陜西省咸陽市禮泉縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中學(xué)科素養(yǎng)評(píng)價(jià)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1.本試卷共4頁，全卷滿分150分，答題時(shí)間120分鐘.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第Ⅰ卷（選擇題共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線：在軸上的截距為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用軸上截距的概念來求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由直線：可得：，
所以直線在軸上的截距為，
故選：A.
2. 圓心為，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義可直接得出.
【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑為3，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D
3. 兩條平行直線：與：之間的距離是（）
A 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行直線間的距離公式即可得解.
【詳解】因?yàn)閮蓷l平行直線：與：，
根據(jù)兩平行線距離公式.
故選：B
4. 若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于，則直線l與平面α所成的角等于（）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)線面角的向量公式，即可求解.
【詳解】設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，
所以，所以.
故選：C
5. 已知空間四面體中，對(duì)空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿足，則下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空間向量基本定理易求得的值.
【詳解】由，因四點(diǎn)共面,由空間向量基本定理可知，需使，解得.
故選：B.
6. 已知直線與圓：交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到圓心坐標(biāo)和半徑.直線方程可化為點(diǎn)斜式，可判斷直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于弦時(shí)，弦長最短.
【詳解】將直線方程變形為，即.
令，此時(shí)無論取何值，方程都成立，所以直線恒過定點(diǎn).
圓的圓心，半徑.
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得到的距離.
當(dāng)時(shí)，最小.
根據(jù)垂徑定理，此時(shí)，將，代入可得.
故選：C.
7. 已知，則到直線的距離為（）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出與同方向單位向量的坐標(biāo)，繼而計(jì)算和，代入點(diǎn)到直線的距離的向量公式計(jì)算即得.
【詳解】由可知,
則與同方向的單位向量為，
又 , ,
故點(diǎn)到直線的距離為.
故選：D.
8. “不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”是指相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測(cè)量、畫圖的工具.如圖，現(xiàn)有一橢圓經(jīng)某同學(xué)以“矩”量之得，，其中為橢圓左焦點(diǎn)，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義可得利用垂直關(guān)系可得，即可由離心率公式求解.
【詳解】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，故，得，
又，故，
故離心率為，
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知直線，則（）
A. 直線的傾斜角為
B. 直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為
C. 直線不經(jīng)過第三象限
D. 直線的截距式方程為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用直線方向向量的概念可判斷B選項(xiàng)；作出直線的圖象，可判斷C選項(xiàng)；將直線的方程化為截距式方程，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線的斜率為，該直線的傾斜角為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，直線的方向向量為，
故直線的一個(gè)方向向量為，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，作出直線的圖象如下圖所示：
由圖可知，直線不經(jīng)過第三象限，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，直線的方程可化為，其截距式方程為，D對(duì).
故選：ACD.
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓與圓：沒有交點(diǎn)，則圓的半徑可以是（）
A. 1B. 2C. 8D. 9
【答案】AD
【解析】
【分析】首先要將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑.兩圓沒有交點(diǎn)包含外離和內(nèi)含兩種情況，根據(jù)兩圓位置關(guān)系的判定條件（圓心距與兩圓半徑，的關(guān)系）來確定圓半徑的取值范圍.
【詳解】圓的方程為，配方可得.
所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.
設(shè)圓的半徑為，圓心.
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得圓心與圓心的距離.
兩圓沒有交點(diǎn)，分兩種情況：
外離時(shí)，即，解得.
內(nèi)含時(shí)，即.
當(dāng)，即時(shí)，，解得（半徑不能為負(fù)，舍去）.
當(dāng)，即時(shí)，，解得.
則的范圍為或.
故選：AD.
11. 如圖，棱長均為2的正三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，則（）
A. 平面
B.
C. 直線與所成角的余弦值為
D. 點(diǎn)到平面的距離為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A由及平面即可判斷；B首先確定，得到，再由線平面垂直的判定、性質(zhì)定理判斷；C令為中點(diǎn)，連接，直線與所成角即為所求，應(yīng)用余弦定理求其余弦值；D應(yīng)用等體積法求點(diǎn)平面距.
【詳解】A：由題意，而平面，即平面不成立，錯(cuò)；
B：由、分別為、的中點(diǎn)，則，且，
所以，則，易得，
由底平面為等邊三角形，則，
而，都在平面內(nèi)，則平面，
由平面，則，都在平面內(nèi)，
所以平面，平面，，對(duì)；
C：為中點(diǎn)，連接，則，
故直線與所成角，即為直線與所成角，
由題設(shè)易知：，，則，對(duì)；
D：由，若到平面的距離為，且，
則，即，對(duì).
故選：BCD
第Ⅱ卷（非選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知直線：，直線：，則直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為______.
【答案】
【解析】
【分析】聯(lián)立直線方程解方程組即可得交點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】聯(lián)立直線與的方程，解方程得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為：.
13. 設(shè)，，若，分別是平面，的法向量，若，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意有，利用向量平行的坐標(biāo)表示列方程，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意，則，故.
故答案為：
14. 由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，則的最小值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】先確定圓的圓心和半徑，由點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線距離，結(jié)合得取得最小值時(shí)取得最小值和的最小值為即可求解.
【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
所以圓心到直線距離為，
因?yàn)?，所以?dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，
而的最小值為，所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、.
（1）求直線的一般式方程；
（2）求邊上的高線所在直線的斜截式方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）寫出直線的兩點(diǎn)式方程，然后化為一般方程即可；
（2）求出直線的斜率，可得出邊上的高線所在直線的斜率，可得出邊上的高線所在直線的點(diǎn)斜式方程，化為斜截式方程即可.
【小問1詳解】
解：因?yàn)辄c(diǎn)、，
所以，直線的方程為，整理得，
即直線的一般式方程為.
【小問2詳解】
解：因?yàn)辄c(diǎn)、，則，
所以，邊上的高線所在直線的斜率為，
又，所以，邊上的高線所在直線的方程為，即，
即邊上的高線所在直線的斜截式方程為.
16. 如圖，在三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，設(shè)，，.
（1）用，，表示向量；
（2）用，，表示向量；
（3）若，，，求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算規(guī)則，結(jié)合圖形性質(zhì)和數(shù)量積運(yùn)算即可.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
.
【小問3詳解】
，，，
.
17. 已知圓：和圓：.
（1）求證：圓和圓相交；
（2）求圓與圓的公共弦所在直線的方程以及公共弦的長.
【答案】（1）證明見解析；
（2），.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，利用半徑和差與圓心距的大小關(guān)系判斷圓的位置關(guān)系；
（2）兩圓方程作差求公共弦方程，應(yīng)用幾何法求公共弦長.
小問1詳解】
根據(jù)題意，圓：的圓心為，半徑，
圓：，得，圓心為，半徑，
圓心距，
，
圓和圓相交.
【小問2詳解】
將兩圓方程相減，有，即兩圓公共弦所在直線的方程為，
圓心到的距離，故公共弦的弦長為.
18. 已知橢圓C：（）經(jīng)過點(diǎn)，．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左焦點(diǎn)且與PQ平行的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求的長．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用橢圓經(jīng)過的點(diǎn)，列出方程組求出即得.
（2）求出直線的方程，利用弦長公式計(jì)算即得.
【小問1詳解】
由橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，，得，而，解得，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，橢圓的左焦點(diǎn)為，而直線的斜率為，
因此直線的方程為，
由消去y得，顯然，設(shè)，
則，，
所以.
19. 如圖，四棱錐中，平面，，，，，，是的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若二面角余弦值是，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量證明線線垂直，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求兩個(gè)面的夾角的余弦值，最后等于，求得實(shí)數(shù)的值即可.
【小問1詳解】
平面，，平面，
，，又，
，，兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A0,0,0，，，，，
，，，
，，
，，
又，，平面，平面.
【小問2詳解】
由（Ⅰ）中建立的空間直角坐標(biāo)系可得，，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則取，
平面，平面，，
，是的中點(diǎn)，，
又，，平面，平面，
又，取平面的法向量為，
由圖知，二面角的平面角為銳角，
二面角的余弦值為：，
解得，
又，.

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