名校聯(lián)考聯(lián)合體2022年高二元月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)時量：120分鐘  滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則（    ）A．        B．C．        D．2．雙曲線上一點P與它的一個焦點的距離等于，那么點P與另一個焦點的距離等于（    ）A．9         B．17C．18         D．343．“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限”的（    ）A．充分不必要條件      B．必要不充分條件C．充要條件        D．既不充分也不必要條件4．如圖，某橋是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m，水面寬4m，那么水下降1m后，水面寬為（    ）A．        B．C．        D．5．如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（    ）A．30°    B．45°    C．60°    D．90°12．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A．       B．C．        D．7．如圖是最小正周期為的函數(shù)的部分圖象，則（    ）A．    B．    C．    D．8．已知F為拋物線的焦點，過點F作兩條直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，若，則四邊形ADBE面積的最小值為（    ）A．48    B．32    C．16    D．8二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知平面上三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k的值可以為（    ）A．    B．    C．0    D．110．在正方體中，E，F分別是和的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（    ）A．平面CEFB．平面CEFC．D．點D與點到平面CEF的距離相等11．已知雙曲線經(jīng)過點，并且它的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．C的離心率為B．C的漸近線為C．C的方程為D．直線與C有兩個公共點12．雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布?伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡，而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之乘積為定值的點的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線．伯努利將這種曲線稱為 lemniscate，為拉丁文中“懸掛的絲帶”之意．雙紐線在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位．雙紐線像數(shù)字“8”，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱和諧、簡潔、統(tǒng)一的美，同時也具有特殊的有價值的藝術(shù)美，是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多設(shè)計者設(shè)計作品的主要幾何元素．曲線是雙組線，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．曲線C經(jīng)過5個整點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)B．曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點O的距離都不超過2C．曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為D．若直線與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，若，則______．14．一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的負(fù)半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．15．一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程是______．16．某公司購置一臺價值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價值逐年減少．經(jīng)驗表明，每經(jīng)過一年其價值就會減少d(d為正常數(shù))萬元．已知這臺設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進(jìn)價值的5%，設(shè)備將報廢．則d的取值范圍為______．四、解答題：本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)高考數(shù)學(xué)特別強(qiáng)調(diào)要增加對數(shù)學(xué)文化的考查，為此某校高三年級特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷(試卷滿分為100分)，并對整個高三年級的學(xué)生進(jìn)行了測試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，按照成績?yōu)?/span>，，…，分成了5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖(假定每名學(xué)生的成績均不低于50分)．(1)求頻率分布直方圖中的x的值，并估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的三組學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人參加這次考試的考后分析會，試求后兩組中至少有1人被抽到的概率．18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性并加以證明；(2)，不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍．19．(本小題滿分12分)在數(shù)列中，首項，且滿足，其前n項和為．(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并判斷n，，是否成等差數(shù)列?20．(本小題滿分12分)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，的面積為，求a；(2)若，求C．21．(本小題滿分12分)如圖1，平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和拼接而成，其中，、，，，PC與AD相交于O，現(xiàn)沿著AD折成四棱錐(如圖2)．(1)當(dāng)四棱錐的體積最大時，求點B到平面PCD的距離；(2)在(1)的條件下，線段PD上是否存在一點Q，使得二面角的余弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．22．(本小題滿分12分)已知橢圓經(jīng)過點，離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點且與C相交于A，B兩點．若直線PA與直線PB的斜率的和為，證明：直線l過定點． 炎德·英才·名校聯(lián)考聯(lián)合體2022年高二元月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、二、選擇題題號123456789101112答案DBADCDCBABCBDACBCD1．D  【解析】∵全集，，∴，又集合，∴，故選D．2．B  【解析】設(shè)點P與雙曲線另一個焦點的距離為，由定義，得，故選B．3．A  【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，又可以得出“”，反之不然．故選A．4．D  【解析】如圖，以拱頂為原點，對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，則該拋物線方程為，依題點在其上，所以，，拋物線方程為．設(shè)，則，，所以水面寬為，故選D．5．C  【解析】∵，∴，∴，，故選C．6．D  【解析】，，則，又，∴，故選D．7．C  【解析】由周期，得，由五點對應(yīng)法得，得，故選C．8．B  【解析】依題意，，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，，，，直線，直線．聯(lián)立消去y整理得，所以，同理，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選B．9．ABC  【解析】依題：三條直線交于一點或其中兩條平行且與第三條直線相交，①當(dāng)直線經(jīng)過直線與直線的交點時，，解得．②當(dāng)直線與直線平行時，，解得；當(dāng)直線與直線平行時，可得，所以或或．故選ABC．10．BD  【解析】對選項A，因為E，F分別是和的中點，故，故平面CEF成立．對選項B，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為2，則，．故．故，不互相垂直．又平面CEF，故平面CEF不成立，對選項C，同B空間直角坐標(biāo)系有，，故成立，對選項D，點D與點到平面CEF的距離相等，則點D與點中點O在平面CEF上，連接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF．又點D與點中點O在上，故點O不在平面CEF上，故D不成立．11．AC  【解析】雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到直線的距離為，于是，，雙曲線C的離心率，故A正確．由，所以C的漸近線為，故B不正確，由，雙曲線C化為，又點在雙曲線上，所以，所以，．所以雙曲線方程為，故C正確．聯(lián)立，消去x得．因為，故D不正確．12．BCD  【解析】對于A，令，解得：或或，當(dāng)時，x無整數(shù)解．所以曲線C經(jīng)過整點，，，故A錯；對于B，根據(jù)曲線，可知，所以雙曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點O的距離都不超過2，故B正確；對于C，曲線方程中x，y互換可得曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為，故C正確；對于D，由曲線，可知，可得若直線與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為，故D．三、填空題13．  【解析】由得，所以，，.14.  【解析】設(shè)圓心為，則半徑為，則，解得，故圓的方程為．15．  【解析】，，，所以兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，設(shè)圓M的半徑為r，則，所以，故圓心M的軌跡是以，為焦點，的橢圓，其方程為．16．  【解析】設(shè)n年后，該設(shè)備的價值為，則，所以數(shù)列是一個等差數(shù)列，首項為，公差為，通項公式為，依題意：解得：．四、解答題17．【解析】(1)由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為，故.故可估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)為（分）．由于前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，故中位數(shù)在第3組中．設(shè)中位數(shù)為t分，則有，所以，即所求的中位數(shù)為分．(答73.3分也行)(2)由(1)可知，后三組中的人數(shù)分別為15，10，5，故這三組中所抽取的人數(shù)分別為3，2，1．記成績在這組的3名學(xué)生分別為a，b，c，成績在這組的2名學(xué)生分別為d，e，成績在這組的1名學(xué)生為f，則從中任抽取3人的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種．其中后兩組中沒有人被抽到的可能結(jié)果為，只有1種，故后兩組中至少有1人被抽到的概率為．18．【解析】(1)函數(shù)是奇函數(shù)．證明如下：函數(shù)的定義域為，∵，∴，所以函數(shù)是上的奇函數(shù)．(2)等價于，因為為上的增函數(shù)，所以，即，所以解得．19．【解析】(1)∵，，又，∴是首項為，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知，，∴，∴，∴，∴．即n，，成等差數(shù)列．20．【解析】(1)∵的面積，∴，，由余弦定理：，∴．(2)由已知，由正弦定理得，即，可得．由于，所以，故，.21．【解析】在圖1中，在中，，，∴．易知四邊形ABCO為正方形，∴，即O為AD的中點，在圖2中，當(dāng)四棱錐的體積最大時，側(cè)面底面ABCD，此時平面ABCD，以O為坐標(biāo)原點，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，∴，，.(1)設(shè)平面PCD的一個法向量為，則取，得．則B點到平面PCD的距離．(2)假設(shè)存在，且設(shè)．∵，∴，∴，∴．設(shè)平面CAQ的一個法向量為，又，，則取，得．又易知平面CAD的一個法向量為，∵二面角的余弦值為，∴，整理化簡，得，解得或(舍去)．∴線段PD上存在滿足題意的點Q，且．22．【解析】(1)由，，橢圓C的方程可化為：，又，在C上，所以，解得．故C的方程為．(2)設(shè)直線PA與直線PB的斜率分別為， ，如果l與x軸垂直，設(shè)l：，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為，．則，得，不符合題設(shè)．從而可設(shè)．將代入得，由題設(shè)可知．設(shè)，，則，．而．由題設(shè)，故．即．解得．當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時，即．所以l過定點．  

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