三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點和熱點內(nèi)容，主要從以下兩個方面進行考查：
1、三角函數(shù)的圖象，涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查；
2、利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查.
3、三角恒等變換的求值、化簡是高考命題的熱點，常與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)結(jié)合在一起綜合考查，如果單獨命題，多用選擇、填空題中呈現(xiàn)，難度較低；如果三角恒等變換作為工具，將其與三角函數(shù)及解三角形相結(jié)合求解最值、范圍問題，多以解答題為主，中等難度．
【核心考點目錄】
核心考點一：齊次化模型
核心考點二：輔助角與最值問題
核心考點三：整體代換與二次函數(shù)模型
核心考點四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型
核心考點五：的取值與范圍問題
核心考點六：三角函數(shù)的綜合性質(zhì)
【真題回歸】
1．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
2．（2022·全國·高考真題（理））設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全國·高考真題（文））將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（多選題）（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
6．（2022·全國·高考真題（理））記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．
【方法技巧與總結(jié)】
1、三角函數(shù)圖象的變換
（1）將的圖象變換為的圖象主要有如下兩種方法：
（2）平移變換
函數(shù)圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換只是針對作的變換；
（3）伸縮變換
①沿軸伸縮時，橫坐標伸長或縮短為原來的（倍）（縱坐標不變）；
②沿軸伸縮時，縱坐標伸長或縮短為原來的（倍）（橫坐標不變）．
（4）注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應用誘導公式化為同名函數(shù)再平移．
2、三角函數(shù)的單調(diào)性
（1）三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
的單調(diào)遞增區(qū)間是，
單調(diào)遞減區(qū)間是；
的單調(diào)遞增區(qū)間是．
（2）三角函數(shù)的單調(diào)性有時也要結(jié)合具體的函數(shù)圖象如結(jié)合，，
，的圖象進行判斷會很快得到正確答案．
3、求三角函數(shù)最值的基本思路
（1）將問題化為的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
（2）將問題化為關(guān)于或的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
（3）利用導數(shù)判斷單調(diào)性從而求解.
4、對稱性及周期性常用結(jié)論
（1）對稱與周期的關(guān)系
正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期.
（2）與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.
若為偶函數(shù)，則有；若為奇函數(shù)，則有.
若為奇函數(shù)，則有．
5、已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)取值范刪的三種方法
（1）子集法：求出原函數(shù)相應的單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．
（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正弦、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式（組）求解．
（3）周期性：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過個周期列不等式（組）求解.
【核心考點】
核心考點一：齊次化模型
【規(guī)律方法】齊次分式：分子分母的正余弦次數(shù)相同，例如：
（一次顯型齊次化）
或者（二次隱型齊次化）
這種類型題，分子分母同除以（一次顯型）或者（二次隱型），構(gòu)造成的代數(shù)式，這個思想在圓錐曲線里面關(guān)于斜率問題處理也經(jīng)常用到.
【典型例題】
例1．（2022·廣東揭陽·高三階段練習）若，則（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·江蘇省丹陽高級中學高三階段練習）已知，則（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·湖南·高三階段練習）已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則（ ）
A．B．C．D．1
例4．（2022·湖北·襄陽五中高三開學考試）若，，則（ ）
A．B．C．D．
核心考點二：輔助角與最值問題
【規(guī)律方法】第一類：一次輔助角:=．（其中）
第二類：二次輔助角
【典型例題】
例5．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習（理））已知函數(shù)，當時，取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·四川省成都市新都一中高三階段練習（理））若，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2022·四川省成都市新都一中高三階段練習（文））若，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)，若，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·浙江省杭州第二中學高三階段練習）已知關(guān)于x的方程有實數(shù)解，則最小值是______．
例10．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為___________.
例11．（2022·全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為____.
核心考點三：整體代換與二次函數(shù)模型
【規(guī)律方法】三角函數(shù)和二次函數(shù)交匯也是一種常見題型，我們將其分為三類，第一類是最簡單的，就是，與之間的二次函數(shù)關(guān)系，第二類則有一點隱藏，就是與之間的關(guān)系，第三類則是與之間的關(guān)系.
【典型例題】
例12．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為___________．
例13．（2022·全國·高考真題（文））函數(shù)的最大值為________.
例14．（2022·全國·高考真題（理））函數(shù)的最大值是_________.
例15．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的最大值為___________.
例16．（2022·全國·高三專題練習）若是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)的最小值是
A．B．C．1D．
核心考點四：絕對值與三角函數(shù)綜合模型
【規(guī)律方法】
關(guān)于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數(shù)，同理是最小正周期為的函數(shù)；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數(shù).我們可以這樣來表示：
，
【典型例題】
例17．（2022·安徽·銅陵一中高三階段練習（理））已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為B．的最小值為
C．D．在上有解
例18．（2022·全國·高三專題練習）已知，給出下述四個結(jié)論:
①是偶函數(shù); ②在上為減函數(shù);
③在上為增函數(shù); ④的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①④
例19．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學高三階段練習）已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．是的一個周期B．函數(shù)在單調(diào)遞減
C．函數(shù)的值域為D．函數(shù)在內(nèi)有6個零點
例20．（多選題）（2022·安徽·碭山中學高三階段練習）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為B．的最大值為
C．在上單調(diào)遞減D．在上有4個零點
例21．（2022·湖南省臨澧縣第一中學高三階段練習）函數(shù)的最大值為______.
例22．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則
①在上的最小值是1；
②的最小正周期是；
③直線是圖象的對稱軸；
④直線與的圖象恰有2個公共點.
其中說法正確的是________________.
例23．（2022·陜西·長安一中高一期末）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②在區(qū)間上遞增；
③在上有4個零點；
④的最大值為2.
其中所有正確結(jié)論的編號__________.
例24．（2022·云南省玉溪第一中學高二期中（文））設函數(shù)，下述四個結(jié)論正確結(jié)論的編號是__________.
①是偶函數(shù)； ②的最小正周期為；
③的最小值為0； ④在上有3個零點.
核心考點五：的取值與范圍問題
【規(guī)律方法】1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點
同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點
2、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點

3、在區(qū)間內(nèi)有個零點

同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調(diào)區(qū)間，則.
【典型例題】
例25．（2022·河南·模擬預測（文））已知函數(shù)，為的一個零點，為圖象的一條對稱軸，且在內(nèi)不單調(diào)，則的最小值為______.
例26．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既沒有最大值，也沒有最小值，則的取值范圍是___________.
例27．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有3個零點，則的最小值是_________．
例28．（2022·寧夏·平羅中學高三期中（理））已知函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)且有一個零點，則的最大值是______________．
例29．（2022·湖南·永州市第一中學高三階段練習）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的最大值為________.
例30．（2022·全國·高三階段練習（理））已知函數(shù)的最小正周期為，的一個極值點為.若 ，則的最大值是_____.
例31．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學高三階段練習（文））將函數(shù)()的圖象向左平移個單位長度,得到曲線.若關(guān)于軸對稱,則的最小值是______．
例32．（2022·北京師大附中高三階段練習）記函數(shù)的最小正周期為，若，為的零點，則的最小值為_______．
例33．（2022·云南·高三階段練習）已知函數(shù)，若是圖象的一個對稱中心，在區(qū)間上有最大值點無最小值點，且，記滿足條件的的取值集合為，則______.
例34．（2022·四川成都·模擬預測（理））已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．
例35．（2022·全國·高三專題練習（理））設函數(shù)，其中．且，則的最小值為________．
例36．（2022·福建省福州教育學院附屬中學高三開學考試）已知，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則______.
例37．（多選題）（2022·山西·高三階段練習）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的值可以是（ ）
A．B．C．D．
核心考點六：三角函數(shù)的綜合性質(zhì)
【典型例題】
例38．（多選題）（2022·山東德州·高三期中）已知函數(shù)同時滿足下列三個條件：
①該函數(shù)的最大值為；
②該函數(shù)圖象的兩條對稱軸之間的距離的最小值為；
③該函數(shù)圖象關(guān)于對稱.
那么下列說法正確的是（ ）
A．的值可唯一確定
B．函數(shù)是奇函數(shù)
C．當時，函數(shù)取得最小值
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
例39．（多選題）（2022·湖北襄陽·高三期中）函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．直線是圖象的一條對稱軸
B．在上單調(diào)遞增
C．若在上恰有4個零點，則
D．在上的最大值為
例40．（多選題）（2022·江蘇南通·高三期中）已知函數(shù)，的定義域均為R，它們的導函數(shù)分別為，．若是奇函數(shù)，，與圖象的交點為，，…，，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點對稱B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象關(guān)于直線對稱D．
例41．（多選題）（2022·山東菏澤·高三期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）．
A．
B．在區(qū)間單調(diào)遞減
C．在區(qū)間上有且僅有2個零點
D．將的圖象向右平移個單位長度后，可得到一個奇函數(shù)的圖象
例42．（多選題）（2022·河北·模擬預測）已知函數(shù)，且對任意均有在上單調(diào)遞減，則下列說法正確的有（ ）
A．函數(shù)為偶函數(shù)
B．函數(shù)的最小正周期為
C．若的根為，2，，，則
D．若在上恒成立，則的最大值為
例43．（多選題）（2022·廣東·深圳實驗學校光明部高三期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖（1）所示，函數(shù)的部分圖象如圖（2）所示，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的周期為
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．函數(shù)在區(qū)間上有4個零點
D．將函數(shù)的圖像向左平移可使其圖像與圖像重合
例44．（多選題）（2022·福建·廈門外國語學校高三期中）將函數(shù)圖像上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為π
B．圖像的一個對稱中心為
C．的單調(diào)遞增區(qū)間為
D．的圖像與函數(shù)的圖像重合
例45．（多選題）（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）已知，則下列說法錯誤的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)為奇函數(shù)
C．函數(shù)在上的值域為
D．函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為8
【新題速遞】
一、單選題
1．（2022·河北·張家口市第一中學高三期中）函數(shù)某相鄰兩支圖象與坐標軸分別交于點，，則方程所有解的和為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京市第十一中學高三階段練習）已知函數(shù)則（ ）
A．是奇函數(shù)B．函數(shù)的最小正周期為
C．曲線關(guān)于對稱D．
3．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學校高三期中（理））已知函數(shù)（，），其圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，且對任意，都有，則在下列區(qū)間中，為單調(diào)遞減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·吉林長春·模擬預測）定義域為的函數(shù)，其值域為，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江蘇南通·高三期中）已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南·高三階段練習（理））設函數(shù)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是（ ）
①在有且僅有3個極大值點
②在有且僅有2個極小值點
③在單調(diào)遞增
④的取值范圍是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
7．（2022·天津市南開中學濱海生態(tài)城學校高三階段練習）下列關(guān)于函數(shù)的命題，正確的有（ ）個
（1）它的最小正周期是
（2）是它的一個對稱中心
（3）是它的一條對稱軸
（4）它在上的值域為
A．0B．1C．2D．3
8．（2022·寧夏六盤山高級中學高三期中（理））已知函數(shù)（其中），恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)，給出下列命題①是偶函數(shù)；②；③是奇數(shù)；④的最大值為3；其中正確的命題有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
二、多選題
9．（2022·重慶八中高三階段練習）已知函數(shù)，曲線關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A．將該函數(shù)向左平移個單位得到一個奇函數(shù)
B．在上單調(diào)遞增
C．在上只有一個極值點
D．曲線關(guān)于直線對稱
10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線是的對稱軸
B．點是的對稱中心
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．的圖象向右平移個單位得的圖象
11．（2022·山東青島·高三期中）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最大值為2B．是的圖象的一條對稱軸
C．在上單調(diào)遞減D．的圖象關(guān)于對稱
12．（2022·湖北·荊門市龍泉中學高三階段練習）設（其中為正整數(shù)，），且的一條對稱軸為；若當時，函數(shù)在單調(diào)遞增且在不單調(diào)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．的一個對稱中心為
C．函數(shù)向右平移個單位后圖象關(guān)于軸對稱
D．將的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫降膱D象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為
三、填空題
13．（2022·甘肅·蘭州市外國語高級中學高三階段練習（文））已知函數(shù)的相鄰對稱軸之間的距離為，且圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是___________.（寫出所有正確的題號）
A．該函數(shù)解析式為；
B．函數(shù)的一個對稱中心為
C．函數(shù)的定義域為
D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為.
14．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預測（文））正割（Secant，sec）是三角函數(shù)的一種，正割的數(shù)學符號為sec，出自英文secant．該符號最早由數(shù)學家吉拉德在他的著作《三角學》中所用，正割與余弦互為倒數(shù)，即．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有__
①函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；
②函數(shù)圖像在處的切線與軸平行，且與軸的距離為；
③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
④為奇函數(shù)，且有最大值，無最小值．
15．（2022·河南·駐馬店市第二高級中學高三階段練習（理））若，則______．
16．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在上有三個不同的實根，則實數(shù)m的取值范圍是_________．
四、解答題
17．（2022·江西·豐城九中高三開學考試（理））已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍．
18．（2022·江蘇鹽城·高三階段練習）已知函數(shù)，且_____．
從以下三個條件中任選一個，補充在上面條件中，并回答問題：過點函數(shù)圖象與直線的兩個相鄰交點之間的距離為函數(shù)圖象中相鄰的兩條對稱軸之間的距離為．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)設函數(shù)，則是否存在實數(shù)，使得對于任意，存在，成立若存在，求實數(shù)的取值范圍若不存在，請說明理由．
19．（2022·黑龍江·哈師大附中高三階段練習）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間（0，π）上恰有2個零點，求的值．
20．（2022·福建省詔安縣橋東中學高三期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求的解析式及對稱中心；
(2)先將的圖象橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的倍，得到函數(shù)圖象，再將圖象右平移個單位后得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間.
21．（2022·青海·西寧市海湖中學高三期中）某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：
(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；
(2)將圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象．若圖象的一個對稱中心為，求的最小值．
22．（2022·北京·北大附中高三階段練習）已知函數(shù)的部分圖像如下圖所示.
(1)直接寫出的解析式；
(2)若對任意，存在，滿足，求實數(shù)的取值范圍.
0
x
0
5
0

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