2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（人教A版2019必修第一冊(cè)，浙江專(zhuān)用）數(shù)學(xué)期末測(cè)試卷02（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由象限角的知識(shí)結(jié)合充分和必要條件的定義作出判斷.
【解析】當(dāng)是第四象限角時(shí)，，則，即是第二或第四象限角.當(dāng)為第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要條件．
故選：A
2．設(shè)集合,則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是（）
A．1B．3C．4D．8
【答案】C
【分析】由題設(shè)，確定集合、，進(jìn)而判斷元素與集合B的關(guān)系，求B集合的個(gè)數(shù).
【解析】，
由，
因?yàn)椋员貫榧螧的元素，而可能為集合B的元素，
所以集合B的個(gè)數(shù)是.
故選：C
3．周期為的函數(shù)（，）的部分圖像如圖所示，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)周期求得，結(jié)合圖像知，從而求得.
【解析】函數(shù)周期為，則，，
則，，又，
則
故選：C
4．若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得且，將化為求解即可.
【解析】由于關(guān)于的不等式的解集是，
所以則有且，
所以等價(jià)于，
解得，即不等式的解集為．
故選：D.
5．牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后的溫度將滿足，其中是環(huán)境溫度，稱為半衰期.現(xiàn)有一杯的熱茶，放置在的房間中，如果熱茶降溫到，需要10分鐘，則欲降溫到，大約需要（）分鐘.（參考數(shù)據(jù)，）
A．16分鐘B．20分鐘
C．24分鐘D．26分鐘
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件求出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解指數(shù)方程，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及換底公式即可求出結(jié)果.
【解析】根據(jù)題意可得，解得，
所以，即，所以，
故,
故大約需要26分鐘，
故選：D.
6．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，需，求解即可.
【解析】函數(shù)在上遞增，
則函數(shù)在上存在零點(diǎn)，
需，
解得.
故選：B.
7．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題，故只需研究在的單調(diào)性并求出其最小值，再解不等式即可.
【解析】當(dāng)時(shí)，，由，得，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)，
要使，恒成立，只需，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)，
要使，恒成立，只需，解得，不符合題意；
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B
8．函數(shù)，已知為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，直線為圖象的一條對(duì)稱軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心可以得到或，由在上單調(diào)遞減可以得到，算出的大致范圍，驗(yàn)證即可.
【解析】由題意知：或
∴或
∴或
∵在上單調(diào)遞減，∴
∴

①當(dāng)時(shí)，取知
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，
滿足在上單調(diào)遞減，∴符合
取時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合
當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，也舍去
②當(dāng)時(shí)，取知
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)在上單調(diào)遞增，舍去
當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，也舍去
綜上：或2，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度較大，易錯(cuò)點(diǎn)在于已知一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心要分兩種情況分析.
二、多選題
9．下列函數(shù)中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（）
A．B．y＝x2﹣2x+1C．D．
【答案】ACD
【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求每個(gè)函數(shù)的值域得解.
【解析】解：A. 在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞），所以該選項(xiàng)正確；
B. y＝x2﹣2x+1在（0，+∞）上的值域是，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. 在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞），所以該選項(xiàng)正確；
D. 在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞），所以該選項(xiàng)正確.
故選：ACD
10．下列各式的值為1的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.
【解析】錯(cuò)誤；
對(duì)；
對(duì)；，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．下列說(shuō)法正確的是（）
A．與為同一函數(shù)
B．已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且，則恒成立
C．若等式的左、右兩邊都有意義，則恒成立
D．關(guān)于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間
【答案】ABCD
【分析】根據(jù)題意，分別利用函數(shù)的概念，不等式的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和零點(diǎn)存在性定理逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷.
【解析】對(duì)于，因?yàn)楹瘮?shù)與的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，所以是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，因?yàn)閍，b為非零實(shí)數(shù)，且，所以，故選項(xiàng)成立；
對(duì)于，因?yàn)?br>，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖象易知，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，且，
，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且其中一個(gè)在上，故選項(xiàng)正確，
故選：.
12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）
A．若為方程的兩實(shí)數(shù)根，且，則
B．若方程的兩實(shí)數(shù)根都在，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
C．若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求；對(duì)于B，結(jié)合二次方程的實(shí)根分布可求；對(duì)于C，由已知不等式分離參數(shù)可得，然后結(jié)合基本不等式可求；對(duì)于D，由已知結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.
【解析】對(duì)于，因?yàn)闉榉匠痰膬蓪?shí)數(shù)根，即是方程的兩實(shí)數(shù)根，所以滿足，
因?yàn)椋?br>則，此時(shí)，故正確；
對(duì)于B，因?yàn)榉匠痰膬蓪?shí)數(shù)根都在，即方程的兩實(shí)數(shù)根都在，
所以需滿足，可得，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，，則，
即，因?yàn)?，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)閳D像開(kāi)口向上，
，，都有，
所以，即，
解得，
故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
13．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)， .
【答案】3
【分析】代入點(diǎn)的坐標(biāo)，確定冪函數(shù)即可.
【解析】由題可知，則，故當(dāng)時(shí)，.
故答案為：.
14．用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算可知，說(shuō)明該函數(shù)在區(qū)間（8，12）存在零點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)下一次計(jì)算可知（填區(qū)間）.
【答案】
【分析】分別計(jì)算出的值，并判斷正負(fù)，再計(jì)算中點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得答案.
【解析】，
而，則，
故答案為：.
15．已知函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，，則 .
【答案】
【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算取值區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的周期性和奇函數(shù)，可以求出.
【解析】因?yàn)?，所以，
由題意知，
故答案為：
16．已知函數(shù)，且關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，]上有唯—解，則t的取值范圍是 .
【答案】或
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域，畫(huà)出函數(shù)圖象，依題意與有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.
【解析】因?yàn)?，所以，所以，且?dāng)，.
所以其函數(shù)圖象如下所示：
所以與只有一個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，]上有唯—解，結(jié)合函數(shù)圖象可知或.
故答案為：或.
四、解答題
17．已知集合.
（1）若求；
（2）若求的取值集合.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求解集合，根據(jù)交集的定義計(jì)算；（2）由，可得，分別討論為空集和不為空集兩種情況下的范圍，再求并集即為最終范圍.
【解析】解：由，得，
解得，即
當(dāng)時(shí)，，
故.
由，可得
當(dāng)時(shí)，由，解得；
當(dāng)時(shí)，可得，
解得
綜上所述，的取值集合為.
18．（1）計(jì)算：；
（2）計(jì)算：.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則運(yùn)算即可.
【解析】（1）原式=
（2）

19．（1）已知，．求的值：
（2）已知，且，，求角的值：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用與的關(guān)系求解即可，注意角的范圍和符號(hào)；（2）已知的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出的正弦值，需要根據(jù)的范圍確定符號(hào)，然后利用，和兩角和差公式求解即可.
【解析】（1）因?yàn)椋瑑蛇吰椒降茫?br>所以，又，所以，所以，
所以；
（2）因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以，又?br>所以，
所以
，
因?yàn)?，所?
20．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；
（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.
【答案】（1）最小正周期，的最大值為2；（2）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
【解析】分析：（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)得到，再求出函數(shù)的最小正周期和最大值. （2）先求出，再求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.
詳解：（1）
∴的最小正周期，的最大值為2.
（2）∵，∴
由得
得
∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的周期、最值和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
21．2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車(chē)生產(chǎn)設(shè)備，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)分析，全年投入固定成本2500萬(wàn)元，每生產(chǎn)百輛新能源汽車(chē)需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每一百輛車(chē)的售價(jià)為500萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車(chē)輛當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.（注：利潤(rùn)＝銷(xiāo)售額－成本）
(1)求2023年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式.
(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).
【答案】(1)；
(2)年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1800萬(wàn)元.
【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)＝銷(xiāo)售額－成本，結(jié)合分類(lèi)討論思想進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)配方法、基本不等式進(jìn)行求解即可.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，，
所以；
（2）當(dāng)時(shí)，，
所以；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故，
所以當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1800萬(wàn)元.
22．已知函數(shù)，，．若不等式的解集為
(1)求的值及；
(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論．
(3)已知且，若.試證：.
【答案】(1)；
(2)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解集可以得到二次函數(shù)的零點(diǎn)，回代即可求出參數(shù)的值
（2）定義法證明單調(diào)性，假設(shè)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減
（3）單調(diào)性的逆應(yīng)用，可以通過(guò)證明函數(shù)值的大小，反推變量的大小，難度較大
【解析】（1），即，因?yàn)椴坏仁浇饧癁?，所以，解得?，所以
（2）函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：
假設(shè)，則
，
因?yàn)椋?，所以，即?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增
（3）由（2）可得：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，因?yàn)?，且，，所以，?br>證明，即證明，即證明，因?yàn)椋约醋C明，代入解析式得：，即
，令，因?yàn)樵趨^(qū)間上的單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)可知，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，即，所以在區(qū)間上恒成立，即，得證：
【點(diǎn)睛】小問(wèn)1求解析式，較易；小問(wèn)2考察定義法證明單調(diào)性，按照常規(guī)方法求解即可；小問(wèn)3難度較大，解題過(guò)程中應(yīng)用到以下知識(shí)點(diǎn)：
（1）可以通過(guò)證明函數(shù)值的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，反推出變量的大小，即若，且單減，則；解題過(guò)程
（2）單調(diào)性的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)同增異減以及增函數(shù)減去減函數(shù)為增函數(shù)

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