一、單選題
1．經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直線的斜率，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，且，故.
故選：B.
2．已知等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前14項(xiàng)之和為（ ）
A．14B．28C．35D．70
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解.
【詳解】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，
所以，
所以，
則數(shù)列的前14項(xiàng)之和.
故選：C.
3．已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】對(duì)于AD：根據(jù)等比數(shù)列的定義分析判斷；對(duì)于BC：舉例說(shuō)明即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椴皇嵌ㄖ?，故A不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)BC：例如，則，
所以，均不是等比數(shù)列，故BC錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>且，
所以是等比數(shù)列，故D正確；
故選：D.
4．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】C
【分析】由已知圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，結(jié)合橢圓的定義求的最大值.
【詳解】因?yàn)闄E圓的方程為，所以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，由圓的幾何性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)為的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以，由橢圓的定義可得．
所以，
故選：C.
5．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為雙曲線（，）的一個(gè)焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩曲線交點(diǎn)的直線恰過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合拋物線和雙曲線的性質(zhì)，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入到雙曲線中，得到關(guān)于的一元二次方程，即可解出離心率.
【詳解】由題意，，因?yàn)閮汕€交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)，所以連線垂直于軸，
則其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，即為，
代入到雙曲線方程中，得，
則，，，，
解得，所以B正確.
故選：B
6．如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，l與y軸相交于E點(diǎn)．已知，記的面積為的面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別過(guò)點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足為，利用三角形相似結(jié)合拋物線的定義求解.
【詳解】解：拋物線C的準(zhǔn)線方程為，分別過(guò)點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足為，
則，
所以.
故選：C．
7．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時(shí).
所以在上單減，又，即.
所以可得,此時(shí)，
又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.
故選A.
點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時(shí)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).
8．設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】把不等式進(jìn)行變形，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性及不等關(guān)系得結(jié)論．
【詳解】由已知，，則．
設(shè)，則．
因?yàn)?，則．又，則，即，從而．
當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，即，
故選：B．
二、多選題
9．已知直線l過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，到l的距離相等，則l的方程可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】分直線l斜率存在和不存在進(jìn)行討論﹒當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，解方程即可求直線l的方程．
【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為5，點(diǎn)到直線的距離為1，此時(shí)不成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
∵點(diǎn)到直線的距離相等，
，解得，或，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得
綜上，直線的方程可能為或
故選：BC．
10．設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為
C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為
【答案】AD
【分析】由條件找到可判斷A正確，由A可求得的通項(xiàng)公式，利用分組求和可得D正確，由的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可確定CD錯(cuò)誤.
【詳解】
又
數(shù)列是首項(xiàng)公比都為的等比數(shù)列，故選項(xiàng)A正確.
又
所以數(shù)列的前和為，故選項(xiàng)D正確.
又因?yàn)椋?br>當(dāng)，
當(dāng)，，
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
所以數(shù)列不是等比數(shù)列.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
故選：AD
11．若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，
因此方程有兩個(gè)不等的正根，
于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.
故選：BCD
12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，則（ ）
A．的最小值為8
B．為定值
C．若直線與雙曲線相切，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為；
D．若直線經(jīng)過(guò)，且與雙曲線交于另一點(diǎn)，則的最小值為.
【答案】AB
【分析】設(shè)，由，可判定A正確；化簡(jiǎn)，可判定B正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，在化簡(jiǎn)，可判定C不正確；根據(jù)通經(jīng)長(zhǎng)和實(shí)軸長(zhǎng)，可判定D錯(cuò)誤.
【詳解】由題意，雙曲線，可得，則，
所以焦點(diǎn)，且，
設(shè)，則，且，即，
雙曲線的兩條漸近線的方程為，
對(duì)于A中，由，
所以A正確；
對(duì)于B中，
（定值），所以B正確；
對(duì)于C中，不妨設(shè)，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
若直線與雙曲線相切，則，
整理得，
聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為
所以C不正確；
對(duì)于D中，若點(diǎn)在雙曲線的右支上，則通經(jīng)最短，其中通經(jīng)長(zhǎng)為，
若點(diǎn)在雙曲線的左支上，則實(shí)軸最短，實(shí)軸長(zhǎng)為，所以D錯(cuò)誤.
故選：AB.
三、填空題
13．過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是 ．
【答案】或
【分析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由點(diǎn)斜式求出直線的方程．當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，把點(diǎn)代入可得的值，從而得到直線方程．綜合以上可得答案．
【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由于斜率為，故直線方程為，即．
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，把點(diǎn)代入可得，
故直線的方程為，
故答案為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求直線的方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．
14．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 ．
【答案】
【分析】由，可求出，即可求出雙曲線的漸近線方程.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，
，所以，所以，
雙曲線漸近線方程為：.
故答案為：
15．已知，若存在，使得，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】先討論、與1的大小關(guān)系確定、，進(jìn)而確定的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，則，，
又由，得，
所以，則；
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以不存在，使得；
③當(dāng)時(shí)，則，，
又由，得，
則，，
令，則在上單調(diào)遞增，
所以，則；
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
16．已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)恒成立．設(shè)的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，則n的最小值為 ．
【答案】21
【分析】根據(jù)題意分別得出數(shù)列的奇數(shù)、偶數(shù)項(xiàng)都為為公差為的等差數(shù)列，從而利用分組并項(xiàng)求和即可求解.
【詳解】由題意知，且當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，且，
所以得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，
則，所以可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成公差為的等差數(shù)列；
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且，
所以得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，
則，所以可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成公差為的等差數(shù)列；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，要使的值最小，即得的值需最大，
又因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即，解得：，即的最小值為；
所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，
解得：，又因?yàn)?，所以的最小值?
綜上所述：的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
17．已知直線經(jīng)過(guò)直線的交點(diǎn)．
(1)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線的方程;
(2)若直線與直線垂直，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）聯(lián)立方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程.
（2）根據(jù)直線垂直進(jìn)行解設(shè)方程，再利用交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由得，
即直線和的交點(diǎn)為．
直線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
的方程為，即．
（2）由直線與直線垂直，
可設(shè)它的方程為．
再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，解得，
故直線的方程為.
18．已知數(shù)列滿足：，且對(duì)于任意正整數(shù)n，均有．
(1)證明：為等差數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)
【分析】（1）將式子化簡(jiǎn)兩邊同時(shí)除以，可得可得出證明；
（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可求得.
【詳解】（1）證明：根據(jù)題意由可得，
所以可得，即為定值；
因此是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得，即；
所以，
可得，
所以，
兩式相減可得：
，
所以可得，
可得數(shù)列的前n項(xiàng)和.
19．已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且在x軸上的截距之和為2．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)圓M與圓C關(guān)于直線對(duì)稱，求過(guò)點(diǎn)且與圓M相切的直線方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓的一般式方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分直線的斜率存在與不存在討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，
令，可得，則，
將代入可得，，
解得，所以圓方程為，
即.
（2）圓C的圓心，圓的圓心與關(guān)于對(duì)稱，
∴設(shè)圓的圓心為
則，解得，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，則方程為，
此時(shí)圓心到直線的距離為，滿足題意；
若過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線斜率存在，
則設(shè)切線方程為，即，
則圓心到直線的距離為，解得，
所以切線方程為，即，
綜上，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.
20．己知函數(shù)．
(1)求曲線的斜率等于的切線方程；
(2)設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)斜率為可求得切點(diǎn)為，即可求出切線方程；
（2）求得切線方程解出和坐標(biāo)軸交點(diǎn)，寫出面積表達(dá)式并求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出其最小值.
【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>若，解得，則切點(diǎn)為；
所以切線方程為，即.
（2）易知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
切線方程為,
令，可得；令，可得；
所以可得，
則，
令可得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
所以在處取得極小值，也是最小值，即.
即可得的最小值為.
21．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓方程；
(2)點(diǎn)分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，探究直線的交點(diǎn)是否在一條定直線上，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由橢圓離心率可得，再將代入橢圓的方程可得，即可求出橢圓的方程；
（2）設(shè)，直線的方程為:，聯(lián)立直線和橢圓的方程求出兩根之積和兩根之和，設(shè)直線的方程和直線的方程，兩式聯(lián)立求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式，將兩根之積和兩根之和代入可證得交點(diǎn)在一條定直線上.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，即，
所以，所以，
又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，
所以，解得：，所以橢圓方程為.
（2）因?yàn)椋O(shè)，
直線的方程為:，
聯(lián)立方程，得，
得
則
直線的方程為： ，
直線的方程為：，
聯(lián)立兩直線方程消元：
法1：由解得：，
代入化簡(jiǎn)，
，
解得：，即直線的交點(diǎn)在定直線上.
法2：由韋達(dá)定理得代入化簡(jiǎn)
，得，
即直線的交點(diǎn)在定直線上.
法3：由，得
代入化簡(jiǎn)，得，
即直線的交點(diǎn)在定直線上.
法4： 代點(diǎn)進(jìn)橢圓方程得化簡(jiǎn)得
進(jìn)而得到，代入化簡(jiǎn)
轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理代入
，得，
即直線的交點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定直線問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量之間的關(guān)系，同時(shí)得到韋達(dá)定理的形式；
③利用韋達(dá)定理表示出已知的等量關(guān)系，化簡(jiǎn)整理得到所求定直線.
22．已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：存在極值點(diǎn)，并求的最小值.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)的正負(fù)判定函數(shù)的增減即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的分母正，需要分子有變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)變?yōu)殡p變量函數(shù)的恒成立和有解問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)再次確定新函數(shù)單調(diào)性和最值即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則
令，得；令，得；
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
（2）
令，因?yàn)椋?br>所以方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
又因?yàn)?，所以，令，列表如?
所以存在極值點(diǎn).所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得對(duì)任意的有解，
因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)，記，所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．
所以需要，即需要，
即需要，即需要
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以需要，
故的最小值是．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．

-
0
+
減
極小值
增

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2023-2024學(xué)年江蘇省南京市第一中學(xué)高一上學(xué)期12月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含答案：

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2023-2024學(xué)年江蘇省徐州市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年江蘇省徐州市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含解析），共18頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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