一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．“a，b，c成等比數(shù)列”是“，，成等比數(shù)列”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3．某校隨機抽取了400名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是( )
A.直方圖中x的值為0.040
B.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間的學(xué)生數(shù)為30人
C.估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?4分
D.估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分
4．函數(shù)的部分圖象可能是( )
A.B.
C.D.
5．設(shè)，，，則( )
A.B.C.D.
6．在平面直角坐標系中，雙曲線的左右焦點分別為,，過且垂直于x軸的直線與C相交于P,Q兩點，與y軸的交點為R，，則C的離心率為( )
A.B.C.2D.
7．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個點A，B，C，D，四面體的體積為，BD經(jīng)過該鞠的中心，且，，則該鞠的表面積為( )
A.B.C.D.
8．設(shè)函數(shù)，若時，的最小值為.則下列選項正確的是( )
A.函數(shù)的周期為
B.將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)
C.當，的值域為
D.方程在區(qū)間上的根的個數(shù)共有6個
9．已知中，，，，，，則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、填空題
10．若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則實數(shù)a的值為________.
11．的展開式中項的系數(shù)為________.
12．已知圓C的圓心坐標是，若直線與圓C相切于點，則圓C的標準方程為________.
13．已知正實數(shù)m，n，滿足，則的最小值為________.
14．已知奇函數(shù)，有三個零點，則t的取值范圍為________.
三、雙空題
15．甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出1球放入乙箱中，分別以、、表示由甲箱中取出的是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則_______；若隨機從甲箱中取出3個球，設(shè)取到紅球個數(shù)為隨機變量X，則X的數(shù)學(xué)期望為________.
四、解答題
16．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）求角A的大??；
（2）若的面積，.
①求的值；
②求.
17．如圖，已知SA垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點F，G為SB的中點，，.
（1）求證：平面；
（2）求面與面夾角的正弦值；
（3）在線段EG上是否存在一點H，使得BH與平面所成角的大小為？若存在，求出GH的長；若不存在，說明理由.
18．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，短軸長為
（1）求橢圓C的標準方程
（2）直線與橢圓C交于P、Q兩點，A，B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動點，且直線AB的斜率為
①求四邊形的面積的最大值
②設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說明理由.
19．已知數(shù)列的前n項和為，，是與的等差中項.
（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；
（2）設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求t的取值范圍；
（3）設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，求證：.
20．已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，求使恒成立的最大偶數(shù)a.
（3）已知當時，總成立.令，若在的圖像上有一點列，若直線的斜率為，求證：.
參考答案
1．答案：C
解析：，，
.
故選：C.
2．答案：A
解析：若a，b，c成等比數(shù)列，則，
此時，則，，成等比數(shù)列，即充分性成立，
反之當，，時滿足，，成等比數(shù)列，但a，b，c不成等比數(shù)列，即必要性不成立，
即“a，b，c成等比數(shù)列”是“，，成等比數(shù)列”的充分不必要條件，
故選：A.
3．答案：C
解析：定義A：根據(jù)學(xué)生的成績都在50分至100分之間的頻率和為1，可得，解得，所以A錯；
對于B：在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間的學(xué)生數(shù)為(人)，所以B錯；
對于C：估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?分)，所以C對；
對于D：全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為(分).
所以D錯.
故選：C
4．答案：A
解析：，舍去B，，舍去D，
時，，
，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故選：A.
5．答案：C
解析：，
，，
因為，所以，，則，即，
因此，.
故選：C.
6．答案：B
解析：由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)P在x軸的上方，
因為過且垂直于x軸，故,，
所以直線，整理得到，故.
因為，故，整理得到，
所以即，故.
故選：B.
7．答案：D
解析：如圖，取AC的中點M，連接BM與球O交于另一點N，連接OM，DN，
易知AC為圓面的直徑，平面，
因為O，M分別為BD，BN的中點，所以，
所以平面，
，，
即，在中，，
，，球O的表面積為.
故選：D.
8．答案：D
解析：A選項，時，的最小值為，可得的最小正周期為，故A錯誤；
B選項，由A可知，.則將函數(shù)的圖像向左平移個單位，則得到的解析式為，則得到的函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯誤；
C選項，當時，，因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故C錯誤；
D選項，時，，則當時，，則在區(qū)間上的根的個數(shù)共有6個，故D正確.
故選：D
9．答案：D
解析：由，結(jié)合向量加法法則知：A到的距離為2，
又，則，所以，故為等腰直角三角形，
由，則，所以P,B,C共線，
又，則,，若D,E為的兩個四等分點，N為中點，如下圖示，
所以P在線段上運動，且，，，
由圖：若，則，又，此時，
故上述情況，易知，
由圖知：P與E重合時，，
綜上，的取值范圍為.
故選：D
10．答案：
解析：，
z為實數(shù)，，解得：.
故答案為：.
11．答案：2
解析：因，只需要求的展開式中含,項的系數(shù).
又的展開式的通項為，
則含,項的系數(shù)分別是，，
的展開式中項的系數(shù)為.
故答案為：2.
12．答案：
解析：因為圓心坐標為，直線與圓C相切于點
根據(jù)圓心和切點的連線與直線垂直，所以，解得，
根據(jù)兩點間的距離公式，可得圓C的半徑
故圓C的標準方程為.
故答案為：
13．答案：
解析：，構(gòu)造函數(shù)，則，即在上單調(diào)遞增，
則.則，
當且僅當，即,時取等號.
故答案為：.
14．答案：
解析：若，，函數(shù)沒有三個零點，所以，
為奇函數(shù)，則，即，
得，
設(shè)，函數(shù)定義域為R，，為偶函數(shù)，
，是R上的增函數(shù)，且，
則，解得；，解得，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，由，則有，
所以，，
由，當且僅當時等號成立，則，
若，則，單調(diào)遞減，沒有三個零點；
若，令，則方程，即，
判別式，方程有兩個不相等實數(shù)根，設(shè)兩根為,且，則有，，所以，
令，，由，則且，
，即，即，解得，得；
，即，即，解得或，得或，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，則有，，
由函數(shù)的單調(diào)性和遞增速度可知，時，存在，的圖像如圖所示，
此時奇函數(shù)有三個零點.
綜上可知，t的取值范圍為.
故答案為：
15．答案：;/
解析：由題意可得、、是兩兩互斥的事件，,,，
若從甲箱中隨機取出1紅球放入乙箱中，則此時乙箱中有11個球，且其中5個是紅球，所以，同理可得，
所以
，
題意可得X的取值可能為0，1，2，3，則
，
，
，
，
所以,
故答案為：，
16．答案：（1）；
（2）①；②
解析：（1）因為，，
可得：，解得：或，
三角形為銳角三角形，，.
（2）①，可得，
又，可得：，
在中，由余弦定理得，，
，
在中，由正弦定理可得：.
②由余弦定理得：，
，，
.
17．答案：（1）證明見解析；
（2）；
（3）
解析：（1）證明：連接FG如圖，在中，F(xiàn)、G分別為SD、SB的中點，
所以.
又因為平面，平面，平面.
（2）因為平面，平面，
所以，.
又，所以.
以，，為正交基底建立如下圖所示的空間直角坐標系.
則，，，，
，，.
則，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，解得，.
所以平面的一個法向量為，
又平面的一個法向量為，
所以，，
所以面與面夾角正弦值為.
（3）假設(shè)存在點H，設(shè)，，
則.
由（2）知，平面的一個法向量為.
則，
即，所以.
故存在滿足題意的點H，此時
18．答案：（1）；
（2）①，②是常數(shù)，理由見解析.
解析：（1）設(shè)橢圓C的方程為.
由題意可得，解得，
所以橢圓C的標準方程為；
（2）①由（1）可求得點P、Q的坐標為，，則，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立，整理得：，
由，可得.
由韋達定理知：，，
四邊形的面積，
故當時，；
②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，
則
.
所以的值為常數(shù)0.
19．答案：（1）證明見解析，；
（2）；
（3）證明見解析
解析：（1）證明：是與的等差中項，
①，
于是有②，
①②，即，
，
又，，，
，，
，即有，
又，，
是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以，.
（2）由（1）可知，，
，，
所以，
是遞增數(shù)列，，，
當n是奇數(shù)時，,，即恒成立，
數(shù)列單調(diào)遞增，，
當n是偶數(shù)時，,，即恒成立
數(shù)列單調(diào)遞減，，
綜上，t的取值范圍是.
（3），，
即，
當時，
.
，，
當時，，綜上所述，.
20．答案：（1）；
（2）；
（3）證明見解析.
解析：（1）當時，，，
所以，曲線在點處切線的斜率為，
所以切線方程為.
（2）當時，使等價于，
令，所以，
令，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
又因為，，
所以在上，使，即，
當時，，；
當時，，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
因為，所以，
所以，且，
所以使恒成立的最大偶數(shù)為.
（3）時，，
，
令，則，
令，則，單調(diào)遞增，
又，所以，當時，，單調(diào)遞增，
又，所以，當時，，
即，則，
，
.

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