1.2.2 空間中的平面與空間向量一、    概念練習(xí)1.四棱錐中，，，，則這個(gè)四棱錐的高h為(   )A.1 B.2 C.3 D.42.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，它的一個(gè)法向量為，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是(   )A. B. C. D.3.已知直線l的方向向量是，平面的法向量是，則l與的位置關(guān)系是(   )A. B. C.或 D.l與相交但不垂直4.已知平面內(nèi)兩向量,若為平面的法向量且，則的值分別為(   )A. B. C.1，2 D.5.若已知兩個(gè)向量，，則平面ABC的一個(gè)法向量為(   )A. B. C. D.二、能力提升6.已知向量，平面的一個(gè)法向量，若，則(   )A.， B.， C. D.7.若平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，則平面的法向量可以是(   )
A.（1,0,1） B.（1,0，-1） C.（0,1,1） D.（-1,1,0）8.（多選）已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果，，，則下列結(jié)論正確的有(   )
A.  B.C.是平面ABCD的一個(gè)法向量 D.9.（多選）下列說(shuō)法中正確的是(   )A.平面的法向量垂直于與平面共面的所有向量B.一個(gè)平面的所有法向量互相平行C.如果兩個(gè)平面的法向量垂直,那么這兩個(gè)平面也垂直D.如果向量與平面共面,且向量滿足,那么就是平面的一個(gè)法向量10.（多選）如圖,在正方體中,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),則下列向量中,不能作為平面的法向量的是(   )A. B. C. D.11.在中，，，.若向量n與平面ABC垂直，且，則n的坐標(biāo)為___________.12.正四棱錐如圖所示，在向量①，②，③，④中，不能作為底面ABCD的法向量的是_________.(填序號(hào))
 13.若，，是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量，則.14.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD,E為PD的中點(diǎn)，，.試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求平面ACE的一個(gè)法向量.
 15.如圖所示,在直三棱柱中,為的中點(diǎn),證明:平面平面.


 
答案以及解析1.答案：D解析：設(shè)平面ABCD的法向量為，則，即，，取，則，這個(gè)四棱錐的高.故選：D.2.答案：B解析：對(duì)于選項(xiàng)A，，則，故排除A；對(duì)于選項(xiàng)B，，則；對(duì)于選項(xiàng)C，，則，故排除C；對(duì)于選項(xiàng)D，，則，故排除D；故選：B.3.答案：C解析：直線的方向向量是，平面的法向量是，，，l與的位置關(guān)系為或.4.答案：A解析：.由為平面的法向量,得,即,解得.5.答案：A解析：設(shè)平面ABC的法向量，由，，得所以令，解得所以，故選A.6.答案：A解析：因?yàn)?/span>，所以，由，得，，，.故選A.7.答案：D解析：設(shè)平面的法向量為，對(duì)于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng),由于，，且向量，不共線，故D選項(xiàng)正確.故選D.8.答案：ABC解析：，，，A對(duì)；，，，B對(duì)；，，，平面ABCD，是平面ABCD的一個(gè)法向量，C對(duì)；，設(shè)，即方程組無(wú)解，D錯(cuò).故選ABC.9.答案：ABC解析：選項(xiàng)A,B,C的命題顯然正確.對(duì)于D選項(xiàng),只有當(dāng)不共線時(shí),才能得出結(jié)論.依據(jù)是線面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直.10.答案：ACD解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則.所以.設(shè)向量是平面的法向量,則取,得,則是平面的一個(gè)法向量.結(jié)合其他選項(xiàng),檢驗(yàn)可知只有B選項(xiàng)是平面的法向量.11.答案：或解析：據(jù)題意，得，.設(shè)，n與平面ABC垂直，即可得，，解得或.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.12.答案：①解析：連接AC,BD交于點(diǎn)O.由題意可知①，②，③，④.又易知是底面ABCD的一個(gè)法向量，所以②③④均為底面ABCD的法向量.不能作為底面ABCD的法向量.13.答案：（答案不唯一）解析：由題意，知.因?yàn)?/span>a為平面的法向量，所以,即，所以，所以.14.答案：因?yàn)?/span>平面ABCD，底面ABCD為矩形，
所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Axyz，

則，
所以.
設(shè)為平面ACE的法向量，
則，即，所以，
令，則，
所以平面ACE的一個(gè)法向量為.解析：15.答案：由題意得兩兩垂直,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.可得,則.設(shè)平面的法向量為,則即令,得.設(shè)平面的法向量為,則即令,得.平面平面.



 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.2.2 空間中的平面與空間向量

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