一、單選題
1．直線(xiàn)的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將直線(xiàn)一般式化為斜截式，利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.
【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)，可化為，
所以直線(xiàn)的斜率為（其中為直線(xiàn)的傾斜角），
又，所以.
故選：C.
2．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)，， ，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算、三角形的中位線(xiàn)及線(xiàn)段中點(diǎn)的向量表示進(jìn)行化簡(jiǎn)求解.
【詳解】如圖，連接，
因?yàn)辄c(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以
.
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，
所以，
則.
故選：D.
3．已知雙曲線(xiàn)：的一條漸近線(xiàn)方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)及焦點(diǎn)坐標(biāo)得到方程組，解得、，即可得解.
【詳解】解：橢圓的焦點(diǎn)為，
又雙曲線(xiàn)：的一條漸近線(xiàn)方程為，
所以，解得，所以雙曲線(xiàn)方程為.
故選：C
4．已知點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．13B．16C．17D．18
【答案】B
【分析】求出點(diǎn)所在圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓，將距離等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，根據(jù)三角形中任意兩邊之差小于第三邊的關(guān)系即可解決本題.
【詳解】
設(shè)直線(xiàn)：，圓，圓，
易知點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，以為圓心，以1為半徑的圓即為圓關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圓.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則有，
∴，
如圖，連接，
在中，有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得等號(hào)，
故求解的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求最大值問(wèn)題，
故當(dāng)直線(xiàn)過(guò)圓心和圓心且距離最遠(yuǎn)且點(diǎn)恰好為直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)可取得最大值.
由題意知點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，，兩圓半徑分別為1和2，
故最大值為：.
故選：B.
5．點(diǎn)F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)C：的左頂點(diǎn)，直線(xiàn)AF平行于雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)，則實(shí)數(shù)b的值為（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】由題可得坐標(biāo)，根據(jù)可得答案.
【詳解】由題，，則.因直線(xiàn)AF平行于雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)，則.
故選：B
6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比，利用求出，再由即可求出.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為．
由，得，
解得，
又
得．
故選：A
7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．578B．579
C．580D．581
【答案】B
【分析】由的關(guān)系得出通項(xiàng)公式，再討論，兩種情況，結(jié)合求和公式得出.
【詳解】當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，不成立.
故得到.
令，則，解得，且，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
故：，.
故選：B.
8．如圖，在正三棱柱中，若，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】取的中點(diǎn)，則，
以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以在上的投影的長(zhǎng)度為，
故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．

故選：B.
9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與的兩條漸近線(xiàn)分別交于與原點(diǎn)不重合的兩點(diǎn)，，若，則四邊形的面積為（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】B
【分析】結(jié)合雙曲線(xiàn)圖像對(duì)稱(chēng)性，可得軸，根據(jù)圓的性質(zhì)和雙曲線(xiàn)，，的關(guān)系可計(jì)算出，，，的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出四邊形的面積.
【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知軸，，，
又因?yàn)?，所以，即?br>所以，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所在的漸近線(xiàn)方程為，
點(diǎn)到漸近線(xiàn)距離為，
所以，
所以，，則，
所以，
故選：B
二、填空題
10．已知向量，，，且，則 .
【答案】18
【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列方程組求解參數(shù)，即可得結(jié)論.
【詳解】由題意得，
因?yàn)?，所以，得，，所?
故答案為：.
11．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn) 到其焦點(diǎn)的距離為 5，則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)上一點(diǎn) 到其焦點(diǎn)的距離為 5，利用拋物線(xiàn)的定義，由求解.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn) 到其焦點(diǎn)的距離為 5，
所以，
解得，
所以該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，
故答案為：
12．等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是與，且，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，得到，代入即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得，
又由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，而，
所以.
故答案為：
13．已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)l的斜率為 ；
【答案】
【分析】由橢圓離心率和關(guān)系可得關(guān)系，再由點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)的斜率公式可得所求值.
【詳解】由題意可得，整理可得，
設(shè)，
則，
兩式相減可得，
的中點(diǎn)為，，
則直線(xiàn)斜率.
故答案為：.
14．若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】作出圖形，考查直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)以及直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切時(shí)實(shí)數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由，可得，整理可得，
即，其中，
故曲線(xiàn)表示圓的下半圓，
作出直線(xiàn)與曲線(xiàn)的圖形如下圖所示：
當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切時(shí)，，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.
由題意,可得，且，解得，
結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，
因此b的取值范圍為.
故答案為：.
15．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿(mǎn)足，其中．則使不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立的最大實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】/0.75
【分析】先通過(guò)遞推公式求出的通項(xiàng)公式，代入求出的通項(xiàng)公式，最后代入轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，研究新數(shù)列的單調(diào)性即可求出最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，即，
兩邊同除可得，
又因?yàn)闀r(shí)，所以，
所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
即，
所以，
代入不等式可得，
即，
令，則，
所以
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以恒成立，即為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，
所以，即的最大值為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列的恒成立問(wèn)題往往需要研究數(shù)列的單調(diào)性，一般通過(guò)作差法來(lái)判斷單調(diào)性.
三、問(wèn)答題
16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且圓與直線(xiàn)相切于點(diǎn).
(1)求圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線(xiàn)的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心所在直線(xiàn)，解方程組求得圓心坐標(biāo)，繼而求得半徑，即可求得圓的方程；
（2）討論直線(xiàn)l的斜率是否存在，存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離的表達(dá)式，根據(jù)弦長(zhǎng)列式計(jì)算，求得斜率，即可得答案.
【詳解】（1）由題意得圓心在過(guò)點(diǎn)和直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上，
該直線(xiàn)方程為，即，
聯(lián)立，解得，即圓心為，
半徑為，
故圓M方程為；
（2）由于，故在圓M外，
過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，
若直線(xiàn)l斜率不存在，則方程為，
圓心到l的距離為，則弦長(zhǎng)為，符合題意；
當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，
則圓心到l的距離為，
由于直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2，故，
解得，故直線(xiàn)l的方程為,
綜合得直線(xiàn)的方程為或.
四、證明題
17．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，平面，且，點(diǎn)在棱上（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為中點(diǎn).
(1)若，求證：直線(xiàn)平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值；
(3)是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解
(2)
(3)存在，，理由見(jiàn)詳解.
【分析】(1) 取的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，利用平行的傳遞性得到，進(jìn)而得到四邊形為平行四邊形，則，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可求解；
(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入向量的夾角公式即可求解；
(3)假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)（2）中平面的法向量以及題中與平面所成角的正弦值為，求出即可求解.
【詳解】（1）取的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，所以?
又因?yàn)?，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，
所以且，則四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，所以直線(xiàn)平面.
（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，又為的中點(diǎn)，則，
所以，,
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，
所以，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
（3）存在，.
假設(shè)存在點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，設(shè)，即，，
由（2）得，且平面的法向量，
，則，
所以，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，
則，
整理得：，解得：或（舍去），
故存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為，此時(shí).
五、問(wèn)答題
18．設(shè)是等比數(shù)列的公比大于，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，已知，，，.
(1)求，的通項(xiàng)公式
(2)設(shè)，求 ；
(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和；
（3）利用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】（1）設(shè)的公比為，
因?yàn)?，所以，即，解得或（舍）?br>所以，
設(shè)的公差為，
因?yàn)椋?，所以，?br>所以，解得，所以.
（2）由（1）可得，，
所以，
，
所以，
所以.
（3），
所以
.
19．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線(xiàn)與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線(xiàn)段的中點(diǎn)．求直線(xiàn)的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助，即可求出橢圓的方程；
（Ⅱ）利用直線(xiàn)與圓相切，得到，設(shè)出直線(xiàn)的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)，求出直線(xiàn)的斜率，從而得解.
【詳解】（Ⅰ）橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，
，
由，得，
又由，得，
所以，橢圓的方程為；
（Ⅱ）直線(xiàn)與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，所以，
根據(jù)題意可知，直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率均存在，
設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，即，
，消去，可得，解得或.
將代入，得，
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，直線(xiàn)的斜率為，
又因?yàn)?，所以?br>整理得，解得或.
所以，直線(xiàn)的方程為或.
【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及直線(xiàn)垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要想到聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程.
六、證明題
20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿(mǎn)足.數(shù)列滿(mǎn)足，且満足
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足；求
(3)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由與的遞推關(guān)系得出為等比數(shù)列求解，由為等差數(shù)列求通項(xiàng)公式；
（2）分是奇數(shù)、偶數(shù)，分組求和即可得解；
（3）利用放縮法及裂項(xiàng)相消求和證明即可.
【詳解】（1），時(shí)，
時(shí)，，
，即，
是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，
由題可知，是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
，.
（2），
(i) n為偶數(shù)時(shí)，
，
(ii) n為奇數(shù)時(shí)，
，
（3），
，
(i)右式證明：，
(ii)左式證明：
綜上得證.

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