一、選擇題
1．設(shè)，則( )
A.B.C.D.
2．集合，，則下列選項正確的是( )
A.B.C.D.
3．已知函數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為.若，則( )
A.1012B.2024C.3036D.4048
4．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為( )
A.0B.2C.9D.11
5．甲、乙、丙三人被隨機的安排在周六、周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.則甲、乙被安排在同一天值班的概率為( )
A.B.C.D.
6．在中，M是AB的中點，，與BN相交于點P，則( )
A.B.C.D.
7．已知正數(shù)a，b滿足，則( )
A.B.C.D.
8．已知，則( )
A.B.C.D.
9．側(cè)棱長與底面邊長均為a的正三棱柱的外接球的表面積為，則( )
A.12B.8C.6D.4
10．已知直線l與橢圓在第四象限交于A、B兩點，l與x軸，y軸分別交于C、D兩點，若，則l的傾斜角是( )
A.B.C.D.
11．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是6和12，且，則該圓臺的體積為( )
A.B.C.D.
12．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上，AB為圓C的直徑，點P是直線上任意一點，則的最小值為( )
A.4B.12C.16D.18
二、填空題
13．寫出一個對稱中心為的奇函數(shù)_________.
14．已知數(shù)列的前n項和為，且，則_________.
15．直線與拋物線交于A、B兩點，若，則_________.
16．已知函數(shù)，，，，都有，則a的取值范圍為_________.
三、解答題
17．作為一個基于大型語言處理模型的文字聊天工具，ChatGPT走紅后，大模型的熱度持續(xù)不減，并日漸形成了“千模大戰(zhàn)”的局面.百度的文心一言，阿里的通義千問、華為的盤古、騰訊的混元以及科大訊飛的星火等多種大模型正如火如茶的發(fā)布上線.現(xiàn)有某大模型給出了會員有效期30天的兩種不同費用，100次的使用費為6元，500次的使用費為24元.后臺調(diào)取了購買會員的200名用戶基本信息，包括個人和公司兩種用戶，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)購買24元的用戶數(shù)是140，其中個人用戶數(shù)比公司用戶數(shù)少20，購買6元的公司用戶數(shù)是個人用戶數(shù)的一半.
（1）完成如下用戶類別與購買意向的2×2列聯(lián)表：
（2）能否有99.5%的把握認為購買意向與用戶類別有關(guān)？（運算結(jié)果保留三位小數(shù)）
附:，
臨界值表如下:
18．在三邊均不相等的中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，若.點D在線段AB上，且CD平分角C.
（1）求C;
（2）若，，求CD的長度.
19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，，，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點.
（1）求證:平面;
（2）求點P到平面AEF的距離.
20．已知函數(shù)的反函數(shù)為，令.
（1）求曲線在處的切線的方程;
（2）證明:.
21．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，兩條漸近線的夾角為，是雙曲線上一點，且的面積為.
（1）求該雙曲線的標(biāo)準方程;
（2）若直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，且坐標(biāo)原點O在以PQ為直徑的圓上，求的最小值.
22．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
（1）分別求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程;
（2）若直線l交曲線C于A，B兩點，過線段AB的中點Q作x軸的平行線交C于一點P，求點P的橫坐標(biāo).
23．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小值;
（2）若a，b，c為正實數(shù)，且，求的最小值.
參考答案
1．答案：D
解析：由條件可得，所以，即.故選D.
2．答案：A
解析：由條件可得，，所以，，故選A.
3．答案：B
解析：由題可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，又，故選B.
4．答案：D
解析：由約束條件，畫出可行域，
，化為斜截式方程得，
聯(lián)立得，即.
由題意可知，當(dāng)直線過點C時，直線在y軸上的截距最小，此時z最大.
把點代入目標(biāo)函數(shù)可得最大值，即最大值.故選D.
5．答案：C
解析：由題意可知將3人分成兩組，其中一組只有1人，另一組有2人.分別安排在周六、周日值班共有6種情況（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）、（乙，甲丙）、（丙，甲乙）.顯然甲、乙被安排在同一天有2種情況，所以甲、乙被安排在同一天的概率為.故選C.
6．答案：B
解析：設(shè)，由M是AB的中點，得，由，得.
所以，且，
由CM與BN相交于點P可知，點P在線段CM上，也在線段BN上，由三點共線的條件可得，解得，所以，故選B.
7．答案：A
解析：由，解得，所以，，
所以.故選A.
8．答案：A
解析：由，解得，所以，，所以.故選A.
9．答案：C
解析：由球的表面積公式，解得外接球半徑.因為底面三角形是邊長為a的等邊三角形，所以此三角形的外接圓半徑為，由正三棱柱的外接球的特點可得，，解得.故選C.
10．答案：C
解析：由可得線段AB的中點，也是線段CD的中點，設(shè)，，線段AB的中點坐標(biāo)為，則，，.又點A，B在橢圓上，所以，兩式相減可得，
，所以，所以，即.
又因為A、B、C、D四點共線，所以，綜上可得，由A、B在第四象限得即，所以直線的傾斜角為.故選C.
11．答案：D
解析：設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為，，由題意可知，解得，，解得，作出圓臺的軸截面，如圖所示:
圖中，，，
過點D向AP作垂線，垂足為T，則，
所以圓臺的高，
則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得:
.
故選: D.
12．答案：B
解析：曲線與坐標(biāo)軸的交點分別為，，，設(shè)圓心，由得，所以圓C方程為，其圓心，半徑為，圓心到直線的距離設(shè)為d，則，所以最小值為4，則最小值為.故選B.
13．答案：
解析：因為奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，且此函數(shù)又關(guān)于點對稱，所以此函數(shù)可類比于正弦函數(shù)，因為正弦函數(shù)是奇函數(shù)，且關(guān)于點對稱，所以可聯(lián)想到.
14．答案：-4
解析：當(dāng)時，，解得.
當(dāng)時，，，兩式相減得，
因為，所以，所以，所以數(shù)列是首項為-2，公比為-1的等比數(shù)列，所以，即數(shù)列是-2，2，-2，2，……，故，，所以.
15．答案：
解析：由，聯(lián)立得，所以，且，，顯然直線過拋物線的焦點.所以，解得.
16．答案：
解析：由，，，不妨設(shè)，則，所以，
可變形化簡為，
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以恒成立，
即在上恒成立，
當(dāng)時，，，
又時，，而，所以，所以，
所以a的取值范圍為.
故答案為:.
17．答案：（1）見解析
（2）有的把握認為用戶類別與購買意向有關(guān)系
解析：（1）設(shè)購買24元的個人用戶數(shù)為x，則購買24元的公司用戶數(shù)為，設(shè)購買6元的公司用戶數(shù)為y，則購買6元的個人用戶數(shù)為，則有，解得，，所以用戶類別與購買意向列聯(lián)表如下:
（2）由（1）中列聯(lián)表得，
所以有的把握認為用戶類別與購買意向有關(guān)系.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，
化簡得，
因為三邊均不相等，所以，即，
由余弦定理得，
在中，由，得.
（2）在中，，故，
由得，易得.
在中，，，所以，
在中，由，得.
19．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明：因為底面為正方形，所以，
又因為，，，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
同理，又因為，，平面，所以平面.
（2）顯然由（1）可得，在直角中，，同理，，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點，所以在中，，
所以，
在直角中，，
由（1）得平面ABP，所以平面ABP，所以點F到平面APE的距離為設(shè)點P到平面AEF的距離為h，由，
得，解得.所以點P到平面AEF的距離為.
20．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）函數(shù)的反函數(shù)為，
則，，所以，，
所以曲線在處的切線的方程為，即.
（2）證明：由（1）可知，顯然為上的增函數(shù).
因為，，所以存在唯一的，使.
從而有，.
因為時，，時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，而，即.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由題可知雙曲線的漸近線方程為，
因為，所以，所以直線的斜率大于1.
由兩條漸近線的夾角為可得，因為，所以，
即雙曲線方程為，因為的面積為，
所以，所以.
因為點在雙曲線上，所以將點的坐標(biāo)代入方程可得，
解得或.因為條件，所以，即雙曲線的方程為.
（2）因為以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點，所以，所以，即:.
①當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，
由可得，
又點P、Q在雙曲線上，代入可得，解得，.
所以.
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由聯(lián)立消去y整理得，因為直線l與雙曲線交于P，Q兩點，所以，且判別式.設(shè)，，則，
由得到:，所以，即，
所以，
化簡得.
所以.
當(dāng)時上式取等號，且方程有解.
綜上可得的最小值是.
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由可得，代入，
,消去參數(shù)t，可得C的直角坐標(biāo)方程為:，
化簡可得，所以.
將，代入l的極坐標(biāo)方程，可得l的直角坐標(biāo)方程為:.
（2）曲線是拋物線，其焦點，準線，
直線，恰好過拋物線的焦點.
由并整理得，
設(shè)，，
則，線段AB的中點Q的橫坐標(biāo)，中點Q的縱坐標(biāo)，
過點Q作x軸的平行線交C于一點P，則點P的縱坐標(biāo)也等于，所以點P的橫坐標(biāo)為.
23．答案：（1）時，函數(shù)取得最小值
（2）9
解析：（1），
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.
（2）由（1）可得當(dāng)x為正實數(shù)時，，
則由可得:，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時，
又，即當(dāng)，，時，等號成立.
所以的最小值為9.
購買6元
購買24元
總計
個人用戶
公司用戶
總計
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.70
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
購買6元
購買24元
總計
個人用戶
40
60
100
公司用戶
20
80
100
總計
60
140
200

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