一、填空題
1．已知數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為 .
【答案】，答案不唯一
【分析】通過觀察數(shù)列的規(guī)律求得正確答案.
【詳解】通過觀察可知，該數(shù)列的絕對值是，即奇數(shù)列，
所以.
故答案為：，答案不唯一
2．計算 .
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得正確答案.
【詳解】.
故答案為：
3．若方程的圖形是雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn)求解.
【詳解】由于 是雙曲線方程， ；
故答案為：
4．在等差數(shù)列中，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)由可得：，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
因?yàn)?，由等差?shù)列的性質(zhì)可得：，
又，所以，
故答案為：.
5．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的第2023項(xiàng)為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可通過計算前面，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，進(jìn)而由周期性即可求解.
【詳解】由已知可得，
所以數(shù)列為周期數(shù)列，且，
所以，
故答案為：
6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第 項(xiàng).
【答案】
【分析】通過列舉法進(jìn)行觀察，然后利用差比較法比較求得正確答案.
【詳解】依題意，，
則，
當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng).
故答案為：
7．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有這樣一道題：把個面包分成份，使每份的面包數(shù)成等差數(shù)列，且較多的三份面包數(shù)之和恰好是較少的兩份面包數(shù)之和的倍，則最少的那份面包數(shù)是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前五項(xiàng)和為，且后三項(xiàng)和是前兩項(xiàng)和的倍，
列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)份面包數(shù)按照從小到大的順序排列分別為，
它們組成以為公差的等差數(shù)列，
則，
又，可得
聯(lián)立解得，即最少的那份面包數(shù)是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.
等差數(shù)列基本量的運(yùn)算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量一般可以“知二求三”，
通過列方程組所求問題可以迎刃而解.
8．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 .
【答案】
【分析】先判斷出是等比數(shù)列，求得公比，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得正確答案.
【詳解】依題意，正項(xiàng)數(shù)列滿足，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，，
由得，
由于，所以，
由于，所以解得，
所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
故答案為：
9．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是平面上兩點(diǎn)，|F1F2|＝10，圖中的一系列圓是圓心分別為F1，F(xiàn)2的兩組同心圓，每組同心圓的半徑依次是1，2，3，…，點(diǎn)A，B，C分別是其中兩圓的公共點(diǎn)．請寫出一個圓錐曲線的離心率的值為 ，使得此圓錐曲線可以同時滿足：
①以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)；
②恰經(jīng)過A，B，C中的兩點(diǎn)．
【答案】5（或）（答案不唯一）
【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合圓錐曲線的定義，分過A，C兩點(diǎn)和過B，C兩點(diǎn)兩種情況求解即可
【詳解】因?yàn)椋?br>若過A，C兩點(diǎn)，則由題意得，
此時離心率．
若過B，C兩點(diǎn)，則由題意得，
此時離心率．
故答案為：5（或）（答案不唯一）
10．已知數(shù)列滿足，若滿足且對任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.
【詳解】由題意數(shù)列的通項(xiàng)公式為，,滿足
，且對任意的恒成立，
當(dāng)時，顯然不合題意，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得，解得
，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
11．在數(shù)列中，，，，，，，則 ．
【答案】2
【分析】由遞推公式化簡，由裂項(xiàng)相消法與累乘法求解，
【詳解】由得，
且，則，
故，
，
而，故，
故答案為：2
12．對于一個有窮正整數(shù)數(shù)列，設(shè)其各項(xiàng)為，，...，，各項(xiàng)和為，集合中元素的個數(shù)為，對所有滿足的數(shù)列，則的最大值為 .
【答案】1250
【分析】根據(jù)給定條件，分五步證明對所有滿足的數(shù)列，求出的最大值作答.
【詳解】①存在大于1的項(xiàng)，否則此時有；
②，否則將拆分成個1后變大；
③當(dāng)時，有，否則交換順序后變?yōu)椋?br>進(jìn)一步有，否則有，此時將改為，并在數(shù)列末尾添加一項(xiàng)1，此時變大；
④各項(xiàng)只能為2或1，否則由①②③可得數(shù)列中有存在相鄰的兩項(xiàng)，
設(shè)此時中有項(xiàng)為2，則將改為2，并在數(shù)列末尾添加一項(xiàng)1后，
的值至少變?yōu)椋?br>⑤由上可得數(shù)列為的形式，設(shè)其中有項(xiàng)為2，有項(xiàng)為1，
則有，從而有，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，最大為1250.
故答案為：1250
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.
二、單選題
13．我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”描述的問題是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則（ ）天后兩鼠相遇.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由題意得等比數(shù)列的前項(xiàng)和列不等式，然后再由，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判斷得出答案.
【詳解】設(shè)天后能打穿，則，化簡為，
令，則，又因?yàn)橛蓮?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
所以至少需要天.
故選：C.
14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，已知，，則下面結(jié)論錯誤的是（ ）
A．，B．
C．與均為的最大值D．
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式代入，再聯(lián)立方程可解.
【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，，
，即，
，即，.
等差數(shù)列的前項(xiàng)為正數(shù)，從第項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，則，．
為的最大值．
故A，B，D正確，錯誤的是C．
故選：C.
【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的求和公式，此題公差為負(fù)數(shù)，為遞減的等差數(shù)列.
等差數(shù)列求和公式：.
15．已知拋物線E：，圓F：，直線l：（t為實(shí)數(shù)）與拋物線E交于點(diǎn)A，與圓F交于B，C兩點(diǎn)，且點(diǎn)B位于點(diǎn)C的右側(cè)，則△FAB的周長可能為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】先判斷出拋物線焦點(diǎn)和圓心重合，由拋物線定義得，又，可得△FAB的周長為，又知，即可求解.
【詳解】
由題意知：拋物線焦點(diǎn)恰為圓心，拋物線準(zhǔn)線，圓半徑為2，可得圓與相切，設(shè)直線l：與準(zhǔn)線交于，
由拋物線定義知：，又，故△FAB的周長為，
由圖知，故，結(jié)合選項(xiàng)知：△FAB的周長可能為5.
故選：B.
16．已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮數(shù)列，且，對任意與有且僅有一個成立，則的最小值為（ ）
A．18B．20C．21D．22
【答案】B
【分析】利用列舉法，根據(jù)遞推關(guān)系以及“”取最小值，結(jié)合分類討論來求得正確答案.
【詳解】當(dāng)時，若成立，則，
要使最小，則需當(dāng)時，成立，
且，此時，當(dāng)時，顯然成立，
同理時，當(dāng)成立，且，此時，
則.
當(dāng)且成立時，即，要使最小，
則，此時，當(dāng)時，成立，
同理，當(dāng)成立，且，此時.
當(dāng)時，顯然成立.當(dāng)時，成立，
則，若成立，則，
要使最小，則，
此時.
綜上所述，的最小值為.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì).通過遞推關(guān)系式，我們可以推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而了解數(shù)列的規(guī)律和特征.比如，等差數(shù)列的遞推公式可以告訴我們數(shù)列中任意一項(xiàng)的值，而等比數(shù)列的遞推公式則可以告訴我們數(shù)列中任意一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值.通過這些信息，我們可以更好地理解數(shù)列的性質(zhì)，并對其進(jìn)行分類和比較.
三、解答題
17．己知雙曲線的一條漸近線為，且雙曲線的虛軸長為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)記為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.
（2）先求得直線的方程并與雙曲線的方程聯(lián)立，由此求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的面積.
【詳解】（1）雙曲線的一條漸近線為，
所以，虛軸長，所以，
所以雙曲線的方程為.
（2）直線的方程為，
由消去并化簡得，
解得，
所以由解得，
所以.
四、應(yīng)用題
18．銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后將利息并入本金，這種計算利息的方法叫做復(fù)利.現(xiàn)用10000元購買某個理財產(chǎn)品一年.
(1)若以月利率的復(fù)利計息，12個月能獲得多少利息（精確到1元）？
(2)若以季度復(fù)利計息，存4個季度，則當(dāng)每季度利率至少為多少時，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到）？
參考數(shù)據(jù)：
【答案】(1)元
(2)當(dāng)每季度利率至少為時，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的知識求得正確答案.
（2）根據(jù)已知條件列不等式，由此求得正確答案.
【詳解】（1）個月后，本息和為，
個月后，本息和為，
以此類推，個月后，本息和為，
所以個月能獲得利息元.
（2）設(shè)按季結(jié)算的利率為，
個季度后，本息和為，
個季度后，本息和為，
以此類推，個季度后，本息和為，
所以個季度能獲得利息，
由，
得，即，
所以.
所以當(dāng)每季度利率至少為時，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息.
五、解答題
19．?dāng)?shù)列滿足，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列，并說明理由；
(2)若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求與.
【答案】(1)答案詳見解析
(2)，
【分析】（1）由化簡已知條件，對分類討論來求得正確答案.
（2）由（1）求得，由求得，對進(jìn)行分類討論，利用分組求和法求得.
【詳解】（1）依題意，，
則，
所以，
由于，
若，則，則，
此時不是等比數(shù)列.
若，則，
此時數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）若，由（1）的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
，當(dāng)時，，
所以，
，所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
所以，當(dāng)時，，
.
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以
，
所以.
20．給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”.若橢圓的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為.
(1)求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；
(2)若傾斜角為的直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，且與橢圓的“伴隨圓”相交于兩點(diǎn)，求弦的長；
(3)在橢圓的“伴隨圓”上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線，使得與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，且分別與橢圓的“伴隨圓”交于兩點(diǎn).證明：直線過原點(diǎn).
【答案】(1)橢圓的方程為，“伴隨圓”方程為
(2)
(3)證明詳見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡后利用判別式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的弦長的計算公式求得.
（3）通過證明來證得直線過原點(diǎn).
【詳解】（1）依題意，，所以，，
所以橢圓的方程為，“伴隨圓”方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，
由消去并化簡得，
由得，
圓心到直線的距離為，
所以.
（3）①當(dāng)、都有斜率時，設(shè)點(diǎn)，其中，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓相切，且斜率存在的直線的方程為，
聯(lián)立，消去得到，
即，，
整理可得，
設(shè)、的斜率分別為、，因?yàn)?、與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，
所以、是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，
因而，即⊥；
②當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，此時、分別與兩坐標(biāo)軸垂直，
則.
綜上所述，.
所以，所以是“伴隨圓”的直徑，過原點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定點(diǎn)問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個點(diǎn)與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)．
六、證明題
21．對于給定的正整數(shù)和實(shí)數(shù)，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)：①；②對，，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)對于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列同時具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在自然數(shù)，對任意的正整數(shù)，不等式均成立.
【答案】(1)5
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意得到當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，從而；（2）根據(jù)題干條件得到，故為常數(shù)列，結(jié)合求出；（3）對要證明的不等式變形，構(gòu)造，研究其性質(zhì)，證明出結(jié)論.
【詳解】（1）由題意得：，，則當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）由題意得：，，對于給定的正奇數(shù)，，對，，則令，，得：，，綜上：為常數(shù)列，由可得：
（3）要證，只需證，即證，令數(shù)列，由于具有性質(zhì)，即，對，，則，對，，所以具有性質(zhì)，令，設(shè)的最小值為，對，令，，由于具有性質(zhì)，則有，所以，
所以，所以成立
【點(diǎn)睛】本題數(shù)列不等式證明題目，要根據(jù)題干中條件對數(shù)列進(jìn)行變形，用到了構(gòu)造新數(shù)列，數(shù)論的基礎(chǔ)知識，對學(xué)生的邏輯思維能力要求較高.

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