一、單選題
1．已知直線過點、，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先用斜率公式求得斜率，然后利用直線的傾斜角與斜率的關系即可求解.
【詳解】因為直線過點、，
所以直線斜率為.
設直線的傾斜角為，，
所以，即.
故選：A.
2．已知橢圓C：的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】由的周長為，結合橢圓的定義，即可求解.
【詳解】由題意，橢圓，可得，即，
如圖所示，根據橢圓的定義，可得的周長為
故選：D.
3．已知圓與圓，則兩圓的位置關系是（ ）
A．外切B．內切C．相交D．相離
【答案】A
【分析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據圓心距與半徑之和半徑之差的關系，即可判斷位置關系.
【詳解】對圓，其圓心，半徑；
對圓，其圓心，半徑；
又，故兩圓外切.
故選：A.
4．在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空間向量線性運算法則進行運算即可.
【詳解】因為在平行六面體中，，
所以.
故選：A.
5．若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】先求出雙曲線的右焦點，此焦點是拋物線的焦點，求出
【詳解】在雙曲線中，,所以右焦點，
是拋物線的焦點，
故選：C
6．已知A（2，1），拋物線C：的焦點為F，P是拋物線C上任意一點，則△PAF周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】借助拋物線的定義，將轉化成，三點共線時，周長最小.
【詳解】
拋物線的準線，過點P作垂直于準線，由題可知，△PAF的周長為,
，易知當三點共線時，△PAF的周長最小，且最小值為.
故選：C.
7．已知雙曲線 (，)，點為其右焦點，點，若所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．+1B．C．D．-1
【答案】B
【分析】由已知條件可得，，所以，即，解方程即可求解.
【詳解】右焦點，點，所以，
若所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直，
則，可得，
又因為，所以，即，
解得：或（舍）
所以該雙曲線的離心率為，
故選：B.
8．已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：如圖取與重合，則由直線同理由,故選A.
【解析】1、橢圓及其性質；2、直線與橢圓.
【方法點晴】本題考查橢圓及其性質、直線與橢圓，涉及特殊與一般思想、數(shù)形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.
二、多選題
9．關于雙曲線與雙曲線，下列說法正確的是（ ）.
A．它們有相同的漸近線B．它們有相同的頂點
C．它們的離心率不相等D．它們的焦距相等
【答案】CD
【分析】根據雙曲線的幾何性質，逐一分析選項即可.
【詳解】雙曲線的漸近線為：，雙曲線的漸近線方程為：，故A錯誤；
雙曲線的頂點坐標為，雙曲線的頂點坐標為，故B錯誤；
雙曲線的離心率，雙曲線的離心率，，故C正確；
雙曲線的焦距2c=10，雙曲線的焦距2c=10，故D正確.
故選：CD．
【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查學生對基礎知識的掌握程度，屬基礎題.
10．已知曲線C的方程為，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，曲線C為圓
B．曲線C為橢圓的充要條件是
C．若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則
D．存在實數(shù)k使得曲線C為拋物線
【答案】AC
【分析】根據圓、橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的特征即可逐項判斷求解.
【詳解】對于A，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，所以A正確；
對于B，若曲線C為橢圓，則，且，所以B錯誤；
對于C，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則，，解得，所以C正確；
對于D，曲線C不存在x，y的一次項，所以曲線C不可能是拋物線，所以D錯誤．
故選：AC.
11．已知橢圓，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則橢圓的離心率為
B．若橢圓的離心率越趨近于0，橢圓越接近于圓
C．若點分別為橢圓的左?右焦點，直線l過點且與橢圓交于A，B兩點，則的周長為
D．若點分別為橢圓的左?右頂點，點P為橢圓上異于點的任意一點，則直線的斜率之積為.
【答案】BCD
【分析】根據橢圓的方程和幾何性質，逐項驗證得出結果.
【詳解】，且,解得離心率 ，選項A錯誤；
根據橢圓離心率的性質“離心率越小橢圓越圓”，選項B正確；
根據橢圓的定義，
所以的周長為，選項C正確；
根據題意，，設點 ，其中
所以，選項D正確.
故答案為：BCD.
12．已知正方體的棱長為4，點分別是BC，，的中點，則（ ）
A．異面直線與所成的角的正切值為
B．平面截正方體所得截面的面積為18
C．四面體的外接球表面積為
D．三棱錐的體積為
【答案】ABC
【分析】對于A中，取的中點，取的中點，連接，證得，把異面直線與所成的角轉化為直線與所成的角，在直角中，可判定A正確；延長交于點，連接交于點，連接，掙得多平面截正方體所得截面為等腰梯形，求得其面積，可判定B正確；畫出以為對角線的長方體，得到該長方體的外接球即為四面體的外接球，結合長方體的性質和球的表面公式，可判定C正確；結合，可判定D錯誤.
【詳解】對于A中，取的中點，連接，再取的中點，連接，
因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，即，
因為正方體的棱長為4，可得，
可得為等腰三角形，取的中點，則，
在直角中，可得，所以，
直線與所成的角的正切值為，所以A正確；

對于B中，延長交于點，連接交于點，連接，
因為，為的中點，所以，可得為的中點，
又因為，所以為的中點，所以，
因為，所以為平行四邊形，所以，
所以，平面截正方體所得截面為等腰梯形，
在等腰梯形中，，
所以梯形的高為，
所以梯形的面積為，所以B正確.

對于C中，畫出以為對角線的長方體，
則該長方體的外接球即為四面體的外接球，
可得外接球的直徑為，
所以外接球的表面積為，所以C正確；

對于D中，連接，則，
因為平面，平面，所以，
又因為且平面，所以平面，
因為為的中點，
所以三棱錐的高為，，
所以，所以D錯誤.
故選：ABC.

三、填空題
13．若坐標原點到拋物線的準線距離為2，則 .
【答案】
【解析】根據拋物線性質可得結果.
【詳解】由化為標準方程，準線方程，故由題意，
得.
故答案為：
14．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】或
【分析】分兩種情況，焦點在軸上，焦點在軸上，兩種情況，分別代入即可求解.
【詳解】當雙曲線為時，，．
當雙曲線為時，，．
故答案為：或.
15．直線與雙曲線相交于兩點，若點為線段的中點，則直線的方程是 .
【答案】
【分析】由中點坐標公式可知，；利用點差法可求得直線斜率，進而得到直線方程.
【詳解】設，
為中點 ，
由兩式作差可得：
直線斜率
直線方程為：，即
故答案為
【點睛】本題考查根據弦中點求解直線方程的問題，關鍵是能夠熟練應用點差法，將直線的斜率與中點坐標之間的關系表示出來，從而求得直線斜率.
16．已知拋物線C的方程為：，F(xiàn)為拋物線C的焦點，傾斜角為的直線過點F交拋物線C于A、B兩點，則線段AB的長為
【答案】8
【分析】根據給定條件求出拋物線C的焦點坐標，準線方程，再求出點A，B的橫坐標和即可計算作答.
【詳解】拋物線C：的焦點，準線方程為，
依題意，直線l的方程為：，由消去x并整理得：，
設，則，于是得，
所以線段AB的長為8.
故答案為：8
四、解答題
17．已知在平面直角坐標系中，圓.
(1)過點作圓的切線，求切線方程；
(2)求過點的圓的弦長的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據點在圓上，求出直線的斜率；再根據圓的性質可得出所求切線的斜率和方程.
（2）先根據點在圓內，求出圓心到點的距離；再利用幾何法可得圓心到直線距離的最大值；最后利用勾股定理即可求出過點的圓的弦長的最小值.
【詳解】（1）
由圓可得：圓心，半徑.
，
點在圓上，即點為切點.
直線的斜率為
所求切線斜率為.
切線方程為，即.
（2）
點在圓內.
設直線過點，圓心到直線距離為，
圓半徑
則.
結合圖形可知當時，取得最大值，為，.
過點的圓的弦長的最小值.
18．（1）焦點在軸上的橢圓過點，離心率，求橢圓的標準方程；
（2）已知雙曲線過點，它的漸近線方程為，求雙曲線的標準方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)設橢圓的標準方程，代入已知點，再由離心率及可解得基本量.
(2)由漸近線方程可設雙曲線方程為，代入點的坐標即可.
【詳解】(1)設橢圓標準方程為：，過點，則
，又 ，，聯(lián)立解得，
所以橢圓標準方程為:
(2)由雙曲線的漸近線方程，可設雙曲線方程為:
又雙曲線過點，所以，解得‘
所以雙曲線的標準方程為:
【點睛】此題為基礎題，考查橢圓和雙曲線標準方程的求法.
19．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動．
（1）證明：D1E⊥A1D；
（2）若EB，求二面角D1﹣EC﹣D的大?。?br>【答案】（1）見解析（2）30°．
【分析】（1）以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設AE＝t，（0≤t≤2），證明0即得證；（2）利用向量法求二面角D1﹣EC﹣D的大小．
【詳解】證明：（1）以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
設AE＝t，（0≤t≤2），則D1（0，0，1），E（1，t，0），A1（1，0，1），D（0，0，0），
（1，t，﹣1），（﹣1，0，﹣1），
所以0，
∴D1E⊥A1D．
（2）∵EB，∴E（1，2，0），C（0，2，0），
（1，，0），（0，﹣2，1），
設平面CED1的法向量（x，y，z），
則，取y＝3，得（，6），
平面CDE的法向量（0，0，1），
設二面角D1﹣EC﹣D的平面角為θ，
則csθ，所以θ＝30°，
∴二面角D1﹣EC﹣D的大小為30°．
【點睛】本題主要考查空間線面位置關系的證明，考查空間二面角的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.
20．已知橢圓經過．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線交橢圓于不同兩點，，是坐標原點，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將兩點坐標代入橢圓方程中，求出，的值，可求出橢圓的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到一元二次方程，解這個方程，求出兩點的縱坐標，，設直線與軸交于點，利用進行求解．
【詳解】（1）橢圓經過，將兩點坐標代入橢圓方程中，得，解得：，，
即橢圓的方程為；
（2）記，，可設的方程為，
由，消去得，解得，
直線與軸交于點，則 .
21．如圖，在五面體中，平面平面，，，且，.

(1)求證：平面平面.
(2)線段上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的余弦值等于？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）首先根據垂直關系，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，證明法向量垂直，即可證明面面垂直；
（2）首先求平面的法向量，根據法向量的夾角的余弦值，即可求解點的位置.
【詳解】（1）如圖，設中點為，過作，
由于，所以，由于，則有，
又平面平面，平面平面,平面，
所以平面，又平面，所以.
又，故，，三條直線兩兩垂直.
如圖，以為原點，，，分別為軸，建立空間直角坐標系，

依題意可得，，,
，，
設平面的法向量
則有，即，令，得，
取平面的一個法向量，
因為，所以平面平面；
（2）設，
由（1）知，，，，，，
所以，
則,
設平面的法向量，則有，
因為，
所以，即，
令，可得，則，
因為平面與平面的夾角的余弦值等于，
所以，
化簡得，解得或（舍去），所以.
所以線段上存在一點，使得平面與平面的夾角的余弦值等于，此時
22．已知橢圓）過點A（0，），且與雙曲線有相同的焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M，N是橢圓C上異于A的兩點，且滿足，試判斷直線MN是否過定點，并說明理由．
【答案】(1)
(2)直線過定點；理由見解析
【分析】（1）根據題意可求得 ，進而求得橢圓方程；
（2）考慮直線斜率是否存在，設直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關系式，然后利用，將根與系數(shù)的關系式代入化簡得到，結合直線方程,化簡可得結論.
【詳解】（1）依題意，，
所以，故橢圓方程為：．
（2）當直線MN的斜率不存在時，設M（），N（，），
則，,此時M，N重合，不符合題意；
當直線MN的斜率存在時，
設MN的方程為：，M（，），N（），
與橢圓方程聯(lián)立可得：，
即，
∴，即，
∴
，
∴，
∴，當時，,
直線MN：，
即，令 ，則 ，
∴直線過定點．
【點睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時過定點的問題，解答時要注意解題思路的順暢，解答的難點在于運算量較大且復雜，需要十分細心.

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