【期中沖刺】?？几哳l考點(diǎn)突破卷
（考試范圍：第一章~第二章 考試時(shí)間：90分鐘 試卷滿分：120分）
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
本卷試題共三大題，共25小題，單選10題，填空8題，解答7題，限時(shí)90分鐘，滿分120分，本卷題型精選核心?？贾仉y易錯(cuò)典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！
一、選擇題：本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（2022·浙江西湖·九年級(jí)期末）已知點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)，且⊙O的半徑為3，則OA可能為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系，即可判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑，則點(diǎn)在圓上；點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，則點(diǎn)在圓外．
【詳解】解：∵點(diǎn)A為⊙O外的一點(diǎn)，且⊙O的半徑為3，
∴線段OA的長(zhǎng)度＞3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系：點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，則點(diǎn)在圓外．
2．（2022·浙江西湖·九年級(jí)期末）若一個(gè)扇形的圓心角是90°，面積為π，則這個(gè)扇形的半徑是（ ）
A．2B．4C．2πD．4π
【答案】A
【分析】直接代入扇形的面積公式即可得出答案．
【詳解】解：由題意可得：，
∴扇形的半徑為2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式．
3．（2020·上海普陀·期末）如果一弧長(zhǎng)是其所在圓周長(zhǎng)的，那么這條弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為（ ）
A．15度B．16度C．20度D．24度
【答案】C
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式的關(guān)系即可得出答案
【詳解】解：∵一弧長(zhǎng)是其所在圓周長(zhǎng)的，
∴
∴
∴這條弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·浙江西湖·九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線BD垂直平分半徑OC，若∠ABD＝45°，則∠ADC＝（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
【答案】B
【分析】設(shè)BD交OC于E，連接OD，OA，求出OE=OD，求出∠ODE=30°，求出∠ODC=60°，根據(jù)圓周角定理求出∠AOD，求出∠ADO=∠OAD=45°，再求出答案即可．
【詳解】解：設(shè)BD交OC于E，連接OD，OA，
∵BD垂直平分OC，
∴OE=OC=OD，∠OED=90°，
∴∠ODE=30°，
∴∠DOC=90°-30°=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOD=2∠ABD=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD=（180°-∠AOD）=45°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=45°+60°=105°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的定義，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠AOD和∠ODC的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
5．（2021·山東日照·九年級(jí)期中）如圖，AB是的直徑，點(diǎn)C在上，連接AC、BC，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)D，點(diǎn)C、D在AB的異側(cè)．若，則的度數(shù)是（ ）
A．66°B．67°C．57°D．48°
【答案】C
【分析】先求出，得出，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，再由圓周角定理求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：連接，如圖所示：
，
，
是的直徑，
，
．
，
，
，
；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理的內(nèi)容．
6．（2022·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．則△ABC的外心坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到直線BC∥y軸，則直線BC的垂直平分線為直線y=1，再由外心的定義可知△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，則設(shè)△ABC的外心為P（a，-1），利用兩點(diǎn)距離公式和外心的性質(zhì)得到，由此求解即可．
【詳解】解：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2， 3），
∴直線BC∥y軸，
∴直線BC的垂直平分線為直線y=1，
∵外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，
∴△ABC外心的縱坐標(biāo)為1，
設(shè)△ABC的外心為P（a，1），
∴，
∴，
解得，
∴△ABC外心的坐標(biāo)為（-2， 1），
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點(diǎn)距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．
7．（2021·山東臨沭·九年級(jí)期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，圓心坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．
【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，
可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．
如圖所示，則圓心是（2，0）．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．
8．（2022·浙江北侖·九年級(jí)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一個(gè)經(jīng)典的“圓材埋壁”問(wèn)題： “今有圓材埋壁中，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何? "意思是： 如圖，CD是⊙O的直徑， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長(zhǎng)是 （ ）寸
A．20B．23C．26D．30
【答案】C
【分析】連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DP垂直AB得到點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，由AB=6可求出AP的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑OA為x，表示出OP，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程直接可得2x的值，即為圓的直徑．
【詳解】解：連接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10寸，
∴AP=BP=5寸，
設(shè)圓O的半徑OA的長(zhǎng)為x，則OC=OD=x，
∵CP=1，
∴OP=x-1，
在直角三角形AOP中，根據(jù)勾股定理得：
x2-（x-1）2=52，化簡(jiǎn)得：x2-x2+2x-1=25，
即2x=26，
∴CD=26（寸）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．
9．（2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，，，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)F，則圖中陰影部分面積為（ ）．（結(jié)果保留）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】連接BE．則陰影部分的面積=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形BCE，根據(jù)題意知BE=BC=4，則∠AEB=∠EBC=30°，AE=，進(jìn)而求出即可．
【詳解】解：如圖，連接BE，
則BE=BC=4，
在Rt△ABE中，AB=2、BE=4，
∴∠AEB=∠EBC=30°，AE=，
則陰影部分的面積=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形BCE
=2×4-×2×-
=8--，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積求法，本題中能夠?qū)⒉灰?guī)則圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形的面積差是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·山東安丘·九年級(jí)期末）某停車(chē)場(chǎng)入口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO＝3m，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝40°，則AO部分掃過(guò)的圖形面積為（ ）
A．m2B．m2C．2πm2D．πm2
【答案】D
【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意得
AO部分掃過(guò)的圖形面積=m2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，R是扇形半徑，n是弧所對(duì)圓心角度數(shù)，π是圓周率，那么扇形的面積為：．
二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。
11．（2022·江蘇·南京市金陵匯文學(xué)校九年級(jí)期末）中，，，點(diǎn)I是的內(nèi)心，點(diǎn)O是的外心，則______．
【答案】14.3
【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，由等腰三角形得點(diǎn)I、點(diǎn)O都在直線AD上，連接OB、OC，過(guò)點(diǎn)I作交于點(diǎn)E，設(shè)，，根據(jù)勾股定理求出，則，，由勾股定理求出R的值，證明由相似三角形的性質(zhì)得，求出r的值，即可計(jì)算．
【詳解】解：
如圖，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，
∵，，
∴是等腰三角形，
∴，
∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，點(diǎn)O是的外心，
∴點(diǎn)I、點(diǎn)O都在直線AD上，
連接OB、OC，過(guò)點(diǎn)I作交于點(diǎn)E，
設(shè)，，
在中，，
∴，，
在中，，
解得：，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案為：14.3．
【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)切圓與外接圓，等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握內(nèi)切圓的圓心為三角形三條角平分線的交點(diǎn)，外接圓圓心為三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
12．（2021·上海市彭浦初級(jí)中學(xué)期末）如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)是1的等邊三角形ABC，將它沿直線l作順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，求滾動(dòng)100次，B點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程____________．（結(jié)果保留）
【答案】
【分析】如圖找規(guī)律，路程為計(jì)算求解即可．
【詳解】解：如圖，
，，，
滾動(dòng)100次，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)．解題的關(guān)鍵在于找出滾動(dòng)過(guò)程中的規(guī)律．
13．（2020·浙江北侖·九年級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD＝AP＝8，則⊙O的直徑為 _____．
【答案】
【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CP，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于R的方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：連接OC，
∵AB⊥CD，AB過(guò)圓心O，CD＝8，
∴CP＝DP＝4，
設(shè)⊙O的半徑為R，
∵AP＝8，
∴OP＝8﹣R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，
即（8﹣R）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴⊙O的直徑為2×5＝10，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理及勾股定理，熟記兩個(gè)定理的計(jì)算及正確應(yīng)用解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·黑龍江省八五四農(nóng)場(chǎng)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，PB與⊙O相切于點(diǎn)B，OP與⊙O相交于點(diǎn)A，∠P＝30°，若⊙O的半徑為2，則OP的長(zhǎng)為 _____．
【答案】4
【分析】連接OB，利用切線性質(zhì)，判定三角形POB是直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)，確定PO的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：如圖，連接OB，
∵PB與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠PBO＝90°，
∵∠P＝30°，OB=2，
∴PO=4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·江蘇興化·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在第四象限的⊙M上，且∠AOC=60°，OC=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是___________．
【答案】（，）##（，）
【分析】連接AC，AB，BC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OA于H，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理在Rt△OCH中，先后求得OH，CH，AH，再在Rt△ACH中，求得AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理構(gòu)建方程求得BC，AB，再在Rt△AOB中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：連接AC，AB，BC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥OA于H，
∵∠AOC=60°，則∠OCH=30°，且OC=3，
∴OH=OC=，CH=，
∵點(diǎn)A(4，0)，
∴AO=4，
∴AH= AO- OH=，
在Rt△ACH中，
AC=，
∵∠BOA=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴∠BCA=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠ABC=60°，則∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，BC=AB，
AB2=AC2+BC2，即AB2=()2+(AB)2，
∴AB2=，
在Rt△AOB中，OB2=AB2- AO2=，
∴OB=，
點(diǎn)B的坐標(biāo)是：（，）．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．
16．（2020·浙江鎮(zhèn)海·九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝10，點(diǎn)C為⊙O上半圓的一點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠OCE的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，弦AC＝6，那么△ACD的面積是_______．
【答案】21
【分析】連接OD，作AG⊥CD于G，利用角平分線定義、直徑所對(duì)的圓周角為直角與余角的性質(zhì)推得∠ACD為45°，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)求出AG和CG的長(zhǎng)，再利用垂徑定理得出∠AOD＝90°，于是由等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD的長(zhǎng)度，則由勾股定理可求GD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)，現(xiàn)知△ACD的底和高，則其面積可求．
【詳解】解：如圖，連接OD，BD，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD于G，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵OC＝OB，
∵∠CBO＝∠BCO，
∴∠ACE＝∠BCO，
∵CD平分∠ECO，
∴∠ECD＝∠OCD，
∴∠ACE+∠ECD＝45°，
∵AC＝6，
∴AG＝CG＝3，
∵∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD，
∴OD⊥OA，
∴OA＝OD，
∵AB＝10，
∴AD＝OA＝5，
∴DG＝，
∴CD＝CG+GD＝3+4＝7，
∴△ACD的面積＝×CD×AG＝×7×3＝21．
故答案為：21．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義，直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理三角形面積，掌握角平分線定義，直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理三角形面積是解題關(guān)鍵．
17．（2022·福建省福州延安中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以點(diǎn)A為圓心作圓弧，與BC相切于點(diǎn)D，且分別交邊AB，AC于點(diǎn)EF，則扇形AEF的面積為 _____．（結(jié)果保留π）
【答案】##
【分析】先判斷出△ABC是等腰直角三角形，從而連接AD，可得出AD=1，直接代入扇形的面積公式進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解：∵AB=AC=，BC=2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
連接AD，則AD=BC=1，
則S扇形AEF=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積計(jì)算、勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是得出AD的長(zhǎng)度及∠BAC的度數(shù)．
18．（2022·北京豐臺(tái)·九年級(jí)期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小東想測(cè)算一個(gè)圓形齒輪內(nèi)圈圓的半徑．如圖所示，小東首先在內(nèi)圈圓上取點(diǎn)A，B，再作弦AB的垂直平分線，垂足為C，交于點(diǎn)D，連接CD，經(jīng)測(cè)量cm，cm，那么這個(gè)齒輪內(nèi)圈圓的半徑為_(kāi)_____cm．
【答案】5
【分析】由垂徑定理，可得出BC的長(zhǎng)；連接OB，在Rt△OBC中，可用半徑OB表示出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的直徑長(zhǎng)．
【詳解】解：設(shè)圓心為O，連接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝4cm，
根據(jù)勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB?2）2＋42＝OB2，
解得：OB＝5；
故輪子的半徑為5cm．
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．
三、解答題：本題共7個(gè)小題，19-23每題8分，24-25每題13分，共66分。
19．（2022·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)期末）如圖，AB是的直徑，AN、AC是的弦，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AN、PC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，且，．
(1)試判斷直線PC與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若，，求MN的長(zhǎng)．
【答案】(1)直線PC與⊙O相切，證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】
（1）如圖，連接OC，，，， ，是半徑，進(jìn)而可說(shuō)明直線PC與⊙O相切．
（2）如圖，連接ON，，，為等邊三角形；可知的值，，求得的值，求解即可．
【詳解】(1)解：直線PC與⊙O相切．
如圖，連接OC，則
∴
∵
∴
∴
∵AB為⊙O的直徑
∴
∴
即
∴直線PC與⊙O相切．
(2)
解：如圖，連接ON
∵，，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴為等邊三角形
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，的直角三角形，三角形相似等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵在于靈活綜合運(yùn)用知識(shí)．
20．（2020·浙江北侖·九年級(jí)期中）如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)．
(1)在正方形網(wǎng)格中直接標(biāo)出這條圓弧所在圓的圓心O；
(2)求弧AC的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)
【分析】
（1）線段AB、線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心O；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：(1)如圖，連接AB，BC 作線段AB、線段BC的垂直平分線，兩線的交于點(diǎn)O，
則點(diǎn)O即為所示；
(2)
連接AC，AO，OC，
∵AC2＝62+22＝40，OA2=22+42=4+16=20，OC2=42+22=16+4=20，
∴OA2+OC2＝42+22+42+22＝40，
∴AC2＝OA2+OC2，
∴∠AOC＝90°，
在Rt△AOC中，∵OA＝OC＝2，
∴的長(zhǎng)＝，
【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖作圓弧的圓心，線段的垂直平分線，勾股定理與勾股定理逆定理，扇形弧長(zhǎng)，掌握尺規(guī)作圖作圓弧的圓心，線段的垂直平分線，勾股定理與勾股定理逆定理，扇形弧長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．
21．（2021·江蘇寶應(yīng)·九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作FP⊥PE交AC于F點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P、E、F三點(diǎn)確定⊙O．
(1)試說(shuō)明：點(diǎn)C也一定在⊙O上．
(2)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠PFE的度數(shù)是否變化？若不變，求出∠PFE的度數(shù)；若變化，說(shuō)明理由．
(3)求線段EF的取值范圍，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)∠PFE的度數(shù)不變，是45°
(3)≤EF≤8．
【分析】
（1）先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，先證得EF是直徑，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得點(diǎn)C在圓上即可；
（2）根據(jù)線段的垂直平分線的判定，可證得PE=PF，得到∠PCB=45°，進(jìn)而根據(jù)∠PCB=45°以及等弧所對(duì)的圓周角相等即可解決問(wèn)題；
（3）根據(jù)E點(diǎn)的移動(dòng)，可知當(dāng)E與C重合時(shí)，EF最長(zhǎng)，而當(dāng)EF為△ABC的中位線時(shí)，EF最短，即可求出線段EF的取值范圍.
【詳解】解：(1)如圖，連接，
∵FP⊥PE，
∴∠FPE=90°，
∴EF為直徑，
∴OP=OE=OF，
∵∠C=90°，
∴OC=OE=OF，
∴點(diǎn)C在⊙O上，
(2)
連接PC
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，
∴CP平分∠ACB，
∴∠ACP=45°，
∵，
∴∠BCP=∠PFE=45°，
由于∠BCP的度數(shù)不變，
∴∠PFE的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化,為45°．
(3)
當(dāng)E與C重合時(shí)，EF最長(zhǎng)，此時(shí)EF=AC=8；
當(dāng)EF為△ABC的中位線時(shí)，EF最短，根據(jù)勾股定理可得AB=8，
根據(jù)三角形的中位線可得EF=4，
所以≤EF≤8．
【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是90度，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，同弧所對(duì)的圓心角相等，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上定理是解題的關(guān)鍵．
22．（2022·廣東汕尾·九年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為 1 的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB 的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn) A，B 的坐標(biāo)分別是（3，2）， （1， 3）)．將△AOB 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 后得到?A1OB1．
(1)畫(huà)出?A1OB1，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；
(2)求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn) B 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，A1（-2，3）
(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn) B 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為
【分析】
（1）如圖：根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度將圖形旋轉(zhuǎn)，畫(huà)出圖像，根據(jù)圖像找出的坐標(biāo)即可；
（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn) B 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，，其中，，計(jì)算求解即可．
【詳解】(1)解：如圖
由圖可知的坐標(biāo)為；
(2)
解：由題意知：
∵
∴
∴旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn) B 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，弧長(zhǎng)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度化旋轉(zhuǎn)后的圖形以及弧長(zhǎng)計(jì)算公式．
23．（2022·黑龍江道里·九年級(jí)期末）四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)A，B在⊙O上，連接OC、OD．
(1)如圖1，求證：OC＝OD；
(2)如圖2，點(diǎn)E在⊙O上，DE∥OC，求證：DA平分∠EDO；
(3)如圖3，在（2）的條件下，DE與⊙O相切，點(diǎn)G在弧BF上，弧FG＝弧AE，若BG＝3，DF＝2，求AB的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)見(jiàn)解析；
(3)
【分析】
（1）連接OA、OB，則OA=OB，根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得∠DAO=∠CBO，AD=BC，進(jìn)而利用SAS證明△AOD≌△BOC即可證得結(jié)論；
（2）過(guò)O作OM⊥CD于M，則OM∥AD，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)證得∠DOM=∠COM=∠COD，根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠ODA=∠DOM=∠COD=∠EDO，進(jìn)而證得結(jié)論；
（3）連接OB、OG、AG、OE、EF，設(shè)EF與AD相交于H，利用切線性質(zhì)可得OE⊥DE，進(jìn)而得到OC⊥OE，利用弦切角定理和角平分線定義得到∠AHE=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠DAG=∠AHE=45°，再利用圓周角定理和勾股定理求得圓的半徑和DE長(zhǎng)，過(guò)D作DN⊥OC于N，利用矩形的判定與性質(zhì)可得DN=OE=3，ON=DE=4，再利用勾股定理求得CD即可求得AB長(zhǎng)．
【詳解】解：(1)證明：如圖1，連接OA、OB，則OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC，AB=CD，
∴∠DAO=∠CBO，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴OC=OD；
(2)
證明：過(guò)O作OM⊥CD于M，則∠OMD=90°，
∴∠ADC=∠OMC=90°，
∴OM∥AD，
∵OM⊥CD，OC=OD，
∴∠DOM=∠COM=∠COD，
∵OM∥AD，DE∥OC，
∴∠COD=∠EDO，∠DOM=∠ODA，
∴∠ODA=∠EDO，
∴DA平分∠EDO；
(3)
解：連接OB、OG、AG、OE、EF，設(shè)EF與AD相交于H，
∵DE與⊙O相切，
∴OE⊥DE，又OC∥DE，
∴OC⊥OE，
∴∠EOD+∠ODE=90°，即∠EOD+∠EDO=45°，
由（2）結(jié)論知，∠EDA=∠EDO，
∵∠DEF為弦切角，
∴∠DEF= ∠EOD，
∴∠AHE=∠DEF+∠EDA=45°，
∵弧FG＝弧AE，
∴EF∥AG，
∴∠DAG=∠AHE=45°，又∠BAD=90°，
∴∠BAG=90°－∠DAG=45°，
∴∠BOG=2∠BAG=90°，
在Rt△BOG中，OB=OG，BG＝3，
由勾股定理得：，即，
∴OB=3，
∴OE=OF=3，又DF＝2，
∴OD=OF+DF=3+2=5，
∴DE= = =4，
過(guò)D作DN⊥OC于N，則四邊形EOND為矩形，
∴DN=OE=3，ON=DE=4，
∵OC=OD=5，
∴CN=OC－ON=5－4=1，
在Rt△CDN中，CD= = ，
∴AB=CD= ．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合知識(shí)，涉及矩形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線性質(zhì)、弦切角定理、三角形外角性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，通過(guò)添加輔助線聯(lián)系相關(guān)知識(shí)求解是解答的關(guān)鍵．
24．（2021·江蘇·蘇州市第十六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC＝4，過(guò)點(diǎn)C作直線m⊥l，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E．在射線CD上取點(diǎn)F，使DF＝，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ＝3x．
(1)用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ＝ ，DF＝ ．
(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長(zhǎng)．
(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作直線BG交⊙O于點(diǎn)N，若BN的弦心距為2，求AP的長(zhǎng)．
【答案】(1)5x，3x
(2)9
(3)
【分析】
（1）設(shè)AB交OD于點(diǎn)H，根據(jù)AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．可得AB=4x，再由勾股定理可得 ，再由∠BAQ＝90°，可得BQ為直徑，從而得到 ，進(jìn)而得到CD=2x，再由DF＝，可得DF=3x，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AQ于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得CQ=6x+4，再證得OD=MC，根據(jù)BQ為直徑，可得，從而得到DE=2x+4，然后根據(jù)矩形的面積，即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥EG于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥BN于點(diǎn)K，連接NQ，設(shè)直線BG交直線l于點(diǎn)I，則OK=2，∠NQB=90°，點(diǎn)K為BN的中點(diǎn)，可先證明∠JBG=45°，從而得到∠NIQ=45°，進(jìn)而得到IN=NQ=4，AI=AB=4x，即可求解．
【詳解】(1)解：如圖，設(shè)AB交OD于點(diǎn)H，
在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．
∴AB=4x，
∴ ，
∵m⊥l，OD⊥m，
∴OD∥l，CD=AH，
∵∠BAQ＝90°，
∴BQ為直徑，
∴OB=OQ，
∴ ，即 ，
∴CD=2x，
∵DF＝，
∴DF=3x；
(2)
解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AQ于點(diǎn)M，
∵AP=AQ=3x，PC=4，
∴CQ=6x+4，
∵AB⊥AQ，
∴OM∥AB，
∵DE⊥DF，
∴OD=MC，
∵∠BAQ＝90°，
∴BQ為直徑，
∴OB=OQ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴DE=2x+4，
∵矩形DEGF的面積等于90，
∴ ，
解得： （舍去），
∴AP=3x=9；
(3)
解：過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥EG于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥BN于點(diǎn)K，連接NQ，設(shè)直線BG交直線l于點(diǎn)I，則OK=2，∠NQB=90°，點(diǎn)K為BN的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)O為BQ的中點(diǎn)，
∴NQ=2OK=4，
∵EG⊥DE，AB⊥OD，
∴BJ=HE，JE=BH=2x，
∵GE=DF=3x，
∴GJ=x，
由（1）知H為AB的中點(diǎn)，
∴ ，
∴ ，
∴BJ=GJ，
∴∠GBJ=45°，
根據(jù)題意得：BJ∥IQ，
∴∠NIQ=45°，
∴∠IQN=45°，∠ABN =45°，
∴∠NIQ=∠IQN，∠NIQ=∠ABN，
∴IN=NQ=4，AI=AB=4x，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，圓中圓周角是直角所對(duì)的弦為直徑，勾股定理，垂徑定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，圓中直角所對(duì)的弦為直徑，勾股定理，垂徑定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25．（2022·北京西城·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在內(nèi)，給出如下定義：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的倍特征點(diǎn)．
（1）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
①若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的_______倍特征點(diǎn)；
②在，，這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)_________是點(diǎn)關(guān)于的倍特征點(diǎn)；
③直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，.點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的倍特征點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若當(dāng)取某個(gè)值時(shí)，對(duì)于函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，在上都存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的倍特征點(diǎn)，直接寫(xiě)出的最大值和最小值．
【答案】（1）①；②；③（，）；（2）k的最小值為，k有最大值為．
【分析】
（1）①先求出AP，AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)題目的定義求解即可；
②先求出，，即可得到，假設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)，得到，則不符合題意，同理可以求出，假設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)，得到，可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-1），由點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），得到，則，則點(diǎn)不是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)；
③設(shè)直線AD交圓O于B，連接OE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，先求出E是AB的中點(diǎn)，從而推出∠EOA=30°，再求出，，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；
（2）如圖所示，設(shè)直線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為C、D過(guò)點(diǎn)N作NP⊥CD交CD于P，交圓O于B，過(guò)點(diǎn)O作直線EF⊥CD交圓O于E，F(xiàn)即可得到，，由，可得，可以推出當(dāng)?shù)闹翟酱?，k的值越大，則當(dāng)AM=BP，MN=NP時(shí)，k的值最小，即當(dāng)A與E重合，N于F重合時(shí)，k的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．
【詳解】解：（1）①∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
∴，B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴，
∵，
∴，
故答案為：；
②∵的坐標(biāo)為（0，），A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴，，
∴
假設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)，
∴，
∴不符合題意，
∴點(diǎn)不是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)，
同理可以求出，
假設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)，
∴，
∴即為AF的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-1），
∵點(diǎn)F（0，-1）在圓上，
∴點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），
∴，
∴，
∴點(diǎn)不是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍特征點(diǎn)，
故答案為：；
③如圖所示，設(shè)直線AD交圓O于B，連接OE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，
∵點(diǎn)E是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的倍的特征點(diǎn)，
∴，
∴E是AB的中點(diǎn)，
∴OE⊥AB，
∵∠EAO=60°，
∴∠EOA=30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；
（2）如圖所示，設(shè)直線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為C、D過(guò)點(diǎn)N作NP⊥CD交CD于P，交圓O于B，過(guò)點(diǎn)O作直線EF⊥CD交圓O于E，F(xiàn)
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵當(dāng)k越大時(shí)，的值越小，
∴的值越大，
∴當(dāng)?shù)闹翟酱?，k的值越大，
∴當(dāng)AM=BP，MN=NP時(shí)，k的值最小，
∴當(dāng)A與E重合，N于F重合時(shí)，k的值最小，
∵C、D是直線與x軸，y軸的交點(diǎn)，
∴C（1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴OC=OD=1，
∴，
∵OG⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k的最小值為，
∴當(dāng)N在E點(diǎn)，A在F點(diǎn)時(shí)，k有最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理等等，解題的關(guān)鍵在于能夠正確理解題意進(jìn)行求解．

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