一、單選題
1．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為
A．4B．2C．1D．
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線方程中的幾何意義進(jìn)行求解即可．
【解析】拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為：．
故選：C.
【點睛】本題考查對拋物線方程及對的幾何意義的理解，屬于基礎(chǔ)題．
2．圓的方程為，則該圓的圓心和半徑分別為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】將圓的一般方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)即可得出答案.
【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓的圓心為，半徑為.
故選:C
3．已知空間的一組基底，若與共線，則的值為（ ）．
A．2B．C．1D．0
【答案】D
【分析】根據(jù)空間向量基本定理，由向量共線的條件，列方程求.
【解析】因為與共線，空間的一組基底，
所以，
所以，解得，
所以.
故選：D.
4．若直線與直線互相垂直，則的最小值為（ ）
A．B．3C．5D．
【答案】C
【分析】由兩直線垂直得關(guān)系后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解，
【解析】因為直線與直線互相垂直，
所以，化簡得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最小值為5，
故選：C
5．在三棱錐中，平面平面是的中點.，則二面角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
【解析】平面平面，且 為交線，，平面，
平面，
以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為，在Rt中，，
所以，.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，則.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，則.
設(shè)二面角的平面角為，
則.
故選：C
6．已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點，為的上頂點．若，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)離心率及，建立關(guān)于的等式即可得解.
【解析】顯然離心率，解得，即，
分別為C的左右頂點，B為上頂點，則，，
于是，而，
即，又，因此聯(lián)立解得，
所以橢圓的方程為.
故選：B
7．已知拋物線，焦點為F，點M是拋物線C上的動點，過點F作直線的垂線，垂足為P，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】由條件確定點的軌跡，結(jié)合拋物線的定義，圓的性質(zhì)求的最小值.
【解析】∵ 拋物線的方程為，
∴ ，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
∵ 方程可化為，
∴過定點，
設(shè)，設(shè)的中點為，則，因為，為垂足，
∴，所以，
即點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則,
∴ ,，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且在之間時等號成立，
∴ ，
過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線且在之間時等號成立，
所以的最小值為，
故選：A.
8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點.若圓上存在唯一點，使得直線在軸上的截距之積為5，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．和D．和
【答案】C
【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)直線在軸上的截距之積列方程，根據(jù)唯一性求得的值.
【解析】圓的圓心在直線上，半徑為，所以在圓外，
設(shè)，其中且，
直線的方程為，縱截距為，
直線的方程為，縱截距為，
依題意有，整理得，
所以在圓上，圓心為，半徑為.
則圓與圓有且只有一個公共點，
則兩圓外切或內(nèi)切，或圓與圓相交，且其中一個交點的橫坐標(biāo)為，
當(dāng)兩圓外切或內(nèi)切時：
圓的圓心為，半徑為，
則或，
前者無解，后者解得.
當(dāng)圓與圓相交，且其中一個交點的橫坐標(biāo)為時，
，將代入，
得.

綜上所述，的值為或.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點睛：求直線方程時，可以根據(jù)已知條件，利用合適的求法來求，如本題中，已知兩點，則可以考慮兩點式，也可以考慮點斜式來求解.圓有關(guān)的問題，可考慮方程的思想，如本題中“截距之積”，這就是一個方程，也即是一個等量關(guān)系式，是解題的突破口.
二、多選題
9．下列說法中，正確的是（ ）
A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是8
B．過兩點的直線方程為
C．過點且與直線相互平行的直線方程是
D．經(jīng)過點且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為
【答案】AC
【分析】由題意逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．
【解析】對A，直線x﹣y﹣4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是×4×4＝8，故A正確；
對B，當(dāng)x2＝x1或y2＝y(tǒng)1時，式子＝無意義，故B不正確；
對C，與直線平行，所求直線設(shè)為，將點代入得，所以所求直線為，即，故C正確；
對D，經(jīng)過點（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣3＝0或y＝2x，故D錯誤，
故選：AC．
10．已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（ ）
A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
【答案】ABD
【分析】轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.
【解析】圓心到直線l的距離，
若點在圓C上，則，所以，
則直線l與圓C相切，故A正確；
若點在圓C內(nèi)，則，所以，
則直線l與圓C相離，故B正確；
若點在圓C外，則，所以，
則直線l與圓C相交，故C錯誤；
若點在直線l上，則即，
所以，直線l與圓C相切，故D正確.
故選：ABD.
11．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則（ ）
A．直線平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是
D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
【答案】ABD
【分析】以為坐標(biāo)原點，以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點，由線面垂直、平行和三棱錐的體積公式和線面角的求法，可得結(jié)論．
【解析】在正方體中，平面，，
則以為坐標(biāo)原點，以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，，，
對于A，，，，
因為，，
即，，
又，且平面，平面，
所以直線平面，故A正確；
對于B，在正方體中，，
又平面，平面， 可得平面，
點在線段上運動，所以點到平面的距離即為到平面的距離，也即為點到平面的距離，且為定值，而的面積為定值，
則三棱錐的體積為定值，故B正確；
對于C，，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角．易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點時，；
當(dāng)與點或重合時，直線與直線的夾角為；故異面直線與 所成角的取值范圍是，故C錯誤；
對于D，設(shè)，，由A選項正確，可知是平面的一個法向量，
直線與平面所成角的正弦值為：，
當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確．
故選：ABD．
12．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，為頂點，，為焦點，為橢圓上一點，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（ ）
A．2=2
B．
C．軸，且
D．四邊形的內(nèi)切圓過焦點，
【答案】BD
【分析】對每個命題如果是正確的求出各個命題所在的橢圓的離心率即可．
【解析】,由條件得到，即或（舍，解得：，所以不正確；
,若，則由射影定理可得：，
即，所以，即，，
解得；所以正確；
，若軸，如圖可得，又，則斜率相等，所以，即，或，顯然不符合，
所以，所以不正確；
，因為四邊形為菱形，若命題正確則內(nèi)切圓的圓心為原點，由圓的對稱性可知，
圓心到直線的距離等于，
因為直線的方程為：，即，所以原點到直線的距離，
由題意知：，又，整理得：，，，
解得，
所以，所以正確，
故選：．
三、填空題
13．若焦點在x軸上的橢圓的焦距為4，則 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系得到關(guān)于m的方程，解方程得到m的值.
【解析】因為橢圓的焦點在x軸上且焦距為4，
所以，
解得.
故答案為：4.
14．已知點為圓上的動點，則點到直線的距離的最小值為
【答案】
【分析】結(jié)合圓心到直線的距離以及半徑求得正確答案.
【解析】圓心，半徑，
圓心到直線的距離等于，
故圓上的動點到直線的距離的最小值為．
故答案為：
15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若雙曲線的漸近線上存在點，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意可得點在以為圓心，為半徑的圓上，再結(jié)合點又在漸近線上，故漸近線和圓要有公共點，利用圓心到直線的距離小于等于半徑，即可求得離心率的取值范圍.
【解析】設(shè)，則，化簡得，所以點在以為圓心，為半徑的圓上，又因為點在雙曲線的漸近線上，所以漸近線與圓有公共點，所以，解得，即，所以雙曲線離心率的取值范圍是.
【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和圓、直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.
16．已知單位空間向量滿足．若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)的最小值是2，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.
【解析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，
由可設(shè)，由是單位空間向量可得，
由可設(shè)，
，
當(dāng)，的最小值是2，所以 ，取，
，
，
當(dāng)時，最小值為.
故答案為：.
四、解答題
17．已知點.
(1)求過點A且與平行的直線方程；
(2)求過點A且與垂直的直線方程；
(3)若中點為，求過點A與的直線方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出的斜率，利用點斜式求直線即可；
（2）求出與垂直的直線的斜率，利用點斜式求解即可；
（3）利用中點公式求解中點坐標(biāo)，再確定兩點斜率利用點斜式求解即可.
【解析】（1）解：∵，
∴過點A且與平行的直線方程為，即；
（2）解：過點A且與垂直的直線的斜率為，
所以所求直線方程為，即；
（3）解：中點，
∴過點A與的直線方程，即.
18．已知圓：與圓：.
(1)若圓與圓外切，求實數(shù)m的值;
(2)在(1)的條件下，若直線l過點(2，1)，且與圓的相交弦長為，求直線l的方程.
【答案】(1)m=5
(2)或
【分析】（1）根據(jù)兩圓外切，兩圓心之間的距離等于兩圓半徑之和可得；
（2）先根據(jù)弦長求出圓心到直線的距離，然后分斜率存在和不存在兩種情況討論，利用點到直線的距離公式可得.
【解析】（1）圓：，則，半徑r1=1，
由圓：，得，
則 ，半徑.∵圓與圓外切，
∴，∴，解得m=5.
（2）由(1)得m=5，圓的方程為，
則，r2=2.由題意可得圓心到直線l的距離，
當(dāng)直線l斜率不存在時，直線方程為x=2，符合題意;
當(dāng)直線l斜率為k時，則直線方程為，
化為一般形式為，則圓心(3，0)到直線l的距離，
解得k=0，得直線方程為y=1.
綜上，直線l的方程為或.
19．已知幾何體ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四邊形ABCD是邊長為4的菱形.∠BCD=60°，四邊形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.
(1)求證：AC⊥BE：
(2)求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線，由線線垂直得到線面垂直，進(jìn)而證明出AC⊥BD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角的余弦.
【解析】（1）連接BD，
因為四邊形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
因為平面ABCD⊥平面CDEF，交線為CD，ED⊥CD，ED平面CDEF，
所以ED⊥平面ABCD，
因為AC平面ABCD，
所以ED⊥AC，
因為BDED=D，
所以AC⊥平面BDE，
因為BE平面BDE，
所以AC⊥BD
（2）取BC的中點G，連接DG，BD，
因為∠BCD=60°，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，
所以DG⊥BC，因為AD∥BC，所以DG⊥AD，
以D為坐標(biāo)原點，DA所在直線為x軸，DG所在直線為y軸，DE所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面BCF的法向量為，
則，解得：，令，
則，
平面ADE的法向量為，
設(shè)平面ADE與平面BCF所成角為，顯然為銳角，
則
20．如圖，已知拋物線與圓交于四點，直線與直線相交于點．

(1)求的取值范圍；
(2)求點的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）拋物線方程聯(lián)立圓的方程消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系和判別式可解；
（2）利用韋達(dá)定理可得，由直線和斜率相等可解.
【解析】（1）圓的方程可化為．
將拋物線的方程代入圓的方程有整理得，
由題意可知有兩個正根，
所以解得，
故的取值范圍為；
（2）設(shè)點的坐標(biāo)分別為，
由對稱性可知，點在軸上，設(shè)點的坐標(biāo)為，
由（1）可知，得，
所以，
因為直線的斜率為，直線的斜率為，
所以，即，
所以，可得，
又由，有，
故點的坐標(biāo)為．
21．四棱柱中，底面為正方形，面，點M，N，Q分別為棱的中點．
(1)求證：平面∥平面；
(2)若，棱上存在點P，使得二面角的余弦值為，求的值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）先證明分別與面平行，再由面面平行的判定定理證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【解析】（1）∵分別為棱中點，
，，
四邊形MQBD為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面，
∵N為棱AD的中點，，
又，，
∵平面，平面，
平面.
又，平面，
平面∥平面.
（2）由題意知兩兩垂直，以為原點，方向分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)（），，
則，
故，，
設(shè)，則由可得， ，
則
設(shè)平面的一個法向量為，則，
取，則，
設(shè)平面MNQ的一個法向量為，則，
取，則，
由題知，
解得或（與矛盾，舍去），
故，即.
22．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線有公共頂點，且的短軸長為2，的一條漸近線為.
(1)求，的方程：
(2)設(shè)是橢圓上任意一點，判斷直線與橢圓的公共點個數(shù)并證明；
(3)過雙曲線上任意一點作橢圓的兩條切線，切點為、，求證：直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形面積為定值，并求出該定值.
【答案】(1)，
(2)只有一個公共點，證明見解析
(3)證明見解析，2
【分析】（1）由題知雙曲線焦點在軸上，橢圓焦點在軸上，再設(shè)出方程，待定系數(shù)求解即可；
（2）聯(lián)立方程，結(jié)合解方程判斷即可；
（3）設(shè)，，進(jìn)而結(jié)合（2）中的結(jié)論得直線的方程為，再與雙曲線的漸近線聯(lián)立，求解，計算點到直線的距離，進(jìn)而計算面積即可.
【解析】（1）解：由題，雙曲線的頂點為，所以雙曲線焦點在軸上，
設(shè)雙曲線方程為，
因為的一條漸近線為
所以，，解得，
所以雙曲線方程為
又因為橢圓的短軸長為2，
所以橢圓焦點在軸上，
設(shè)橢圓方程為，
所以，，.即橢圓方程為.
（2）解：根據(jù)題意，聯(lián)立方程得
又因為，所以，，
所以，變形為，解得.
所以，方程組只有一解
所以，直線與橢圓只有一個公共點.
（3）解：設(shè)，
由（2）知，直線與橢圓只有一個公共點.
所以，直線是過點的橢圓的切線方程.
所以，直線方程為，點在直線上，故
直線方程為，點在直線上，故
所以，直線的方程為，即.
由得
由得
所以
又點到直線的距離
又
所以，所圍三角形面積為定值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問解題的關(guān)鍵在于結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到過點，的切線方程，進(jìn)而得直線的方程，再與雙曲線的漸近線聯(lián)立放求解得，，再計算面積即可.
知識點補(bǔ)充題．．在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為．設(shè)曲線C上任意一點滿足（且）．
(1)求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀；
(2)對的兩個不同取值，記對應(yīng)的曲線為．
（i）若曲線關(guān)于某直線對稱，求的積；
（ii）若，判斷兩曲線的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1),表示圓.
(2)（i）;（ii）內(nèi)含
【分析】(1)利用求軌跡方程的辦法求出軌跡方程即可；(2)(i)利用兩圓半徑相等求解；(2)根據(jù)兩圓圓心距和半徑差的大小關(guān)系即可確定位置關(guān)系.
【解析】（1）由兩點間的距離公式可得
平方整理得
又因為且，所配方整理得
因為且，所以此曲線表示圓.
（2）（i）曲線關(guān)于某直線對稱,所以兩圓的半徑相等，
即，平方整理得
即，因為，且且，
所以.
（ii）兩圓圓心間的距離
兩圓的半徑差
而
所以，所以兩圓內(nèi)含.

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2023-2024學(xué)年全國名校高二上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分?jǐn)?shù)學(xué)沖刺卷（人教A版2019選擇性必修第一冊，浙江專用）期中測試卷01（測試范圍：第1-3章）+Word版含解析
2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（人教A版2019選擇性必修第一冊，浙江專用）02（Word版附解析）

2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（人教A版2019選擇性必修第一冊，浙江專用）02（Word版附解析）
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