2022北京通州高一（上）期末數(shù)    學(xué)2022年1月第一部分（選擇題  共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則 （A）         （B）          （C）       （D）（2）已知，則“”是“”的（A）充分而不必要條件  （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件    （D）既不充分也不必要條件（3）已知函數(shù)，則（A）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為  （B）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為 （C）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為（D）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為（4）下列各式中，正確的是（A）                          （B）    （C）                  （D）（5）計(jì)算（A） （B）          （C）           （D）（6）已知函數(shù)，則的（A）最小正周期為，最大值為 （B）最小正周期為，最大值為          （C）最小正周期為，最大值為  （D）最小正周期為，最大值為  （7）已知函數(shù)表示為設(shè)，的值域?yàn)?/span>，則（A），        （B），       （C），          （D），
（8）甲、乙兩位同學(xué)解答一道題：“已知，，求的值.”甲同學(xué)解答過程如下：解：由，得. 因?yàn)?/span>，所以. 所以         .  乙同學(xué)解答過程如下：解：因?yàn)?/span>，所以         .則在上述兩種解答過程中（A）甲同學(xué)解答正確，乙同學(xué)解答不正確 （B）乙同學(xué)解答正確，甲同學(xué)解答不正確    （C）甲、乙兩同學(xué)解答都正確           （D）甲、乙兩同學(xué)解答都不正確（9）已知函數(shù)（，，）的圖象如圖所示，則（A）（B）對(duì)于任意，，且，都有 （C），都有（D），使得 （10）已知關(guān)于的方程的根為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（A） （B）           （C）        （D）第二部分（非選擇題  共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）不等式的解集是     ．（12）已知，，則     ；     ．（13）已知，且是第三象限角，則     ；     ．（14）化簡(jiǎn)     ．（15）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積（單位：平方米）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系式為，圖象如圖所示. 則下列結(jié)論：①浮萍蔓延每個(gè)月增長(zhǎng)的面積都相同； ②浮萍蔓延個(gè)月后的面積是浮萍蔓延個(gè)月后的面積的；③浮萍蔓延每個(gè)月增長(zhǎng)率相同，都是％；④浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間與蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和比蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間少.  其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____．  三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）已知二次函數(shù). （Ⅰ）求的對(duì)稱軸；（Ⅱ）若，求的值及的最值.   （17）（本小題14分）已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值； （Ⅲ）若，求證：在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．（18）（本小題15分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）將射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，求的值；（Ⅲ）若點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，求的值.  （19）（本小題13分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最大值，并寫出取得最大值時(shí)自變量的集合；（Ⅱ）把曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.  （20）（本小題14分）某地區(qū)每年各個(gè)月份的月平均最高氣溫近似地滿足周期性規(guī)律，因此第個(gè)月的月平均最高氣溫可近似地用函數(shù)來(lái)刻畫，其中正整數(shù)表示月份且，例如表示月份，和是正整數(shù)，，．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份的月平均最高氣溫基本相同，月份的月平均最高氣溫為攝氏度，是一年中月平均最高氣溫最低的月份，隨后逐月遞增直到月份達(dá)到最高為攝氏度.  （Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）某植物在月平均最高氣溫低于攝氏度的環(huán)境中才可生存，求一年中該植物在該地區(qū)可生存的月份數(shù).  （21）（本小題16分）若函數(shù)的自變量的取值范圍為時(shí)，函數(shù)值的取值范圍恰為，就稱區(qū)間為的一個(gè)“和諧區(qū)間” .（Ⅰ）先判斷“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間””是否正確，再寫出函數(shù)的“和諧區(qū)間”；（直接寫出結(jié)論即可）（Ⅱ）若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.   （i）求的“和諧區(qū)間”；（ii）若函數(shù)的圖象是以在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，是否存在實(shí)數(shù)，使集合恰含有個(gè)元素，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.  
2022北京通州高一（上）期末數(shù)學(xué)參考答案2022年1月一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） （1）D  （2）C  （3）A  （4）C   （5）B  （6）B  （7）A  （8）D  （9）C  （10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11），或 （12）；  （13）；   （14）   （15） ②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本題13分）解：（Ⅰ）因?yàn)槎魏瘮?shù)，所以對(duì)稱軸．                                         ………………4分（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以.所以.                                                      ………………8分所以．                                     因?yàn)?/span>，所以開口向上，有最小值為. 所以的值是，的最小值是，無(wú)最大值.                   ……………… 13分 （17）（本題14分）解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以.  所以.                                                     ………………4分（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以.   所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.                                 ………………6分所以在區(qū)間上的最大值是.所以. 所以在區(qū)間上的最大值是.                           ………………9分（Ⅲ）因?yàn)?/span>，所以.   因?yàn)?/span>，，所以，又在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．                                ………………14分 （18）（本題15分）解：（Ⅰ）因?yàn)榻?/span>的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且，由三角函數(shù)定義，得.  因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以.                                                   ………………5分（Ⅱ）因?yàn)樯渚€繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，所以.                               因?yàn)?/span>，所以.                                                 ……………… 9分（Ⅲ）因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.  連接交軸于點(diǎn)，所以．     所以.   所以的值是.                                     ………………15分 （19）（本題13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以.  所以的最大值，取得最大值時(shí)自變量的集合是. ………………5分（Ⅱ）因?yàn)榘亚€向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，所以.   因?yàn)?/span>，所以.   因?yàn)檎仪€在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，所以.   所以.所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.               ………………13分 （20）（本題14分）解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>月份的月平均最高氣溫最低，月份的月平均最高氣溫最高，所以最小正周期.  所以.  所以，.  因?yàn)?/span>，所以.  因?yàn)?/span>月份的月平均最高氣溫為攝氏度，月份的月平均最高氣溫為攝氏度，所以，.  所以，.   所以的解析式是，，為正整數(shù).   ………………8分（Ⅱ）因?yàn)?/span>，，為正整數(shù).   所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.   因?yàn)槟持参镌谠缕骄罡邭鉁氐陀?/span>攝氏度的環(huán)境中才可生存，且，，所以該植物在1月份，2月份，3月份可生存.  又，所以該植物在11月份，12月份也可生存.  所以一年中該植物在該地區(qū)可生存的月份數(shù)是.                    ………………14分 （21）（本題16分）解：（Ⅰ）正確；.                                            ………………4分（Ⅱ）（i）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以.   因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以. 所以當(dāng)時(shí)，.   設(shè)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，.  所以，.  所以，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，即，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根.  所以，.  所以在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是.   同理可得，在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是.所以的 “和諧區(qū)間”是和.                        ………………9分（ii）存在，理由如下：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是以在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，所以若集合恰含有個(gè)元素，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第三象限.  因?yàn)?/span>與都是奇函數(shù)，所以只需考慮與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).  因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以曲線的兩個(gè)端點(diǎn)為，. 因?yàn)?/span>，所以的零點(diǎn)是，，或.所以當(dāng)的圖象過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)的圖象過點(diǎn)時(shí)，.  所以當(dāng)時(shí)，與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).  所以與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).  所以的取值范圍是.                                    ………………16分

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