一、單選題
1．“”是“直線和直線垂直”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】當(dāng)時，兩條直線的方程分別為和，斜率分別為，
因為，所以這兩直線垂直；
當(dāng)直線和直線垂直時，，解得；
故“”是“直線和直線垂直”的充分不必要條件.
故選：A.
2．《易經(jīng)》是中國文化中的精髓，如圖，這是易經(jīng)八卦圖（含乾?坤?巽?震?坎?離?艮?兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽線，稱為陽爻，表示一根陰線，稱為陰爻），從八卦中任取一卦，則卦中陽爻比陰爻多的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由古典概型即可求得陽爻比陰爻多的概率.
【詳解】因為陽爻比陰爻多的卦有4個，所以所求概率為.
故選：B
3．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】借助直線斜率與傾斜角的關(guān)系以及誘導(dǎo)公式即可得.
【詳解】因為直線的斜率為，
而，
所以直線的傾斜角為.
故選：D.
4．已知光線從點射出，經(jīng)直線反射，且反射光線過點，則入射光線所在直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先求出關(guān)于直線的對稱點，再求出與所在的直線方程即為入射光線所在直線的方程.
【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則解得即.
所以人射光線所在直線的方程為，即.
故選：A
5．已知點，，，則點到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】先算出直線的方向向量，再借助空間向量計算即可得.
【詳解】設(shè)點到直線的距離為，因為，，
所以，故.
故選：B.
6．在三棱錐中，已知平面分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.
【詳解】以為原點，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)異面直線與所成角的大小為，則.
故選：C.
7．直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】曲線表示的是一個以原點為圓心，3為半徑的左半圓，直線的斜率為1，作出圖形，由圖形確定直線與曲線有兩個公共點時的條件.
【詳解】方程，即，表示的是一個以原點為圓心，3為半徑的左半圓，
直線的斜率為1，連接和，
要使直線與該半圓有兩個交點，直線必在以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切（不含相切），則可求出直線的兩個臨界位置對應(yīng)的的值.
當(dāng)直線與重合時，，
當(dāng)直線與半圓相切時，圓心到的距離3，即，
解得或（舍去）.
所以的取值范圍是）.
故選：D
8．已知甲袋中有4個白球?個紅球，乙袋中有2個白球?4個紅球，各個球的大小與質(zhì)地相同.現(xiàn)從甲?乙兩袋中依次不放回地各取2個球，若從甲袋中取出的2個球的顏色不相同與從乙袋中取出的2個球的顏色不相同的概率相等，則（ ）
A．2B．4C．6或2D．8或4
【答案】C
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式列式計算可得解.
【詳解】設(shè)事件為“從甲袋中取出的2個球的顏色不相同”，事件為“從乙袋中取出的2個球的顏色不相同”，
則，
所以，解得或.
故選：C.
二、多選題
9．已知是空間中不共面的三個向量，則下列向量能構(gòu)成空間的一個基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)空間向量的基底向量的定義結(jié)合共面向量的定義逐項分析判斷.
【詳解】對于選項：因為，
所以三個向量共面，
故不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；
對于選項：因為，
所以三個向量共面，
故不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤；
因為是空間中不共面的三個向量，
對于選項B：設(shè)，顯然不存在實數(shù)使得該式成立，
所以不共面，可以作為基底向量，故B正確；
對于選項C：設(shè)，
則，方程無解，即不存在實數(shù)使得該式成立，
所以不共面，可以作為基底向量，故C正確；
故選：BC.
10．對于一個古典概型的樣本空間和事件，若，則（ ）
A．事件與事件互斥B．
C．事件與事件相互獨立D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)已知條件計算，判斷B選項，再根據(jù)判斷C選項，通過計算D選項，通過判斷C選項.
【詳解】因為，，，
所以，又，則，所以，B正確；
因為，所以事件與事件相互獨立，C正確；
所以，D正確；
因為，所以事件與事件不是互斥事件，A錯誤.
故選：BCD
11．下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過點
B．經(jīng)過點，且在軸上截距相等的直線方程為
C．已知，點在軸上，則的最小值是5
D．若直線過點，且與軸的正半軸分別交于兩點，為坐標(biāo)原點，則面積的最小值為12
【答案】ACD
【分析】對于，將直線化簡，列出方程，求得定點；對于B，設(shè)出直線方程根據(jù)截距相等列出方程，求解即可；對于C，找對稱點進(jìn)行轉(zhuǎn)化；對于D，設(shè)出直線方程，把三角形的面積表示出來，求最值即可.
【詳解】對于，整理，得，
令，解得所以直線恒過點，故正確.
對于，可知所求直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則它的方程為.
令，得，即該直線在軸上的截距為；
令，得，即該直線在軸上的截距為.
因為該直線在軸上的截距相等，所以，解得，
所以所求直線的方程為或，B錯誤.
對于C，點關(guān)于軸的對稱點為，連接交軸于點，點是軸上任意一點，連接，
于是，
當(dāng)且僅當(dāng)點與重合時，等號成立，
因此，C正確.
對于D，直線與軸的正半軸分別交于兩點，可知直線的斜率為負(fù)數(shù)，
設(shè)直線，
令，得，令，得，可知，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以面積的最小值為12，D正確.
故選：ACD.
12．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點，分別在軸和軸上（不與原點重合），滿足，坐標(biāo)平面內(nèi)一點滿足，則（ ）
A．線段中點的軌跡方程為
B．動點的軌跡是一條線段
C．線段的中點到直線的最大距離是
D．動點到直線的最大距離是6
【答案】AD
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，判斷線段的中點軌跡，再求其方程，判斷A；根據(jù)圓的定義方式，判斷B；在根據(jù)圓上的點到直線的距離，數(shù)形結(jié)合，判斷CD.
【詳解】因為是直角三角形，，所以可設(shè)的中點是，
則，即點在圓上，A正確.
又，所以點在以為直徑的圓上，圓心為D，錯誤.
又原點到直線的距離，
所以點到直線的最大距離為4，
從而點到直線的最大距離為錯誤，D正確.
故選：AD
三、填空題
13．已知直線與圓相交于兩點，則 .
【答案】4
【分析】利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再用直線與圓相交的弦長公式即得.
【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，因為，所以.
故答案為：4.
14．某車企為了更好地設(shè)計開發(fā)新車型，統(tǒng)計了近期購車的車主性別與購車種類（新能源車或者燃油車）的情況，其中新能源車占銷售量的，男性占近期購車車主總數(shù)的，女性購車車主有購買了新能源車，根據(jù)以上信息，則男性購車時，選擇購買新能源車的概率是 .
【答案】0.7/
【分析】根據(jù)題意，由全概率公式將購買新能源的分為男性購買新能源和女性購買新能源列出關(guān)系求解即可.
【詳解】設(shè)男性中有購買了新能源車，則，解得，
所以男性購車時，選擇購買新能源車的概率是0.7.
故答案為：0.7
15．寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程： .
【答案】（或，填一條即可）
【分析】先判斷出圓與圓相交，作出圖象，結(jié)合圖象可得一條公切線方程為，另一條公切線與直線關(guān)于直線對稱，用點斜式設(shè)出另一條直線，則有，求解即可.
【詳解】解：由已知得到兩圓的圓心分別為,半徑分別為.
因為，所以5，圓與圓相交，
則圓與圓的公切線有兩條，
如圖所示：
根據(jù)圖象可以直接觀察出一條公切線方程為，
直線的方程為，
根據(jù)圖形的對稱性知另一條公切線與直線關(guān)于直線對稱.
易知直線與直線的交點為，
設(shè)另一條公切線的方程為，
即，原點到其距離為，
所以，則另一條公切線的方程為.
故答案為：（或，填一條即可）
16．在正四棱錐中，，過作平面，交于，交于，交于，若，則 .
【答案】/
【分析】方法一：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計算，即可得到結(jié)果；方法二：根據(jù)題意，由空間向量基本定理，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（方法一）連接，并與交于，以為原點，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
因為為正四棱錐，且，則，
則，
則，，
故
，
設(shè)，
因為四點共面，所以，其中，
所以
，
則，解得，
所以.
（方法二）設(shè)，因為，
則，，
則.
因為，共面，所以，解得，
所以.
故答案為：
四、解答題
17．已知的頂點，線段的中點為，且.
(1)求的值；
(2)求邊上的中線所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式以及垂直滿足的斜率關(guān)系即可求解，
（2）根據(jù)中點公式以及斜率公式即可根據(jù)點斜式求解方程.
【詳解】（1）因為，所以的坐標(biāo)為，
因為，所以，
解得.
（2）設(shè)線段的中點為，由（1）知，則，
所以，
所以直線的方程為，化簡得，
即邊上的中線所在直線的方程為.
18．已知圓心為的圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)若直線與圓交于兩點，的面積是，求的值.
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）根據(jù)題意，求出的垂直平分線方程為，分析可得圓心為直線和的交點，聯(lián)立直線的方程可得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得答案；
（2）由題意直線恒過點，此點同時為圓與軸負(fù)半軸的交點，又圓心，求得，根據(jù)三角形面積可求得點的縱坐標(biāo)，可得點的坐標(biāo)，得解.
【詳解】（1）由題知，線段的中點為坐標(biāo)原點，因為直線的斜率不存在，所以線段的垂直平分線的方程是，
由題意可知，圓心也在線段的垂直平分線上，所以它的坐標(biāo)是方程組的解，解得即圓心的坐標(biāo)是.
又圓的半徑，
所以圓的方程為.
（2）由題意可知，直線恒過點，此點同時為圓與軸負(fù)半軸的交點.
又圓心，則，所以，
解得或.
所以滿足條件的點可以為或或或，
依次代入直線方程，得或或或.
五、應(yīng)用題
19．為普及法律知識，弘揚(yáng)憲法精神，某校教師舉行法律知識競賽.比賽共分為兩輪，即初賽和決賽，決賽通過后將代表學(xué)校參加市級比賽.在初賽中，已知甲教師晉級決賽的概率為，乙教師晉級決賽的概率為.若甲?乙能進(jìn)入決賽，在決賽中甲?乙兩人能勝出的概率分別為和.假設(shè)甲?乙初賽是否晉級和在決賽中能否勝出互不影響.
(1)若甲?乙有且只有一人能晉級決賽的概率為，求的值；
(2)在（1）的條件下，求甲?乙兩人中有且只有一人能參加市級比賽的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式可分別計算甲、乙贏得比賽的概率，可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)獨立事件概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)事件表示“甲在初賽中晉級”，事件表示“乙在初賽中晉級”，
由題意可知，，
解得.
（2）設(shè)事件為“甲?乙兩人中有且只有一人能參加市級比賽”，為“甲能參加市級比賽”，為“乙能參加市級比賽”，
則，
，
所以.
六、證明題
20．在直三棱柱中，已知分別為與的中點.
(1)證明：平面；
(2)若，求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)構(gòu)造面面平行證線面關(guān)系即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算線面夾角即可.
【詳解】（1）取的中點，連接.
因為是的中位線，所以，
因為平面，平面，從而平面.
同理，平面，平面，從而平面.
因為，平面，所以平面平面.
又因為平面，所以平面.
（2）易知兩兩垂直，以A為原點，分別以的方向為軸，軸，
軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
設(shè)，則，
，，
設(shè)向量是平面的法向量，則，
令，即.
設(shè)與平面所成的角為，則.
所以與平面所成的角的正弦值為.
七、解答題
21．已知圓經(jīng)過中的三點，且半徑最大.
(1)求圓的方程；
(2)過點的直線與圓交于兩點（在軸上方），在軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)出直線方程根據(jù)直線的斜率是否存在，結(jié)合直線斜率公式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系分類討論即可.
【詳解】（1）由坐標(biāo)可知： 三點共線，
由圖得直線垂直平分線段，
由圓的性質(zhì)可以判斷圓經(jīng)過三點時，符合要求.
所以圓心在的中垂線即軸上，設(shè)圓的方程為，
則解得
所以圓的方程為.
（2）設(shè)過點的直線方程為.
①當(dāng)時，直線的方程為，此時可為軸上的任意一點.
②當(dāng)時，聯(lián)立方程組消去得，
設(shè)，則.
因為軸平分，所以，即，
化簡得，即，
整理得.
所以對任意恒成立，
即恒成立，故，即.
綜上，存在點，符合題意.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用圓的幾何性質(zhì)確定圓，由軸平分，判斷是否恒成立.
22．在四棱錐中，已知底面是直角梯形，，平面平面，且.
(1)證明：平面平面；
(2)是否存在實數(shù)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，或
【分析】（1）先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系應(yīng)用法向量垂直證明面面垂直；
（2）應(yīng)用空間向量法求二面角余弦計算求參即可.
【詳解】（1）取的中點的中點，連接，因為，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
易知兩兩垂直.以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.
取的中點，連接.因為，所以.因為平面
平面，所以平面，從而.又，所以平面，易知為平面的一個法向量.
設(shè)平面的法向量為，因為，
所以即取，得
因為，所以平面平面.
（2）因為平面就是平面，其法向量可以取.可求得，.
設(shè)平面的法向量為，
所以
即取，得，
設(shè)平面與平面的夾角為，則
化簡得，解得或，即存在實數(shù)或，使得平面與平面的夾角的余弦值為.

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