1．（4分）已知函數(shù)f（x）＝x5，則f'（﹣1）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
2．（4分）已知函數(shù)f（x）＝，則f'（x）＝（ ）
A．B．3x2+1
C．D．
3．（4分）若曲線y＝x2+ax+b在點（0，b）處的切線方程為x﹣y+1＝0，則a+b＝（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
4．（4分）已知集合A＝{﹣4，1，2，3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}．現(xiàn)從集合A中取一個元素作為點P的橫坐標(biāo)，從集合B中取一個元素作為點P的縱坐標(biāo)，則位于第四象限的點P有（ ）
A．16個B．12個C．9個D．6個
5．（4分）設(shè)f（x）＝sin2x，則f'（x）＝（ ）
A．2csxB．cs2xC．2cs2xD．﹣2cs2x
6．（4分）已知函數(shù)f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），它們在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則f1′（x0），f2′（x0），f3′（x0），f4′（x0）的大小關(guān)系是（ ）
A．f1′（x0）＞f2′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）
B．f1′（x0）＞f3′（x0）＞f2′（x0）＞f4′（x0）
C．f4′（x0）＞f1′（x0）＞f3′（x0）＞f2′（x0）
D．f1′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）＞f2′（x0）
7．（4分）已知函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且x0∈D，則“f'（x0）＝0”是“x0是f（x）的極值點”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
8．（4分）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．為傳承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校國學(xué)社團開展“六藝”講座活動，每藝安排一次講座，共講六次．講座次序要求“禮”在第一次，“數(shù)”不在最后，“射”和“御”兩次相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（ ）
A．48種B．36種C．24種D．20種
9．（4分）如圖是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象，給出下列命題：
①x1，x4是函數(shù)y＝f（x）的極小值點；
②x3是函數(shù)y＝f（x）的極大值點；
③y＝f（x）在x＝x2處切線的斜率大于零；
④y＝f（x）在區(qū)間（x4，x5）上單調(diào)遞增．
則正確命題的序號是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
10．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)f（x）無最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
11．（5分）若A＝4C，則m＝ ．
12．（5分）在（x﹣）6的二項展開式中，常數(shù)項等于 .（用數(shù)字作答）
13．（5分）假設(shè)某高山滑雪運動員在一次高山滑雪訓(xùn)練中滑行的路程l（單位：m）與時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為l（t）＝2t2+t，則該運動員在2≤t≤4這段時間的平均速度為 m/s；在t＝4s時的瞬時速度為 m/s．
14．（5分）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（0，5）內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且有以下數(shù)據(jù)：
則f（g（1））＝ ；函數(shù)f（g（x））在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值是 ．
15．（5分）定義在區(qū)間（﹣2π，2π）上的函數(shù)f（x）＝xcsx﹣sinx，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ．
16．（5分）函數(shù)f（x）＝ex﹣alnx（其中a∈R，e為自然常數(shù)），關(guān)于函數(shù)f（x）有四個結(jié)論：
①?a∈R，函數(shù)f（x）總存在零點；
②?a＜0，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
③?a∈R，使函數(shù)f（x）存在2個零點；
④?a＞0，使得直線y＝x為函數(shù)f（x）的一條切線．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
17．（12分）高二年級某班第一小組有10名同學(xué)，現(xiàn)要從該小組中選出4名同學(xué)組成一隊，參加高二年級辯論賽．
（Ⅰ）該小組共有多少種組隊方法？
（Ⅱ）若從該小組10名同學(xué)中選出4名同學(xué)，分別擔(dān)任第一、二、三、四辯手，
（?。┰撔〗M有多少種選法？
（ⅱ）如果甲同學(xué)不擔(dān)任第一辯手，乙同學(xué)不擔(dān)任第三辯手，共有多少種選法？
18．（13分）已知（1+2x）n的展開式中第2項，第3項，第4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求（1+2x）n（1﹣x）2的展開式中x2的系數(shù)．
19．（13分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]上的最小值．
20．（13分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．
21．（14分）已知函數(shù)f（x）＝xea﹣x+ex．
（Ⅰ）當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
22．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）ex，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a≤0時，證明：函數(shù)f（x）沒有極值點；
（Ⅱ）當(dāng)a＞時，試判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)，并說明理由．
2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1．（4分）已知函數(shù)f（x）＝x5，則f'（﹣1）＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：f′（x）＝5x4，
則f'（﹣1）＝5．
故選：D．
【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（4分）已知函數(shù)f（x）＝，則f'（x）＝（ ）
A．B．3x2+1
C．D．
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（x）＝＝，
則f′（x）＝2x﹣＝．
故選：D．
【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）若曲線y＝x2+ax+b在點（0，b）處的切線方程為x﹣y+1＝0，則a+b＝（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值，結(jié)合已知切線方程列式求解a與b的值，則答案可求．
【解答】解：由y＝x2+ax+b，得y′＝2x+a，
由題意，y′|x＝0＝a＝1，且0﹣b+1＝0，即b＝1．
∴a+b＝2．
故選：A．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，是基礎(chǔ)題．
4．（4分）已知集合A＝{﹣4，1，2，3}，B＝{﹣2，﹣1，0，3}．現(xiàn)從集合A中取一個元素作為點P的橫坐標(biāo)，從集合B中取一個元素作為點P的縱坐標(biāo)，則位于第四象限的點P有（ ）
A．16個B．12個C．9個D．6個
【分析】根據(jù)題意，分析該點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的取法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，若該點位于第四象限，需要在集合A取出正值，集合B中取出負(fù)值，
有3×2＝6種取法，
故選：D．
【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）設(shè)f（x）＝sin2x，則f'（x）＝（ ）
A．2csxB．cs2xC．2cs2xD．﹣2cs2x
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可得到結(jié)論．
【解答】解：因為f（x）＝sin2x，
則f'（x）＝2cs2x．
故選：C．
【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知函數(shù)f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），它們在平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則f1′（x0），f2′（x0），f3′（x0），f4′（x0）的大小關(guān)系是（ ）
A．f1′（x0）＞f2′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）
B．f1′（x0）＞f3′（x0）＞f2′（x0）＞f4′（x0）
C．f4′（x0）＞f1′（x0）＞f3′（x0）＞f2′（x0）
D．f1′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）＞f2′（x0）
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，畫出各個函數(shù)圖象在x＝x0處的切線，根據(jù)切線的斜率來判斷即可．
【解答】解：依次作出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）在x＝x0處的切線，如圖所示：
根據(jù)圖象中切線的斜率可知f1′（x0）＞f2′（x0）＞f3′（x0）＞f4′（x0）．
故選：A．
【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）已知函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且x0∈D，則“f'（x0）＝0”是“x0是f（x）的極值點”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】先驗證充分性，不妨設(shè)f（x）＝x3，在x＝0處有f'（0）＝0，但f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，x＝0不是極值點；再驗證必要性，即可得結(jié)果．
【解答】解：充分性：不妨設(shè)f（x）＝x3，則f'（x）＝3x2，在x＝0處有f'（0）＝0，
但是f'（x）≥0，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，在x＝0處不是極值，故充分性不成立．
必要性：根據(jù)極值點的性質(zhì)可知，極值點只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點，
因為函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，所以不存在不可導(dǎo)的點，
因此導(dǎo)數(shù)為零的點就是極值點，故必要性成立．
故選：B．
【點評】本題考查了充分必要條件的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬中檔題．
8．（4分）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．為傳承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校國學(xué)社團開展“六藝”講座活動，每藝安排一次講座，共講六次．講座次序要求“禮”在第一次，“數(shù)”不在最后，“射”和“御”兩次相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（ ）
A．48種B．36種C．24種D．20種
【分析】根據(jù)題意，先將“射”和“御”看成一個整體，與“樂”、“書”全排列，再分析“禮”、“數(shù)”的排法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：
①將“射”和“御”看成一個整體，與“樂”、“書”全排列，有＝12種排法，
②將“禮”安排在第一次，“數(shù)”不在最后，有3種排法，
則有12×3＝36種安排方法，
故選：B．
【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
9．（4分）如圖是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象，給出下列命題：
①x1，x4是函數(shù)y＝f（x）的極小值點；
②x3是函數(shù)y＝f（x）的極大值點；
③y＝f（x）在x＝x2處切線的斜率大于零；
④y＝f（x）在區(qū)間（x4，x5）上單調(diào)遞增．
則正確命題的序號是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【分析】根據(jù)已知圖可得函數(shù)f（x）在（﹣∞，x3），（x5，+∞）上單調(diào)遞增，在（x3，x5）上單調(diào)遞減，然后根據(jù)各個項逐個判斷即可求解．
【解答】解：由圖可知當(dāng)x∈（﹣∞，x3）∪（x5，+∞）時，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（x3，x5）時，f′（x）＜0，
則函數(shù)f（x）在（﹣∞，x3），（x5，+∞）上單調(diào)遞增，在（x3，x5）上單調(diào)遞減，
所以x3是函數(shù)的極大值點，故②正確，①錯誤，
因為x2∈（﹣∞，x3），所以③正確，
因為x4∈（x3，x5），所以函數(shù)在（x4，x5）上單調(diào)遞減，
故選：C．
【點評】本題考查了命題的真假判斷的應(yīng)用，涉及到函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的識圖能力，屬于中檔題．
10．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)f（x）無最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，然后對a分類分析，可得關(guān)于a的不等式組，求解得答案．
【解答】解：f（x）＝，則f′（x）＝，
令f′（x）＝0，得x＝±1，
當(dāng)a＝﹣1時，f（x）在（﹣∞，﹣1]上單調(diào)遞減，可得f（x）在x＝﹣1處取得最小值﹣2，不合題意，舍去；
則，或，
解得a＜﹣1或a∈?，
∴實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．
故選：A．
【點評】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想，是中檔題．
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
11．（5分）若A＝4C，則m＝ 5 ．
【分析】根據(jù)排列數(shù)以及組合數(shù)公式，進行求解即可．
【解答】解：∵A＝4C，
∴m（m﹣1）＝4×且m≥4，
∴6＝（m﹣2）（m﹣3），
解得m＝5，（0舍去）
故答案為：5．
【點評】本題考查了排列數(shù)以及組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
12．（5分）在（x﹣）6的二項展開式中，常數(shù)項等于 ﹣20 .（用數(shù)字作答）
【分析】利用二項式定理即可求解．
【解答】解：根據(jù)二項式定理可得展開式的常數(shù)項為C＝﹣20，
故答案為：﹣20．
【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）假設(shè)某高山滑雪運動員在一次高山滑雪訓(xùn)練中滑行的路程l（單位：m）與時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為l（t）＝2t2+t，則該運動員在2≤t≤4這段時間的平均速度為 m/s；在t＝4s時的瞬時速度為 m/s．
【分析】對于第一空：由函數(shù)的解析式求出Δy與Δx，再計算平均速度；
對于第二空：求出l（t）的導(dǎo)數(shù)，再求出l′（4）的值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，對于第一空：l（t）＝2t2+t，
則l（4）＝32+6＝38，l（2）＝11，則Δy＝l（4）﹣l（2）＝27，
其平均速度為＝；
對于第二空：l′（t）＝4t+，則l′（4）＝16+＝
故在t＝4s時的瞬時速度為．
故答案為：；．
【點評】本題考查變化率的計算和導(dǎo)數(shù)的計算，注意變化率的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間（0，5）內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且有以下數(shù)據(jù)：
則f（g（1））＝ 4 ；函數(shù)f（g（x））在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值是 2 ．
【分析】結(jié)合已知對應(yīng)關(guān)系可求g（1）＝3，進而可求f（g（1）），結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則先對函數(shù)求導(dǎo)，然后把x＝1代入可求．
【解答】解：由表格中數(shù)據(jù)可知g（1）＝3，
所以f（g（1））＝f（3）＝4，
函數(shù)[f（g（x）]′＝f′[g（x）]?g′（x），
故f（g（x））在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值f′[g（1）]?g′（1）＝f′（3）?g′（1）＝1×2＝2．
故答案為：4；2．
【點評】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）定義在區(qū)間（﹣2π，2π）上的函數(shù)f（x）＝xcsx﹣sinx，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 （﹣π，π） ．
【分析】根據(jù)f（x）求出f′（x），令f′（x）＜0，解不等式即可．
【解答】解：由題意f′（x）＝csx+x（﹣sinx）﹣csx＝﹣xsinx．
令f′（x）＜0，即﹣xsinx＜0，得xsinx＞0，
因為x∈（﹣2π，2π），所以當(dāng)x＞0時，由sinx＞0，可得x∈（0，π）；
當(dāng)x＜0時，由sinx＜0，可得x∈（﹣π，0），又f（x）為奇函數(shù)，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣π，π）．
故答案為：（﹣π，π）．
【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于中檔題．
16．（5分）函數(shù)f（x）＝ex﹣alnx（其中a∈R，e為自然常數(shù)），關(guān)于函數(shù)f（x）有四個結(jié)論：
①?a∈R，函數(shù)f（x）總存在零點；
②?a＜0，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
③?a∈R，使函數(shù)f（x）存在2個零點；
④?a＞0，使得直線y＝x為函數(shù)f（x）的一條切線．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ②③④ ．
【分析】對①，舉出反例判斷即可；
對②，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可；
對③，令f（x）＝0，參變分離得到，再根據(jù)函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合分析即可；
對④，設(shè)切點，再根據(jù)切點在函數(shù)、切線上，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析即可．
【解答】解：對①，當(dāng)a＝0時，f（x）＝ex＞0，不存在零點，故①錯誤；
對②，當(dāng)a＜0時，在定義域（0，+∞）上恒成立，
故函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故②正確；
對③，顯然x＝1不為零點，令f（x）＝0，即，
設(shè)函數(shù)，則，
令g′（x）＝0可得，易得為增函數(shù)，且，
故存在x0∈（1，2）使得成立，
又當(dāng)x∈（0，1）時g（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時g（x）＞0，
故當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，x0）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x＝x0時g（x）有極小值，故當(dāng)時，有兩個零點，
故③正確；
對④，若a＞0，使得直線y＝x為函數(shù)f（x）的一條切線，則設(shè)切點為（t，t），
因為，故，即，
故et﹣t（el﹣1）lnt﹣t＝0，
當(dāng)t＝1時，el﹣1（el﹣1）lnl﹣1＝e﹣1＞0，
當(dāng)t＝e時，ee﹣e（ee﹣1）lne﹣e＝ee﹣ee+1＜0，
故存在t∈（1，e）使得et﹣t（et﹣1）lnt﹣t＝0成立，
故，有解，a＝t（et﹣1）＞0滿足條件，故④正確；
故答案為：②③④．
【點評】本題主要考査了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的零點、單調(diào)性問題，同時也考査了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析切線的問題，屬于難題．
三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
17．（12分）高二年級某班第一小組有10名同學(xué)，現(xiàn)要從該小組中選出4名同學(xué)組成一隊，參加高二年級辯論賽．
（Ⅰ）該小組共有多少種組隊方法？
（Ⅱ）若從該小組10名同學(xué)中選出4名同學(xué)，分別擔(dān)任第一、二、三、四辯手，
（?。┰撔〗M有多少種選法？
（ⅱ）如果甲同學(xué)不擔(dān)任第一辯手，乙同學(xué)不擔(dān)任第三辯手，共有多少種選法？
【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計算可得答案；
（Ⅱ）（?。└鶕?jù)題意，由排列數(shù)公式計算可得答案；
（ⅱ）根據(jù)題意，用排除法分析：計算“甲擔(dān)任第一辯手”、“乙擔(dān)任第三辯手”和“甲擔(dān)任第一辯手同時乙擔(dān)任第三辯手”的選法，由此分析可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，從10人中選出4名同學(xué)組成一隊，是組合問題，
有＝210種選法；
（Ⅱ）（?。└鶕?jù)題意，從10人中選出4名同學(xué)分別擔(dān)任第一、二、三、四辯手，是排列問題，
有A＝5040種選法；
（ⅱ）根據(jù)題意，若甲擔(dān)任第一辯手，有A＝504種選法，
若乙擔(dān)任第三辯手，有A＝504種選法，
若甲擔(dān)任第一辯手同時乙擔(dān)任第三辯手，有A＝56種選法，
則有5040﹣504﹣504+56＝4088種選法．
【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
18．（13分）已知（1+2x）n的展開式中第2項，第3項，第4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求（1+2x）n（1﹣x）2的展開式中x2的系數(shù)．
【分析】（Ⅰ）求出展開式的第2，項，第3項，第4項的二項式系數(shù)，然后根據(jù)已知建立方程即可求解；（Ⅱ）根據(jù)二項式定理求出含x2的項，由此即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）展開式的第2項，第3項，第4項的二項式系數(shù)分別為：C，
所以2C，解得n＝7，
所以n的值為7；
（Ⅱ）（1+2x）7（1﹣x）2的展開式中含x2的項為C+C+C＝57x2，
所以x2的系數(shù)為57．
【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
19．（13分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)后，令f′（x）＝0，得x＝﹣1或x＝3，再列表，由表格可得結(jié)果；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，再分0＜a≤3和a＞3兩種情況求出a的取值范圍即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x+1）（x﹣3），
令f′（x）＝0，得x＝﹣1或x＝3，
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）在區(qū)間R上的變化狀態(tài)如下：
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣1，3）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)0＜a≤3時，f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f（a）＝a3﹣3a2﹣9a+2；
當(dāng)a＞3時，f（x）在[0，3]上單調(diào)遞減，在（3，a]上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（3）＝﹣25．
綜上，當(dāng)0＜a≤3時，f（x）min＝a3﹣3a2﹣9a+2；當(dāng)a＞3時，f（x）min＝﹣25．
【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了分類討論思想，屬中低檔題．
20．（13分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．
【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）＝，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）＝8，得k＝40，進而得到．建造費用為C1（x）＝6x，則根據(jù)隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達式．
（II）方法一：由（I）中所求的f（x）的表達式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費用f（x）的最小值．
方法二：根據(jù)f（x）＝＝，直接利用基本不等式求出f（x）的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為．
再由C（0）＝8，得k＝40，因此．
而建造費用為C1（x）＝6x，
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
（Ⅱ）方法一：，令f'（x）＝0，即．
解得x＝5，（舍去）．
當(dāng)0＜x＜5時，f′（x）＜0，當(dāng)5＜x＜10時，f′（x）＞0，
故x＝5是f（x）的最小值點，對應(yīng)的最小值為．
當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值為70萬元．
方法二：由（Ⅰ）知，f（x）＝，
所以f（x）＝＝﹣10＝70，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝5時取等號，
所以當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值為70萬元．
【點評】函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建?！饽！€原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（?。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（?。┦亲顑?yōu)化問題中，最常見的思路之一．
21．（14分）已知函數(shù)f（x）＝xea﹣x+ex．
（Ⅰ）當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
【分析】（I）求出f′（2），f（2），再利用直線的點斜式方程求出切線方程；
（II）求出f′（x），轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在R上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝1﹣x+ex﹣a+1（x∈R），求出g（x）在x＝a﹣1取得最小值，要使f′（x）≥0，則g（x）≥0在R上恒成立，令3﹣a≥0可得答案．
【解答】解：（I）∵a＝2，∴f（x）＝xe2﹣x+ex，∴f′（x）＝e2﹣x（1﹣x）+e，
∴k＝f′（2）＝1﹣2+e＝e﹣1，
f（2）＝2e2﹣2+2e＝2+2e，
∴y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y﹣2﹣2e＝（e﹣1）（x﹣2），
即（e﹣1）x+4﹣y＝0．
（II）由題意f′（x）＝ea﹣x﹣xea﹣x+e＝（1﹣x+ex﹣a+1）ea﹣x，
若函數(shù)y＝f（x）在R上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0，
因為ea﹣x＞0，即1﹣x+ex﹣a+1≥0在R上恒成立，
令g（x）＝1﹣x+ex﹣a+1（x∈R），g′（x）＝﹣1+ex﹣a+1，
令g′（x）＝0，得x＝a﹣1，
故當(dāng)x∈（a﹣1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（﹣∞，a﹣1）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
故g（x）在x＝a﹣1取得最小值，且g（a﹣1）＝1﹣a+1+e0＝3﹣a，
要使f′（x）≥0，則g（x）≥0在R上恒成立，
所以3﹣a≥0，即a≤3，
故實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，3]．
【點評】本題考査了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和有單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題，解題的關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零，再構(gòu)造函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，屬于難題．
22．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）ex，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a≤0時，證明：函數(shù)f（x）沒有極值點；
（Ⅱ）當(dāng)a＞時，試判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)，并說明理由．
【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)a≤0及x＞0可得f′（x）＞0，從而判斷單調(diào)性即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令h（x）＝1﹣ax2ex（x＞0），則h'（x）＝﹣axex（x+2）（x＞0），由，可得h'（x）＜0，進而有h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得?x0∈（0，1），使h（x0）＝0，從而有f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞減，再利用函數(shù)零點存在定理即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）證明：因為，
所以當(dāng)a?0時，1﹣ax2ex＞0，從而f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）沒有極值點；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令h（x）＝1﹣ax2ex（x＞0），則h'（x）＝﹣axex（x+2）（x＞0），
因為，所以h'（x）＜0，
所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又h（1）＝1﹣ae＜0，當(dāng)x→0+時，h（x）→1，
所以?x0∈（0，1），使h（x0）＝0，
所以當(dāng)x∈（0，x0）時，h（x）＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（x0，+∞）時，h（x）＜0，即f'（x）＜0，所以f（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f（x0）為函數(shù)f（x）的極大值，
又f（x0）＞f（1）＝0，當(dāng)x→0+時，f（x）→﹣∞，當(dāng)x→+∞時，f（x）→﹣∞，
所以?x1∈（0，x0），使f（x1）＝0；?x2∈（x0，+∞），使f（x2）＝0．
所以當(dāng)時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個零點．
【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/4/16 13:40:23；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111x
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