，
又，
，解得，
則直線的方程為，即，
綜上可知直線的方程為或.
18.（1）因為，
由正弦定理得：，則，
又，由余弦定理得：
化簡為，
把代入上式，并化簡可得：；
（2）設，
因為平分，且交于點，
則，
即，
又
化簡為，
又，所以，
則，
所以的面積
.
19.（1）取中的，連接，
因為平面平面，所以，
因為，所以為中點，
為中點，所以，
又因為點為中點，四邊形為矩形，所以，
所以，四邊形為平行四邊形，
所以平面平面，
所以平面.
（2）因為平面平面，所以，
由（1）知，為中點，
因為平面平面，所以，又因為
所以平面平面，所以.
以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
由題意可知，，
，
設平面的法向量為，則
，即，令，則，所以，
設與平面所成線面角為，則
，
所以與平面所成線面角的正弦值為.
20.（1）
由已知得，
所以，
其中，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
，
當時，單調遞減，其中，
所以滿足的所有正整數(shù)為1，2
21.（1）當時，.
，
故曲線在點處的切線方程為，
即.
因為該切線在軸上的截距分別為-1和，
所以該切線與兩坐標軸所圍成的直角三角形的面積.
（2）①當時，，則，
由圖象可得，當時，；當時，.
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故為最小值，且.
所以此時存在零點，不符合題意.
②當時，因為，
所以，
令，則，
因為，所以在上單調遞增，
又，由零點存在定理得，
在上有唯一的零點，即，因此有.
當時，，即；當時，，即.
所以在上單調遞減，在上單調遞增，故為最小值.
由，得，
所以，
因為，所以，又因為，所以，所以.
所以，此時沒有零點.
綜上，的取值范圍是.
22.（1）由題意可知：，
因為，所以，
故橢圓的標準方程為.
（2）設.
聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，
則，所以，
因為，則，令，
解得，所以，
故直線的方程為：，
根據(jù)對稱性，直線所過的定點在軸上.
不妨令，則將代入得
，
代入得，
，故直線過定點

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