一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由交集定義可直接求得結(jié)果.
【詳解】，，.
故選：A.
2．若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及題中條件即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又，，
所以
所以，
故，
故選：C
3．已知，，且，則和的最小值分別為（ ）
A．8和8B．和 C．8和9D．和9
【答案】C
【分析】由已知等式可得，根據(jù)，利用均值不等式可求結(jié)果.
【詳解】由，，得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）
（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號），
所以和的最小值分別為8和9.
故選：C.
4．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】判斷函數(shù)的三要素是否相同即可得出答案.
【詳解】對于選項(xiàng)A，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故不是同一函?shù)；
對于選項(xiàng)B，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋什皇峭缓瘮?shù)；
對于選項(xiàng)C，兩函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域均相同，故為同一函數(shù)；
對于選項(xiàng)D，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故不是同一函?shù).
故選：C
5．設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式.
【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由得，
即或，解得或，
所以不等式的解集為，
故選：A．
6．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（ ）
A．-2B．1C．D．-1
【答案】B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)分類討論計(jì)算即可.
【詳解】由題意有，解得或，
①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意.
故選：B
7．某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價(jià)x(單位：元)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題可根據(jù)題意得出，然后通過計(jì)算以及即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)這批臺燈的銷售單價(jià)為x元，由題意得，，
即，解得，又因?yàn)?，所以?br>這批臺燈的銷售單價(jià)的取值范圍是.
故選：C
8．命題，，則為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由全稱命題的否定是特稱命題，即可得到結(jié)果.
【詳解】命題，的否定為，.
故選：C
二、多選題
9．已知集合，，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AD
【分析】利用集合間的基本關(guān)系判定即可.
【詳解】因?yàn)榧希?br>所以B是A的真子集，所以，或，.
故選：AD.
10．下列說法正確的有（ ）
A．“，使得”的否定是“，都有”
B．若命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
C．若，，，則“”的充要條件是“”
D．“”是“”的充分不必要條件
【答案】ABD
【分析】選項(xiàng)A，由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可得；選項(xiàng)B，轉(zhuǎn)化為方程沒有實(shí)數(shù)根求解；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，；選項(xiàng)D，證明充分性，當(dāng)時(shí)，，說明“”是“”的不必要條件.
【詳解】選項(xiàng)A，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B，若命題“，”為假命題，
即方程沒有實(shí)數(shù)根，
則，解得，選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C，若，，
所以“”不是“”的充要條件，故C錯誤；
選項(xiàng)D，，
當(dāng)，但不成立，即，故D正確.
故選：ABD.
11．小王兩次購買同一種物品，已知物品單價(jià)分別為和，且每次購買這種物品所花的錢數(shù)一樣，兩次購物的平均價(jià)格為，則下面正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】依題意得到，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)兩次花費(fèi)的錢數(shù)為，
則兩次購物的平均價(jià)格為，故A錯誤，B正確；
又，所以，
根據(jù)基本不等式及其取等號的條件可得，
所以，即，故C正確，D錯誤；
故選：BC．
12．對任意的，，函數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．函數(shù)為奇函數(shù)
C．當(dāng)時(shí)，D．在上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】令，，則有，可得，選項(xiàng)A正確；
令，則，可得，選項(xiàng)B錯誤；
任取則
，
又∵，∴，∴，
即，即在上單調(diào)遞增，選項(xiàng)正確；
由可知，時(shí)，，選項(xiàng)C正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】求解抽象函數(shù)的函數(shù)值問題，可以考慮利用賦值法進(jìn)行求解.求解抽象函數(shù)的奇偶性問題，可以考慮利用奇偶性的定義來進(jìn)行判斷.求解抽象函數(shù)的單調(diào)性，可以考慮利用單調(diào)性的定義，由的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性.
三、填空題
13．集合，用列舉法表示是 .
【答案】
【分析】解一元一次不等式，利用列舉法求解即可.
【詳解】集合，故用列舉法表示是.
故答案為：
14．若不等式對于都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由判別式小于0可得．
【詳解】由題意，解得．
故答案為：．
15．函數(shù)圖象如圖所示，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的對應(yīng)關(guān)系求函數(shù)值即可．
【詳解】
故答案為：1
16．已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和定義域求參數(shù)取值范圍
【詳解】解：冪函數(shù)，所以定義域?yàn)榍以诙x域上單調(diào)遞減，
所以需滿足，解得，
故答案為：．
四、解答題
17．已知集合，或．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出時(shí)集合A以及B的補(bǔ)集，計(jì)算；
（2）根據(jù)交集的定義得出，從而得到不等式，求出a的取值范圍．
【詳解】（1）∵集合，
∴時(shí)，集合，
又或，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得，
即a的取值范圍是
18．回答下列問題
(1)已知都是正實(shí)數(shù)，比較與的大?。?br>(2)已知，，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將與相減并化簡，分類討論判斷差的符號即可比較大?。?br>（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）
，
因?yàn)槎际钦龑?shí)數(shù)，所以，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
（2）設(shè)，
則，
解得，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
即，
所以的取值范圍為.
19．（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.這一事實(shí)可以表示為不等式，證明這個(gè)不等式成立.
（2）已知都是正數(shù)，求證；
【答案】（1）答案見解析，（2）答案見解析.
【分析】（1）用作差比較法即可證明；（2）利用基本不等式即可證明.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故成立.
（2）證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故成立.
20．中共中央政治局會議中明確提出支持新能源汽車加快發(fā)展.發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強(qiáng)國的必由之路，是推動綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措.2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)百輛，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，若每輛車售價(jià)5萬元，則當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的車輛能在當(dāng)年全部銷售完.
(1)求出2023年的利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量百輛的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.
【答案】(1)
(2)當(dāng)產(chǎn)量為百輛時(shí)，取得最大利潤，最大利潤為2100萬元.
【分析】（1）根據(jù)題意求解即可；
（2）利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)求分段函數(shù)的最值即可.
【詳解】（1）由題意知利潤收入-總成本，
所以利潤，
故2023年的利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量百輛的函數(shù)關(guān)系式為
.
（2）當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號;
綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量為百輛時(shí)，取得最大利潤，最大利潤為2100萬元.
21．定義在上的函數(shù)，對任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，．
(1)求的值；
(2)證明：在上為增函數(shù)；
(3)當(dāng)時(shí)，解不等式．
【答案】(1)0
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）直接令，即可求出的值
（2）利用已知，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可
（3）根據(jù)，可得，然后利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）令，則；
所以.
（2）設(shè)，則，
所以，
，
即，
所以在上為增函數(shù)；
（3），
，
，
在上為增函數(shù)，
解得：，
所以不等式的解集為．
22．已知函數(shù)，．
(1)若，證明：在上單調(diào)遞增；
(2)若在上是單調(diào)的，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用定義法可證得結(jié)論；
（2）分別討論、和，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
，，，
在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，是開口方向向上，對稱軸為的拋物線，
若在上單調(diào)，則，解得：；
當(dāng)，即時(shí)，是開口方向向下，對稱軸為的拋物線，
若在上單調(diào)，則，解得：（舍）；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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