1．設(shè)平面α的法向量為(1，－2，2)，平面β的法向量為(2，λ，4)，若α∥β，則λ等于( )
A．2B．4
C．－2D．－4
2．若平面α，β的法向量分別為a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為( )
A．10B．－10
C．D．－
3．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量可表示為( )
A．(－1，2，－2) B．(，－1，1)
C．(，－) D．(，－)
4．已知＝(－3，1，2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(2，－2，4)，點(diǎn)A不在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系為 ( )
A．AB⊥α
B．AB?α
C．AB與α相交但不垂直
D．AB∥α
二、填空題
5．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，點(diǎn)G是P在平面ABC內(nèi)的射影，則G是△ABC的________.
6．已知l∥α，且l的方向向量為(2，－8，1)，平面α的法向量為(1，y，2)，則y＝________．
7．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.
其中正確的是________(填序號(hào))．
三、解答題
8．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，在CC1上求一點(diǎn)P，使平面A1B1P⊥平面C1DE.
[尖子生題庫(kù)]
10.
如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)證明：AP⊥BC；
(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明平面AMC⊥平面BMC．
課時(shí)作業(yè)(五) 空間中的平面與空間向量
1．解析：∵α∥β，∴(1，－2，2)＝m(2，λ，4)，∴λ＝－4.
答案：D
2．解析：因?yàn)棣痢挺?，所以它們的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－2－8＝0，解得x＝－10.
答案：B
3．解析：設(shè)平面ABC的法向量為a＝(x，y，z)，
則有∴，
令z＝1，得y＝－1，x＝，∴a＝(，－1，1)
故平面ABC的一個(gè)單位法向量為＝(，－)．
答案：C
4．解析：因?yàn)閚·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又點(diǎn)A不在平面α內(nèi)，n為平面α的一個(gè)法向量，所以AB∥α，故選D.
答案：D
5．解析：連接AG，BG(圖略)，則AG，BG分別為AP，BP在平面ABC內(nèi)的射影．因?yàn)镻A⊥BC，所以由三垂線定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．
答案：垂心
6．解析：∵l∥α，∴(2，－8，1)·(1，y，2)＝0，而2×1－8y＋2＝0，
∴y＝.
答案：
7．解析：·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)
＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，
∴AP⊥AB，即①正確．
·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)
＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.
∴AP⊥AD，即②正確．
又∵AB＝A，∴AP⊥平面ABCD，
即是平面ABCD的一個(gè)法向量，③正確．④不正確．
答案：①②③
8．解析：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，
B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，
＝(2，0，0)，＝(0，2，1)．
(1)設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
則n1⊥，n1⊥，
即?，
令z1＝2?y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)，
因?yàn)椋剑?＋2＝0，所以，
又因?yàn)镕C1?平面ADE，即FC1∥平面ADE.
(2)因?yàn)椋?2，0，0)，設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量．
由，得
?.
令z2＝2?y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
所以n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
9．解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，且P(0，2，a)，則D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，則＝＝(0，2，2)，
設(shè)n1＝(x1，y1，z1)且n1⊥平面DEC1，
則，取n1＝(2，－1，1)．
又＝＝(0，2，0)，
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)且n2⊥平面A1B1P，
則，取n2＝(a－2，0，2)．
由平面A1B1P⊥平面C1DE，得n1·n2＝0，
即2(a－2)＋2＝0，解得a＝1.故P為CC1的中點(diǎn)．
10．證明：
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，
(1)＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)，
所以·＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知|AP|＝5，
又|AM|＝3，且點(diǎn)M在線段AP上，
所以＝＝(0，)．
又因?yàn)椋?－4，－5，0)，
所以＝＝(－4，－)，
則·＝(0，3，4)·(－4，－)＝0，
所以⊥，即AP⊥BM.
又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP⊥BC，BM＝B，
所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又因?yàn)锳M?平面AMC，
故平面AMC⊥平面BMC.

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1.2.2 空間中的平面與空間向量

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