一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式求出集合，再求交集可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選：D.
2．已知數(shù)列的前三項(xiàng)為4，3，2，則的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，結(jié)合選項(xiàng)判斷.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為．
而對(duì)于A的通項(xiàng)，，不符合題設(shè)要求；
對(duì)于B中的通項(xiàng)，，不符合題設(shè)要求；
對(duì)于D中的通項(xiàng)，，不符合題設(shè)要求.
故選：C
3．若為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，由于復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0.
【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，解得.
故選：B
4．若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則（ ）
A．B．C．7D．
【答案】A
【分析】利用直線(xiàn)垂直的斜率關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以，解得．
故選：A
5．過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)P作圓C：的切線(xiàn)，Q為切點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相切可得，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.
【詳解】因?yàn)閳AC的圓心到直線(xiàn)的距離，
所以，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以的最小值為，
故的取值范圍是．
故選：C
6．設(shè)向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量在向量上的投影向量得到，再利用基本不等式求解.
【詳解】解：向量在向量上的投影向量為，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為．
故選：C
7．直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，即可得到結(jié)果.
【詳解】由，得，
令得
所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和為．
故選：B
8．若數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，但數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則稱(chēng)是T數(shù)列．下列數(shù)列不是T數(shù)列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由T數(shù)列的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減數(shù)列，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，所以是T數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，易知不是遞增數(shù)列，因?yàn)?，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，所以是T數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以是遞減數(shù)列，因?yàn)?，且是單調(diào)遞增數(shù)列，所以是T數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以不是單調(diào)遞增數(shù)列，不是T數(shù)列，故D正確.
故選：D
二、多選題
9．甘肅省2017到2022年常住人口變化圖如圖所示：
則（ ）
A．甘肅省2017到2020年這4年的常住人口呈遞增趨勢(shì)
B．甘肅省2017到2022年這6年的常住人口的第40百分位數(shù)為2501.98萬(wàn)
C．甘肅省2017到2022年這6年的常住人口的極差為156.41萬(wàn)
D．從2017到2022年這6年中任選1年，則該年的甘肅省常住人口大于2500萬(wàn)的概率為
【答案】BD
【分析】A.由條形圖判斷；B.利用第百分位數(shù)的定義求解判斷；C.利用極差的定義求解判斷；D.利用古典概型的概率求解判斷.
【詳解】由圖可知，A錯(cuò)誤．
甘肅省2017到2022年這6年的常住人口（單位：萬(wàn)）按照從小到大的順序排列為2490.02，2492.42，2501.98，2625.71，2637.26，2647.43，
因?yàn)?，所以這6年的常住人口的第40百分位數(shù)為2501.98萬(wàn)，B正確．
甘肅省2017到2022年這6年的常住人口的極差為萬(wàn)，C錯(cuò)誤．
從2017到2022年這6年中任選1年，則該年的甘肅省常住人口大于2500萬(wàn)的概率為，D正確．
故選：BD
10．若函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)
D．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)周期公式，可以判斷A；代入，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，可以判斷B；
代入，根據(jù)奇偶函數(shù)定義可以判斷C；三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的要求可以判斷D.
【詳解】，A正確．
當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤．
當(dāng)時(shí)，，定義域，，所以為偶函數(shù)，C正確．
因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，D正確．
故選：ACD.
11．若正項(xiàng)數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．的取值范圍是
C．當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29D．公差d的取值范圍是
【答案】ABC
【分析】對(duì)于根據(jù)等差數(shù)列的定義求出公差的值，即可求出；又?jǐn)?shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，根據(jù)，及，即可求出公差的取值范圍，繼而可以判斷
【詳解】當(dāng)時(shí)，公差，，A正確．
因?yàn)槭钦?xiàng)等差數(shù)列，所以，即，且，
所以公差的取值范圍是，D錯(cuò)誤．
因?yàn)?，所以的取值范圍是，B正確．
，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29，C正確．
故選：
12．已知曲線(xiàn)：，圓：，則（ ）
A．當(dāng)或時(shí)，曲線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與圓有1個(gè)公共點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與圓有2個(gè)公共點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與圓有4個(gè)公共點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】由得或，分類(lèi)根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由，得或，
設(shè)：，：，則過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，
圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
當(dāng)與圓相切時(shí)，由，得或，
當(dāng)與圓相切時(shí)，由，得或．
當(dāng)或時(shí)，與圓相離，與圓相離，則曲線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，與圓相交，與圓相離，則曲線(xiàn)與圓有2個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，與圓相交，與圓相切，則曲線(xiàn)與圓有3個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，與圓相交，與圓相交，則曲線(xiàn)與圓有4個(gè)公共點(diǎn)．
故選：ACD
三、填空題
13．若，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】．
故答案為：.
14．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，圓C與圓外切，寫(xiě)出一個(gè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程： ．
【答案】（答案不唯一，只要方程滿(mǎn)足即可）
【分析】求出圓的圓心和半徑，利用兩圓外切即可求出一個(gè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】由題意，
在中，圓心，半徑，
因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，且圓C與圓M：外切，
設(shè)半徑為，則圓心
所以圓C的方程為．
∴一個(gè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
故答案為：.
四、雙空題
15．一個(gè)小球從54米高處自由落下，每次著地后又彈回到原來(lái)高度的處，則小球第2次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是 米；小球第次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是 米．
【答案】 90
【分析】先求出通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列的求和公式可得答案.
【詳解】設(shè)小球第1次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為，小球從第次落地到第n次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為米，
則，
所以小球第2次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是米，
小球第次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是
米．
五、填空題
16．已知正四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，球O的表面積為，且，則正四棱錐的高為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形ABCD的中心為H，即可得到，再由勾股定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
設(shè)正方形ABCD的中心為H，則底面ABCD，球心O在PH上．
設(shè)球O的半徑為R，則，解得．
因?yàn)?，所以?br>所以由勾股定理得，解得．
故答案為：
六、解答題
17．（1）求過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的一般式方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線(xiàn)的斜率．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系設(shè)出直線(xiàn)方程，利用過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案；
（2）先利用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用截距的關(guān)系求出方程.
【詳解】（1）依題意可設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，
解得，故所求直線(xiàn)的方程為．
（2）依題意可設(shè)所求直線(xiàn)的方程為．
令，得；令，得．
依題意可得，
解得．
18．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角的正弦公式求解即得.
（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式計(jì)算即得.
【詳解】（1）在中，由正弦定理、二倍角的正弦公式及，得．
又，因此，而，
所以．
（2）由（1）知，由余弦定理得．
而，則，，解得，
所以的面積．
19．已知數(shù)列滿(mǎn)足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的知識(shí)求得.
（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.
【詳解】（1）由，得，所以是公差為的等差數(shù)列，
因?yàn)椋裕裕?br>（2）由（1）知，
所以．
20．已知圓．
(1)求的取值范圍；
(2)若傾斜角為的直線(xiàn)與圓C相交于，兩點(diǎn)，且，求．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）方法一：根據(jù)求出參數(shù)的取值范圍，方法二：將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，再由計(jì)算可得；
（2）首先求出直線(xiàn)的方程，從而求出圓心到直線(xiàn)的距離，再由垂徑定理與勾股定理表示出弦長(zhǎng)，即可求出.
【詳解】（1）方法一：，則，所以的取值范圍為．
方法二：由，得，
由，解得，所以的取值范圍為．
（2）因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，所以，則直線(xiàn)，
圓的圓心到直線(xiàn)的距離，
所以，
整理得，
即，解得或．
21．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且的前n項(xiàng)和為．
(1)求；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)（或）．
【分析】（1）利用遞推關(guān)系可得答案；
（2）利用錯(cuò)位相減求和可得答案．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，
則，
即，所以，
當(dāng)時(shí)，，也滿(mǎn)足，所以；
（2）由（1）知，
，，
兩式相減得
，
所以（或）．
七、未知
22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C．
(1)求曲線(xiàn)C的方程；
(2)過(guò)直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)作曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，N，探究：直線(xiàn)MN是否過(guò)定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)過(guò)定點(diǎn)
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)列方程化簡(jiǎn)即可；
（2）先得到M，N都在以CD為直徑的圓上，結(jié)合已知條件得到圓的方程，由M，N是兩圓的公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)MN為兩圓公共弦所在的直線(xiàn)．進(jìn)而聯(lián)立方程化簡(jiǎn)即可.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，
由，得，
平方化簡(jiǎn)得，，
即曲線(xiàn)C的方程為
（2）設(shè)直線(xiàn)上一點(diǎn)，曲線(xiàn)C的圓心為C，
則，，則M，N都在以CD為直徑的圓上．
因?yàn)閳A心為，半徑為，
所以圓的方程為，
即．
因?yàn)镸，N是兩圓的公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)MN為兩圓公共弦所在的直線(xiàn)．
由
得直線(xiàn)MN的方程為，即．
由得，，所以直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查解析幾何的綜合問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的處理方法為：
（1）幾何法：通過(guò)圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)與圖形關(guān)系進(jìn)而求解；
（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用方程聯(lián)立與韋達(dá)定理等知識(shí)，用坐標(biāo)運(yùn)算求解答案.

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