一、單選題
1．設(shè)全集，集合，，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合，由補(bǔ)集和并集的定義即可得出答案.
【詳解】因?yàn)槿?，?br>所以，又因?yàn)?，所?br>故選：D．
2．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求得標(biāo)準(zhǔn)形式，利用模長(zhǎng)的計(jì)算公式，可得答案.
【詳解】由，則，即，
故選：C.
3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
所以，
故切點(diǎn)為，即切線的斜率為0，
所以切線方程為，即.
故選：A.
4．“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和參數(shù)范圍即可求解.
【詳解】若函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增，
則令，，
解得，，
結(jié)合是區(qū)間，
所以，
解得.
“”是“”的充分不必要條件,
故選：A.
5．在數(shù)列中，，且數(shù)列是等差數(shù)列，則（ ）
A．16B．C．19D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義與性質(zhì)運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，
設(shè)數(shù)列為的公差，則，即，
故，解得.
故選：B．
6．《中華人民共和國國家綜合排放標(biāo)準(zhǔn)》中的一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定企業(yè)生產(chǎn)廢水中氨氮含量允許排放的最高濃度為15ml/L.某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為225ml/L.現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對(duì)生產(chǎn)廢水的氨氮進(jìn)行過濾，每循環(huán)一次可使氨氮含量減少，為安全起見，要使廢水中的氨氮含量不高于國家排放標(biāo)準(zhǔn)值的一半，至少要進(jìn)行循環(huán)的次數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù)，）
A．3B．4C．8D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知過濾次數(shù)與廢水中的氨氮的含量關(guān)系為，在根據(jù)題意列出不等式解出即可．
【詳解】過濾第一次廢水中的氨氮的含量減少，則為；
過濾第兩次廢水中的氨氮的含量減少，則為；
過濾第三次廢水中的氨氮的含量減少，則為；

過濾第n次廢水中的氨氮的含量減少，則為；
要求廢氣中該廢水中的氨氮的含量不能超過7.5ml/L ，則，即，
兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)可得，
即，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，又，所以，
故排放前需要過濾的次數(shù)至少為9次．
故選：D．
7．設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用倍角公式化簡(jiǎn)可得，代入結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.
【詳解】∵
，
所以．
故選：A．
8．已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中可能是圖象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)的圖像，得到不同范圍下，的正負(fù)，得到的單調(diào)性，得到答案.
【詳解】由的圖象知，當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)，，故，
等號(hào)僅有可能在x＝0處取得，
所以時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，故，單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)只有C符合.
故選：C.
9．我國明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾?。俊比鐖D所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一個(gè)求解算法，則（ ）
A．輸出的m的值為25B．輸出的n的值為75
C．輸出的m的值為大僧的人數(shù)D．輸出的n的值為大僧的人數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)程序框圖，模擬執(zhí)行程序即可得解.
【詳解】執(zhí)行程序框圖：，繼續(xù)執(zhí)行；，繼續(xù)執(zhí)行；
，繼續(xù)執(zhí)行；
，繼續(xù)執(zhí)行；
，繼續(xù)執(zhí)行；
，退出循環(huán)，輸出.
輸出的的值為小僧的人數(shù)，輸出的的值為大僧的人數(shù).
故選：D.
10．函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，在單調(diào)遞增，得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，
【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，
則，故，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以.
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
不等式 ，或 者，
的解集為，
故選D.
【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性的應(yīng)用，對(duì)于抽象函數(shù)，且要求解不等式的題目，一般是研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過這些性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較，直接比較括號(hào)內(nèi)的自變量的大小即可.
11．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，可知，則，同理構(gòu)造函數(shù)，可得，即可得出答案.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，即，得，即；
構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
，
所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較代數(shù)式大小的常見方法有：（1）利用函數(shù)單調(diào)性；（2）利用中間量；（3）構(gòu)造函數(shù).
12．在銳角中，、、分別是的內(nèi)角、、所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由重心的性質(zhì)可得出，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，利用平面向量的數(shù)量積以及余弦定理可得出，推導(dǎo)出，再結(jié)合銳角三角形這一條件以及余弦定理求出的取值范圍，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.
【詳解】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
因?yàn)?，則，由重心的性質(zhì)可得，則，
因?yàn)椋?br>所以，，所以，，
所以，，
所以，，則為銳角，
由余弦定理可得，
所以，，
因?yàn)闉殇J角三角形，則，即，即，
所以，，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
任取、且，則
.
當(dāng)時(shí)，，，則，
當(dāng)時(shí)，，，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，，?
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在涉及到三角形中的中線問題，一般利用向量法來處理，結(jié)合三角形中的余弦定理來求解，本題中要求解的是角的余弦值的取值范圍，要充分利用已知條件將角的余弦值表示為以某個(gè)變量為自變量的函數(shù)，結(jié)合銳角三角形這一條件求出變量的取值范圍，再利用相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性求解.
二、填空題
13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么 ．
【答案】10
【分析】由條件結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求，由此可求.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，故，
又當(dāng)時(shí)，，，
所以.
故答案為：10.
14．已知等邊的重心為O，邊長(zhǎng)為3，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正三角形的性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積的定義求解作答.
【詳解】在等邊中，延長(zhǎng)交于，如圖，
因?yàn)闉橹匦模瑒t，，
所以.
故答案為：
15．在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，若直線 的傾斜角為，則 .
【答案】/
【分析】由，，根據(jù)題意求得，得到或者，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.
【詳解】由題意得，點(diǎn)，，
所以直線的斜率，
所以，即，
所以或者，
當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)重合，不合題意，
當(dāng)時(shí)，即，
可得.
故答案為：.
16．已知圖象上有一最低點(diǎn)，若圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖象，又的所有根從小到大依次相差3個(gè)單位，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)三角恒等變換、三角函數(shù)的最值、圖像變換、周期和方程的根等知識(shí)來求得的解析式.
【詳解】由題意得，
其中，
因?yàn)槭菆D象的最低點(diǎn)，
所以，所以，
所以，
橫坐標(biāo)縮為原來的得，
向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度得，
所以.
由的所有根從小到大依次相差3個(gè)單位，
可知與的相鄰交點(diǎn)間的距離相等，
所以過曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，
或經(jīng)過所有的對(duì)稱中心.
①當(dāng)過曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)，
每?jī)蓚€(gè)根之間相差一個(gè)周期，即相差6，不合題意；
②當(dāng)過曲線所有的對(duì)稱中心時(shí)，
則，所以，
所以，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，對(duì)于的化簡(jiǎn)，主要利用的是兩角和與差的正余弦公式，化為，也可化為，也可根據(jù)題意選擇合適的一個(gè)來對(duì)問題進(jìn)行求解，屬于中檔題.
三、解答題
17．設(shè)函數(shù)．
(1)求的最小正周期及其圖象的對(duì)稱中心；
(2)若且，求的值．
【答案】(1)最小正周期為，對(duì)稱中心為
(2)
【分析】（1）展開化簡(jiǎn)最小正周期為，令對(duì)稱中心為；
（2）根據(jù)，求得，配湊從而帶入求值.
【詳解】（1）因?yàn)?br>所以的最小正周期為．
令，解得，
所以的對(duì)稱中心為
（2）因?yàn)椋矗?br>所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以
．
18．李同學(xué)在暑假期間進(jìn)行一項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，隨機(jī)抽取了80名喜愛身體鍛煉的年輕人，調(diào)查他們是否將跑步作為主要鍛煉方式，得到如下數(shù)據(jù)不完整的列聯(lián)表：
(1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為是否將跑步作為主要鍛煉方式與性別有關(guān)？
(2)在被調(diào)查的80人中，從不是將跑步作為主要鍛煉方式的人群中按性別采取分層抽樣的方法抽取5人參加體育健身學(xué)習(xí)活動(dòng)，再從中選取2人作為代表發(fā)言，求選取的2名代表都為女性的概率.
附：參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.
【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，沒有99%的把握認(rèn)為是否將跑步作為主要鍛煉方式與性別有關(guān)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，得出列聯(lián)表，利用公式求得的值，結(jié)合附表，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到男性有人，記為1，2，記為，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及選取的2名代表都為女性種數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得列聯(lián)表如下：
則，
所以沒有99%的把握認(rèn)為是否將跑步作為主要鍛煉方式與性別有關(guān).
（2）解：抽取的5人中，男性有人，記為1，2，女性有人，記為，
從中選取2人所有可能情況有：，共有10種；
選取的2名代表都為女性的情況有：，有3種；
則選取的2名代表都為女性的概率.
19．已知中，，D為AB中點(diǎn)，.
(1)若，求AC的長(zhǎng)度；
(2)若，求的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由余弦定理和互補(bǔ)角的余弦關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)余弦定理和正弦定理即可求解.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
，
，
在中，，
所以AC的長(zhǎng)度為2.
（2）設(shè)BC＝x，則AC＝2x，在和中分別利用余弦定理得
，
解得（負(fù)根舍）.
因?yàn)椋?br>所以，
在中，由正弦定理得，
即.
20．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.
(1)若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若時(shí)，方程有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由，則，
因?yàn)闀r(shí)，取到極值，所以，解得.
又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，符合題意.
要使在上為增函數(shù)，則或，所以或.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）令，由（1）得，且，
故，，則，
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
故，而，，故.
要使有兩個(gè)根，則.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
21．如圖，在直棱柱中，底面四邊形為邊長(zhǎng)為的菱形，，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離.
【答案】(1)證明見詳解；
(2).
【分析】（1）取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，，證明平面平面，原題即得證；
（2）連接BD與AC相交于點(diǎn)O，利用求解.
【詳解】（1）證明：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，.
∵為的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，∴，
因?yàn)槠矫?平面，所以平面.
∵為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴.
∵直棱柱，∴，
∴，
因?yàn)槠矫?平面，所以平面.
∵，平面，
∴平面平面.
又∵平面，∴平面.
（2）解：如圖，連接BD與AC相交于點(diǎn)O，
在中，，同理，
由菱形可知，，
在中，.
設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為，由平面，可知點(diǎn)到平面的距離也為，
由，可得的面積為，的面積為.
有，，
由，有，可得，
故點(diǎn)到平面的距離為.
22．設(shè)函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在上的最小值；
(2)若對(duì)任意的，有，求的取值范圍.
【答案】(1)0；
(2)
【分析】（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)可得，令，對(duì)其求導(dǎo)可得，令，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)研究的單調(diào)性即可求解；
（2）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)可得，令，對(duì)其求導(dǎo)可得，令，分，和三種情況對(duì)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）由可得，
令，所以，
令，所以
因?yàn)?，所以即在單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以?br>所以即在單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為；
（2）由可得，
令，所以，
令，所以
①時(shí)，，即在單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以，與已知矛盾，舍；
②時(shí)，，所以即在單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?，所以即在單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以，所以在單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?，滿足題意；
③時(shí)，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?，所以存在，令?br>當(dāng)時(shí)，，所以即在單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?，所以即在單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以，所以在單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?，與已知矛盾，舍；
綜上所述，的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；(3)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
將跑步作為主要鍛煉方式
不是將跑步作為主要鍛煉方式
合計(jì)
男性
20
20
女性
30
合計(jì)
80
0.40
0.25
0.10
0.010
0.005
0.001
0.708
1.323
2.706
6.635
7.879
10.828
將跑步作為主要鍛煉方式
不是將跑步作為主要鍛煉方式
合計(jì)
男性
20
20
40
女性
10
30
40
合計(jì)
30
50
80

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