數(shù) 學 試 卷 2022年1月
本試卷共4頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，請將答題卡交回。
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
（1）已知集合，，則
（A） （B） （C） （D）
（2）已知，則“”是“”的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
（3）已知函數(shù)，則
（A）當且僅當時，有最小值為
（B）當且僅當時，有最小值為
（C）當且僅當時，有最大值為
（D）當且僅當時，有最大值為
（4）下列各式中，正確的是
（A） （B）
（C） （D）
（5）計算
（A）（B） （C） （D）
（6）已知函數(shù)，則的
（A）最小正周期為，最大值為（B）最小正周期為，最大值為
（C）最小正周期為，最大值為 （D）最小正周期為，最大值為
（7）已知函數(shù)表示為
設，的值域為，則
（A）， （B），
（C）， （D），
（8）甲、乙兩位同學解答一道題：“已知，，求的值.”
則在上述兩種解答過程中
（A）甲同學解答正確，乙同學解答不正確 （B）乙同學解答正確，甲同學解答不正確
（C）甲、乙兩同學解答都正確 （D）甲、乙兩同學解答都不正確
（9）已知函數(shù)（，，）的圖象如圖所示，則
（A）
（B）對于任意，，且，都有
（C），都有
（D），使得
（10）已知關于的方程的根為負數(shù)，則的取值范圍是
（A）（B） （C） （D）
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
（11）不等式的解集是 ．
（12）已知，，則 ； ．
（13）已知，且是第三象限角，則 ； ．
（14）化簡 ．
（15）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積（單位：平方米）與時間（單位：月）的關系式為，圖象如圖所示. 則下列結論：
①浮萍蔓延每個月增長的面積都相同；
②浮萍蔓延個月后的面積是浮萍蔓延個月后的面積的；
③浮萍蔓延每個月增長率相同，都是％；
④浮萍蔓延到平方米所經過的時間與蔓延到平方米所經
過的時間的和比蔓延到平方米所經過的時間少.
其中正確結論的序號是_____．
三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（16）（本小題13分）
已知二次函數(shù).
（Ⅰ）求的對稱軸；
（Ⅱ）若，求的值及的最值.
（17）（本小題14分）
已知函數(shù)，且的圖象經過點．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；
（Ⅲ）若，求證：在區(qū)間內存在零點．
（18）（本小題15分）
如圖，在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）將射線繞坐標原點按逆時針方向旋轉后與
單位圓交于點，求的值；
（Ⅲ）若點與關于軸對稱，求的值.
（19）（本小題13分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的最大值，并寫出取得最大值時自變量的集合；
（Ⅱ）把曲線向左平移個單位長度，然后使曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的單調遞增區(qū)間.
（20）（本小題14分）
某地區(qū)每年各個月份的月平均最高氣溫近似地滿足周期性規(guī)律，因此第個月的月平均最高氣溫可近似地用函數(shù)來刻畫，其中正整數(shù)表示月份且，例如表示月份，和是正整數(shù)，，．
統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份的月平均最高氣溫基本相同，月份的月平均最高氣溫為攝氏度，是一年中月平均最高氣溫最低的月份，隨后逐月遞增直到月份達到最高為攝氏度.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）某植物在月平均最高氣溫低于攝氏度的環(huán)境中才可生存，求一年中該植物在該地區(qū)可生存的月份數(shù).
（21）（本小題16分）
若函數(shù)的自變量的取值范圍為時，函數(shù)值的取值范圍恰為，就稱區(qū)間為的一個“和諧區(qū)間” .
（Ⅰ）先判斷“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間””是否正確，再寫出函數(shù)的“和諧區(qū)間”；（直接寫出結論即可）
（Ⅱ）若是定義在上的奇函數(shù)，當時，.
（i）求的“和諧區(qū)間”；
（ii）若函數(shù)的圖象是以在定義域內所有“和諧區(qū)間”上的圖象，是否存在實數(shù)，使集合恰含有個元素，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
甲同學解答過程如下：
解：由，得.
因為，
所以.
所以
.
乙同學解答過程如下：
解：因為，
所以

.

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