名校聯(lián)考聯(lián)合體2023年秋季高二年級第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘  滿分：150分一、選擇題：本題共8小題.每小題5分.共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，.若.則（    ）A. B. C. D.2.“”是“直線和直線平行”的（    ）A.充要條件  B.必要不充分條件C.充分不必要條件  D.既不充分也不必要條件3.已知點(diǎn)，分別為平面內(nèi)、外一點(diǎn)，平而的法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（    ）A. B. C. D.4.若方程表示的曲線為一個(gè)圓，則（    ）A.  B.或C.  D.或5.若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（    ）A. B.1 C.0 D.6.在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)為（    ）A.一個(gè)定點(diǎn)  B.一個(gè)平面上任意一點(diǎn)C.一條直線上任意一點(diǎn)  D.一個(gè)圓上任意一點(diǎn)7.已知，，，若，則的值為（    ）A. B. C. D.8.已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則以下正確的序號為（    ）①存在軸上的唯一點(diǎn)對，，使得為常數(shù)②存在軸上的無數(shù)個(gè)點(diǎn)對，，使得為常數(shù)③存在直線（）上的唯一點(diǎn)對，，使得為常數(shù)④存在直線（）上的無數(shù)個(gè)點(diǎn)對，，使得為常數(shù)A.①③ B.②④ C.①④ D.②③二、選擇題：本題共4小題.每小題5分.共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，都分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，滿足，，則（    ）A.  B.C.  D.10.已知直線：，則（    ）A.不過原點(diǎn)  B.的落截距為C.的斜率為  D.與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為11.若為圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值可以為（    ）A.0.6 B.2 C.3.41 D.3.4212.袋中裝有大小完全相同的6個(gè)紅球，3個(gè)白球，其中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球上面標(biāo)記了數(shù)字1，其他球標(biāo)記了數(shù)字2.從袋中不放回地依次取2個(gè)小球，每次取1個(gè)，記事件“第一次取到的是紅球”，事件“第一次取到了標(biāo)記為數(shù)字1的球”，事件“第一次取到了標(biāo)記為數(shù)字2的球”，事件“第二次取到了標(biāo)記為數(shù)字1的球”，則（    ）A.與互斥  B.與互斥C.  D.與相互獨(dú)立選擇題答題卡題號123456789101112得分答案             三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.從2，3，4，6這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)，，則，互質(zhì)的概率為______.14.已知空間中，，三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則到直線的距離為______.15.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓：（）上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)都不在圓：上，則的取值范圍為______.16.在三棱柱中，已知各棱長都為2，側(cè)面底面，且，則三棱柱的側(cè)面積為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）在長方體中，已知，為的中心.（1）求異面直線，所成角的余弦值；（2）求證：平面.18.（本小題滿分12分）在中，設(shè)角，，的對邊長分別為，，.（1）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，，，求的長；（2）若，且，求的而積.19.（本小題滿分12分）已知圓關(guān)于軸對稱，且與直線：相交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，過、分別作直線的垂線與軸交于，，且梯形的中位線長與面積分別為，15.（1）求的值；（2）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，，.（1）判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明；（2）求平面與平面所成二面角余弦值的絕對值.21.（本小題滿分12分）甲、乙兩位同學(xué)參加某種科學(xué)知識比賽進(jìn)入了決賽階段，決賽規(guī)則如下：最多進(jìn)行兩輪比賽，每人每輪比賽在規(guī)定時(shí)間內(nèi)答兩道選擇題，答對一道得3分，不作答得1分，答錯(cuò)得分。第一輪結(jié)束總得分高的勝出，得分相同則進(jìn)行第二輪比賽。對于一道選擇題，假設(shè)甲選擇作答且答對的概率為，選擇作答且答錯(cuò)的概率為，選擇不作答的概率為，乙選擇作答且答對的概率為，選擇作答且答錯(cuò)的概率為，選擇不作答的概率為.又假設(shè)甲答不同的題、乙答不同的題及甲、乙之間的答題均互不影響.（1）若，，，，，，求：①第一輪比賽結(jié)束甲得分為2分的概率；②第一輪比賽結(jié)束甲、乙的得分相等且概率相等的概率；（2）若，求第一輪結(jié)束時(shí)乙不需要進(jìn)行第二輪比賽的概率.22.（本小題滿分12分）已知過原點(diǎn)的直線與圓：交于，兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）當(dāng)直線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在軸上是否存在定點(diǎn)（原點(diǎn)除外），使得為定值？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 名挍聯(lián)考聯(lián)合體2023年唩季高二年級第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案題號123456789101112答案AACBACDBABDADABCBD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1. A  【解析】因?yàn)?/span>，所以.2. A  【解析】當(dāng)時(shí)，“直線和直線平行”或，當(dāng)時(shí)，兩直線不平行，所以選A.3. C  【解析】因?yàn)?/span>，，所以直線與平面所成角的正弦值為.4. B  【解析】因?yàn)榉匠?/span>表示的曲線為一個(gè)圓，所以，所以或.5. A  【解析】因?yàn)?/span>不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以存在實(shí)數(shù)、使得，即，即，因?yàn)?/span>是空間的一個(gè)基底，則解得6. C  【解析】在正方體中，因?yàn)?/span>，所以在過點(diǎn)且與垂直的一個(gè)平面內(nèi)，即為平面的一個(gè)法向量，又平面的法向量為，與不平行，所以平面與平面一定相交于直線，所以點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng).7. D  【解析】因?yàn)?/span>，，所以.因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以不可能是銳角，所以，所以.8. B  【解析】圓心坐標(biāo)為，圓心在軸上，設(shè)，（），，則，即對恒成立，所以，所以所以，所以且，所以且且，即有無數(shù)組解，所以①錯(cuò)誤，②正確；由圓關(guān)于直線（）對稱及以上推理得，存在直線上的無數(shù)個(gè)點(diǎn)對，，使得的值與的位置無關(guān)，所以③錯(cuò)誤，④正確.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. ABD  【解析】因?yàn)?/span>，，所以，，所以，，所以選ABD.10. AD  【解析】因?yàn)?/span>，所以不過原點(diǎn)，所以A正確；令得，，所以的橫截距為，所以B錯(cuò)誤；把化為，所以的斜率為，所以C錯(cuò)誤；把化為，所以直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為，所以D正確.11. ABC  【解析】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，半徑，，所以的取值區(qū)間為.12. BD  【解析】若第一次取到的是標(biāo)記為數(shù)字1的紅球，即、同時(shí)發(fā)生了，所以、不互斥，所以A錯(cuò)誤；顯然第一次取到的球不可能同時(shí)標(biāo)記為數(shù)字1和2，所以與互斥，所以B正確；“第一次取到的是紅球”的概率，“第一次取到的是標(biāo)記為數(shù)字2的球”的概率，所以，所以C錯(cuò)誤；“第二次取到了標(biāo)記為數(shù)字1的球”即取到的是數(shù)字2，1或者1，1，，“第一次取到紅球且第二次取到了標(biāo)記數(shù)字1的球”即抽到的為紅1數(shù)字1或者紅2數(shù)字1，概率，又，所以成立，所以事件與事件相互獨(dú)立，所以正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.  【解析】從2，3，4，6這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)共有6組，其中互質(zhì)的有2、3；3、4，所以，互質(zhì)的概率為.14.  【解析】，，則到直線的距離為.15.  【解析】圓：關(guān)于原點(diǎn)的對稱圓為：，由已知得，只需要與無公共點(diǎn)，所以或，所以或，又，所以.16.  【解析】取的中點(diǎn)為，連，，，，，，.因?yàn)槿切?/span>為正三角形，所以，因?yàn)閭?cè)面底面，所以側(cè)面，所以，，由已知得，，所以，在四邊形中，，所以，所以，在三角形中，，同理得，，，所以三棱柱的側(cè)面積為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【解析】（1）以射線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得，，，，，所以，，所以.（2），，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以不妨設(shè)，又，所以，又平面，所以平面.18.【解析】（1）設(shè)，在三角形與三角形中分別使用余弦定理得，，，即，①，②①×②＋②得，，因?yàn)?/span>，所以，解得，即的長為1.（2）設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，，在中，由正弦定理得，，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，可得，，，因?yàn)?/span>，所以，所以的面積為.19.【解析】（1）過作直線：的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)，所以也是的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為，為梯形的中位線，，即到直線：的距離為，所以，解得或7.（2）因?yàn)樘菪?/span>的面積為15，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20.【解析】（1）判斷：平面.證明如下：如圖，延長、交于，因?yàn)?/span>，所以三角形為正三角形，因?yàn)?/span>，所以為三角形的中位線，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作射線垂直于，因?yàn)?/span>平面，所以可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、，分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知條件得，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則不妨設(shè)，由平面幾何得，平面的一個(gè)法向量為，所以.21.【解析】（1）①因?yàn)榧状鸩煌念}互不影響，，所以第一輪比賽結(jié)束甲得分為2分的概率為.②由已知得，第一輪比賽結(jié)束甲、乙的得分相等且概率相等的情形只可以是甲、乙都是選擇作答2題，一題答對一題答錯(cuò)，因?yàn)榧状鸩煌念}、乙答不同的題及甲、乙之間的答題均互不影響，所以第一輪比賽結(jié)束甲、乙得分相等且概率相等的概率為.（2）因?yàn)?/span>，故在第一輪比賽時(shí)甲、乙都選擇作答每道題，所以在第一輪比賽結(jié)束時(shí)每個(gè)人的得分可以是6分，2分和分，因?yàn)榧状鸩煌念}、乙答不同的題及甲、乙之間的答題均互不影響，所以第一輪結(jié)束時(shí)乙不需要進(jìn)行第二輪比賽的概率即甲乙得分不相同的概率為.22.【解析】（1）設(shè)，，①當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，代入圓的方程，整理得，所以，，由題知，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，無解；②當(dāng)的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入圓的方程得，設(shè)，，所以，，所以，符合題意，綜上，的方程為.（2）當(dāng)直線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)，，使得為定值，不妨設(shè)，當(dāng)的斜率存在時(shí)，由（1）得，，，，所以，令為定值，所以，所以，所以因?yàn)?/span>，所以關(guān)于，的方程無解，故當(dāng)直線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在軸上不存在定點(diǎn)（原點(diǎn)除外），使得為定值.

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