（2024.1）
本試題卷共6頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
考生注意：
1．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.
2．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)榧希?br>所以.
故選：B.
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式，求解即可.
【詳解】由誘導(dǎo)公式，且，
可得，即.
故選：D.
3. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的解析式可求得的值.
【詳解】因?yàn)椋瑒t.
故選：B.
4. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法，得出的等價(jià)條件，再分析充分性和必要性，即可得出結(jié)論.
【詳解】由于，則成立，等價(jià)于成立，
充分性：若，且，則，則，
所以成立，滿足充分性；
必要性：若，則成立，
其中，且，
則可得成立，即成立，滿足必要性；
故選：C.
5. 已知都是銳角，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，結(jié)合同角三角關(guān)系以及兩角和差公式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)槎际卿J角，則，
則，
所以
.
故選：B.
6. 設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡各選項(xiàng)中函數(shù)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?br>對(duì)于A選項(xiàng)，，
令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，則為奇函數(shù)，A滿足要求；
對(duì)于B選項(xiàng)，
，
令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，
所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，B不滿足條件；
對(duì)于C選項(xiàng)，
，
令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，
所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，C不滿足條件；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，
所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，D不滿足要求.
故選：A.
7. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是等腰直角三角形，為圖象與軸的交點(diǎn)，為圖象上的最高點(diǎn)，且，則（ ）
A B.
C. 在上單調(diào)遞減D. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)為圖象上的最高點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，為等腰直角三角形可以求出，進(jìn)而求出周期，即求出，將點(diǎn)代入即可求出，從而確定函數(shù)解析式，再逐項(xiàng)判斷.
【詳解】由為等腰直角三角形，為圖象上的最高點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，
所以．
則函數(shù)的周期為4，由，，可得，
又，所以，則，
將點(diǎn)代入，得，
則，．而，則，
所以,
則，A錯(cuò)誤；
，B錯(cuò)誤；
若，則，顯然函數(shù)不是單調(diào)的，C錯(cuò)誤；
，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，D正確.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，，若，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得出，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，即可得出，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，
，因?yàn)?，其中?br>所以，，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最大值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用指對(duì)同構(gòu)思想結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得出，將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. 的圖象經(jīng)過點(diǎn)
C. 在上單調(diào)遞增D. 不等式的解集為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，代入法確定函數(shù)解析式，從而依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
則，得，所以冪函數(shù)，所以A正確；
又，即的圖象經(jīng)過點(diǎn)，B正確；
且在上單調(diào)遞增，C正確；
不等式，即，解得，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 已知，，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用特殊值法可判斷A選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，，則，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，且，則，可得，
所以，，則，
因?yàn)?，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，，D對(duì).
故選：CD.
11. 已知函數(shù)，值域?yàn)?，則（ ）
A. B. 的最大值為1
C. D. ，使得函數(shù)的最小值為
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)于A，利用換元法與二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于B，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于C，利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于D，結(jié)合ABC選項(xiàng)的結(jié)論，求得，從而得以判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，?br>今，則，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，則且，
故，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，，
所以最大值為1，故B正確；
對(duì)于C；因?yàn)椋?，則，
即，所以，
由選項(xiàng)B又知與的最大值都為，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又，
所以當(dāng)時(shí)，，又，易知，
故不可能存在使最小值為，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，從而得解.
12. 設(shè)定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A. B.
C. D. 為偶函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】由題意可得可判斷A；由可得，列方程組，解出可判斷B；由函數(shù)的周期性、對(duì)稱性和對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C；由得可判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
即關(guān)于對(duì)稱，又是定義在上的函數(shù)，則，故A正確；
選項(xiàng)B：由可得，則有，
故B正確；
選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，即的周期?；
因?yàn)椋矗?br>所以；
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，
則，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由得，
即為偶函數(shù)，故D正確．
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性常有以下結(jié)論
（1）關(guān)于軸對(duì)稱，
（2）關(guān)于中心對(duì)稱，
（3）的一個(gè)周期為，
（4）的一個(gè)周期為.
可以類比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 一個(gè)扇形的弧長和面積都是，則這個(gè)扇形的半徑為________．
【答案】
【解析】
【分析】由扇形的面積公式求解即可.
【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，
所以，，解得：.
故答案為：.
14. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
詳解】，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故答案為：.
15. 海洋潮汐是在太陽和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的現(xiàn)象．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，停靠碼頭；在落潮時(shí)離開港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（單位：）與時(shí)間（單位：）之間滿足關(guān)系式：，且當(dāng)?shù)爻毕兓闹芷跒椋F(xiàn)有一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與洋底的距離）．若該船計(jì)劃在當(dāng)天下午到達(dá)港口，并在港口停靠一段時(shí)間后于當(dāng)天離開，則它最多可停留________h．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)周期性可得，令，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析求解即可.
【詳解】由題意可得：，則，
令，則，
可得，解得，
設(shè)該船到達(dá)港口時(shí)刻為，離開港口時(shí)刻為，可知，
則，即，
所以最多可停留時(shí)長為小時(shí).
故答案為：.
16. 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】令，則只有一個(gè)零點(diǎn)，即，據(jù)此即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋睿?br>則只有一個(gè)零點(diǎn)，
且該零點(diǎn)為正數(shù)，，
根據(jù)函數(shù)和的圖象及凹凸性可知，
只需滿足即可，即：，
又因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題令，則只有一個(gè)零點(diǎn)，即的分析.
四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合．
（1）求集合；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求解，從而可得或，從而可求解.
（2）分別求出，，再利用集合的并集運(yùn)算從而可求解.
【小問1詳解】
由題意得，解得或，所以或.
【小問2詳解】
由（1）可得，，
所以.
18. 如圖，以為始邊作角與，它們的終邊與單位圓分別交于、兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)的定義可得出的正弦值和余弦值，分析可得，利用誘導(dǎo)公式可求得的值，由此可得出的值；
（2）利用誘導(dǎo)公式求出的值，可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【小問1詳解】
解：由三角函數(shù)的定義可得，，
將因?yàn)椋医?、終邊與單位圓分別交于、兩點(diǎn)，且，
結(jié)合圖形可知，，故.
故.
【小問2詳解】
解：由（1）可知，且，
故，根據(jù)二倍角公式得．
19. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的定義域，并根據(jù)定義證明函數(shù)是增函數(shù)；
（2）若對(duì)任意，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）定義域?yàn)?，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，可得出關(guān)于的不等式組，即可解得函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；
（2）分析可知，，由可得出，結(jié)合參變量分離法可得出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：對(duì)于函數(shù)，則，可得，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>證明單調(diào)性：設(shè)，
則有，
，
由于，所以，，，
并且
，則，
于是，
所以，即：，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
所以不等式恒成立等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，
等價(jià)于在恒成立．
由可得，所以，，
則，
于是實(shí)數(shù)的取值范圍是．
20. 噪聲污染問題越來越受到人們重視．我們常用聲壓與聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，其中聲壓（單位：）是指聲波通過介質(zhì)傳播時(shí)，由振動(dòng)帶來的壓強(qiáng)變化；而聲壓級(jí)（單位：）是一個(gè)相對(duì)的物理量，并定義，其中常數(shù)為聽覺下限閾值，且．
（1）已知某人正常說話時(shí)聲壓的范圍是，求聲壓級(jí)的取值范圍；
（2）當(dāng)幾個(gè)聲源同時(shí)存在并疊加時(shí)，所產(chǎn)生的總聲壓為各聲源聲壓的平方和的算術(shù)平方根，即．現(xiàn)有10輛聲壓級(jí)均為的卡車同時(shí)同地啟動(dòng)并原地急速，試問這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級(jí)是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）因?yàn)槭顷P(guān)于的增函數(shù)結(jié)合聲壓的范圍是，即可得出答案；
（2）由題意可得出求出，代入可求出總聲壓，再代入，求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)槭顷P(guān)于的增函數(shù)，
所以正常說話時(shí)聲壓級(jí)．
【小問2詳解】
由題意得：（其中）
總聲壓：
故這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級(jí)．
21. 設(shè)函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到曲線，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱．
（1）求的值；
（2）若直線與曲線在區(qū)間上從左往右僅相交于三點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：利用三角恒等變換化簡可得，根據(jù)圖象變換結(jié)合對(duì)稱性分析求解；方法二：利用三角恒等變換化簡可得，由題意可知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性分析求解；
（2）方法一：根據(jù)題意結(jié)合圖象可知：且，進(jìn)而結(jié)合對(duì)稱性分析求解；方法二：根據(jù)題意結(jié)合圖象可知：且，，可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【小問1詳解】
方法一：因?yàn)?br>，
由題意可知：曲線為函數(shù)
因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，
又因?yàn)?，所以?br>方法二：因?yàn)?br>，
由題意可知：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，
則，解得，
又因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
方法一：由（1）可知：，
根據(jù)函數(shù)在上的圖象，如圖所示：

設(shè)
可知：且，
由，得①，
又因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則②
由①②可得，
于是；
方法二：由（1）可知：，
設(shè)，
根據(jù)函數(shù)在上的圖象，如圖所示：

由題意可知：，且，
又因?yàn)?，得，則，
而，即，
可得，
令，則，可得，即，
故．
22. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)在上的值域；
（2）若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不等實(shí)根，且，求的最大值，并求出此時(shí)實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）
（2）12，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)和的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可求解；
（2）構(gòu)造，根據(jù)，可得關(guān)于直線對(duì)稱，進(jìn)而可得，即可代入化簡得的表達(dá)式，即可結(jié)合二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
【小問1詳解】
若，
因?yàn)楹瘮?shù)和均在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，
所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br>【小問2詳解】
，
顯然：當(dāng)時(shí)，，
由于方程有三個(gè)不等實(shí)根，所以必有，
令，則，顯然有，
由，
得到，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，
由，可得：，
于是，
，
①，
由可得：②，
將②代入①式可得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
由于恰有三個(gè)不等實(shí)根，且，
所以，此時(shí)，
由可得，
故.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：
（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時(shí)可以用等量消元，也可以用不等量消元.
（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時(shí)可以利用基本不等式來處理，用這個(gè)方法時(shí)要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
（3）線性規(guī)劃：如果題設(shè)給出的是二元一次不等式組，而目標(biāo)函數(shù)也是二次一次的，那么我們可以用線性規(guī)劃來處理.

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