2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級第二次學(xué)情調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單項(xiàng)選擇題:(每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.)1.過點(diǎn)且傾斜角為的直線在y軸上的截距是（）A. B.4 C. D.22.已知雙曲線(a＞0)的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.y＝±2x      C.D.3.中國古代有一個問題為“今有竹九節(jié),下三節(jié)容量四升,上四節(jié)容量三升.問中間二節(jié)欲均容各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量變化均勻,即由下往上均勻變細(xì).該問題中由上往下數(shù)的第2節(jié),第3節(jié),第8節(jié)竹子的容積之和為（）A.升 B.升 C.升 D.升4.過直線上的一個動點(diǎn)向圓引切線,則切線長的最小值為（    ）A. B. C. D.5.已知橢圓的右焦點(diǎn)為(3,0)，過點(diǎn)的直線交橢圓交于A,B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,－1)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.6.設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn，若,則=（）A.3 B.4 C.5 D.67.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)在C上，過P作l的垂線，垂足為Q，若，則F到l的距離為（）A.2 B.4 C.6 D.88.已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為為F1,F2,經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),△ABF2的內(nèi)切圓的圓心為I,若，則該橢圓的離心率為（    ）A. B. C. D.二、多選題:(每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合要求,全部選對得5分，部分選對得2分，錯選得0分.)9.下列說法中正確的是（    ） A.若b2=ac，則a,b,c成等比數(shù)列B.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)C.數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2D.若一個常數(shù)列是等比數(shù)列,則這個數(shù)列的公比是110.嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右,嫦娥四號順利進(jìn)入了以月球球心為一個焦點(diǎn)的橢圓形軌道,如圖中軌道③所示,其近月點(diǎn)與月球表面距離為100公里,遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400公里,已知月球的直徑約為3476公里,則下列說法正確的是（    ）     A.焦距長約為300公里      B.長軸長約為3988公里C.兩焦點(diǎn)坐標(biāo)可以約為(±150，0)     D.離心率約為11.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，則（　?。?/span>A.a6＞0B.C.Sn＜0時，n的最小值為14                   D.數(shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)12.已知拋物線：，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，下列說法正確的是（    ）A. B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，直線的斜率為2 D.直線過定點(diǎn)(0,1) 三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.若拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2－y2=1的一個焦點(diǎn)，則p=_____．14.已知等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)之和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)的和為_________．15.若直線上存在一點(diǎn)P,圓上存在一點(diǎn)Q，滿足，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________． 16.歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)，其中法線表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，由發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為．利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：(1)橢圓C的離心率為__________．(2)點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為在l上的射影H在圓上，則橢圓C的方程為__________.四、解答題:(共計(jì)70分.解答題應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.)17.(本小題滿分10分)在ΔABC中，已知點(diǎn)A(3,2)，AC邊上的中線BM所在直線的方程為，AB邊上的高所在直線的方程為．(1)求直線AB的方程；(2)求B點(diǎn)的坐標(biāo)．          18.(本小題滿分12分)有下列3個條件：①a3+a8=－2；②S7=－28；③a2,a4,a5成等比數(shù)列.從中任選1個，補(bǔ)充到下面的問題中并解答問題：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知，.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值并指明相應(yīng)的n的值．         19.(本小題滿分12分)等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．         20.(本小題滿分12分)已知圓:,直線是過原點(diǎn)O的一條動直線，且與圓交于A，B兩點(diǎn).(1)若A,B恰好將圓分成長度之比為1：2的兩段圓弧，求的斜率；(2)記AB的中點(diǎn)為M，在繞著原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)M在平面內(nèi)形成一段曲線E，求E的長度.       21.(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)動點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離與到x軸的距離分別為d1，d2，且，記動點(diǎn)M的軌跡為Ω.(1)求Ω的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)(0,－2）的直線l與Ω相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最大時，求直線l的方程.         22.(本小題滿分12分)如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)F，且經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求p和m的值；(2)點(diǎn)M，N在C上，且，過點(diǎn)A作，D為垂足，證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值．                      2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級第二次學(xué)情調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：12345678ADBCDCCA二、多選題：9101112CDACDABDABD三、填空題：13.14.210   15.  16.; 四、解答題:17．【解】:(1)由AB邊上的高所在直線的方程為得則又∵A(3，2)，∴直線AB的方程為即(或)……………………………………………5分(2)因?yàn)?/span>AC邊上的中線過點(diǎn)B，則聯(lián)立直線方程：解得：即點(diǎn)B坐標(biāo)為(4，0)…………………………………………….10分  18.【解】:（1）因?yàn)?/span>,所以an+1－an=2，即是公差為2的等差數(shù)列選擇條件①：因?yàn)?/span>a3+a8=－2，所以2a1+9d=－2,解得a1=－10，所以an=2n－12選擇條件②：因?yàn)?/span>S7=－28，所以,解得a1=－10，所以an=2n－12選擇條件③：因?yàn)?/span>a2,a4,a5成等比數(shù)列，所以(a4)2=a2a5,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)，解得a1=－10，所以an=2n－12…………………………………………6分（2）由（1）可知a1=－10，d=2所以因?yàn)?/span>n∈N* ,  所以當(dāng)n=5或者6時，取到最小值，即……………….12分19.【解】:（1）由題意得：…………………………………4分（2）當(dāng)時，；時，當(dāng)時，……………………………………………6分當(dāng)時，即………………………………………10分綜上所述：………………………………………12分 20.【解】:（1）設(shè)直線的斜率為，則：，圓：以點(diǎn)為圓心，2為半徑，因?yàn)?/span>A，B將圓C分成長度之比為1：2的兩段圓弧，所以，又因?yàn)榘霃?/span>，所以圓心C到弦AB的距離為（記圓心C到弦AB的距離為d），所以，即，所以.………………………5分（2）由于M為AB中點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，由垂徑定理可知，即，所以點(diǎn)M在以OC為直徑的圓上，設(shè)OC的中點(diǎn)為T，則，所以，所以點(diǎn)M在以為圓心，2為直徑的圓T上，所以，曲線E為圓T在圓C內(nèi)部的部分圓弧，記圓T與圓C的交點(diǎn)為P，Q，易得，所以，所以，所以長度為，即曲線E的長度為.……………………………12分  21.【解】:（1）設(shè)，則，，則，故的方程為（或）.   …………………………………………4分（2）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線：，設(shè)，，將代入，得，……………………………6分當(dāng)，即時，，，從而， ………………………………8分從點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，設(shè)，則，，………………………………………10分當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足）時等號成立，所以當(dāng)的面積最大時，，直線：. …………………12分      22.【解】:（1）由拋物線定義知：，則，  …………………2分又在拋物線上，則，可得.           …………………3分（2）設(shè)，，由（1）知：，所以，，又，所以，…………5分令直線，聯(lián)立，整理得，且，所以，，則，，綜上，， ……………………8分當(dāng)時，過定點(diǎn)；當(dāng)時，過定點(diǎn)，即共線，不合題意；所以直線過定點(diǎn)，又，故在以為直徑的圓上，………10分而中點(diǎn)為，即為定值，得證.      ……………………12分（其它方法請酌情給分 

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