考試滿分：150分考試時間：120分鐘
注意事項：
1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).
2.全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.
3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.
4考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設(shè)，則（）
A. B. C. D.
2.集合，則下列選項正確的是（）
A. B.
C. D.
3.已知函數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列的前項和為.若，則（）
A.1012 B.2024 C.3036 D.4048
4.若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）
A.0 B.2 C.9 D.11
5.甲?乙?丙三人被隨機(jī)的安排在周六?周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班.則甲?乙被安排在同一天值班的概率為（）
A. B. C. D.
6.在中，是的中點，與相交于點，則（）
A. B.
C. D.
7.已知，則（）
A. B. C. D.
8.側(cè)棱長與底面邊長均為的正三棱柱的外接球的表面積為，則（）
A.12 B.8 C.6 D.4
9.已知直線與橢圓在第四象限交于兩點，與軸，軸分別交于兩點，若，則的傾斜角是（）
A. B. C. D.
10.已知，則（）
A.-15 B.-6 C.6 D.15
11.若直線是曲線的一條切線，則（）
A. B.
C. D.
12.已知直線與直線相交于點，則到直線的距離的取值集合是（）
A. B. C. D.
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.寫出一個對稱中心為的奇函數(shù)__________.
14.已知數(shù)列的前項和為，且，則__________.
15.已知拋物線的焦點為，位于第一象限的點在上，為坐標(biāo)原點，且滿足，則外接圓的半徑為__________.
16.已知函數(shù)，都有，則的取值范圍為__________.
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17.（12分）作為一個基于大型語言處理模型的文字聊天工具，ChatGPT走紅后，大模型的熱度持續(xù)不減，并日漸形成了“千模大戰(zhàn)”的局面.百度的文心一言?阿里的通義千問?華為的盤古?騰訊的混元以及科大訊飛的星火等多種大模型正如火如茶的發(fā)布上線.現(xiàn)有某大模型給出了會員有效期30天的兩種不同費用，100次的使用費為6元，500次的使用費為24元.后臺調(diào)取了購買會員的200名用戶基本信息，包括個人和公司兩種用戶，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)購買24元的用戶數(shù)是140，其中個人用戶數(shù)比公司用戶數(shù)少20，購買6元的公司用戶數(shù)是個人用戶數(shù)的一半.
（1）完成如下用戶類別與購買意向的列聯(lián)表；
（2）能否有的把握認(rèn)為購買意向與用戶類別有關(guān)？（運算結(jié)果保留三位小數(shù)）
附：，
臨界值表如下：
18.（12分）在三邊均不相等的中，角對應(yīng)的邊分別為，若.點在線段上，且平分角.
（1）求；
（2）若，求的長度.
19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，，點分別為的中點.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
20.（12分）已知雙曲線的離心率為2，其中一個焦點到一條漸近線的距離等于.
（1）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與雙曲線交于兩點，且坐標(biāo)原點在以為直徑的圓上，求的最小值.
21.（12分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)且時，討論在上的零點個數(shù).
（二）選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
（1）分別求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線交曲線于兩點，過線段的中點作軸的平行線交于一點，求點的橫坐標(biāo).
23.[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若為正實數(shù)，且，求的最小值.
2023—2024學(xué)年安康市高三年級第三次質(zhì)量聯(lián)考
理科數(shù)學(xué)參考答案
1.【答案】D
【解析】由條件可得，所以，即.故選.
2.【答案】A
【解析】由條件可得，所以，故選A.
3.【答案】B
【解析】由題可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，又，故選B.
4.【答案】D
【解析】由約束條件，畫出可行域，
，化為斜截式方程得，
聯(lián)立得，即.
由題意可知，當(dāng)直線過點時，直線在軸上的截距最小，此時最大.
把點代入目標(biāo)函數(shù)可得最大值，即最大值.故選.
5.【答案】C
【解析】由題意可知將3人分成兩組，其中一組只有1人，另一組有2人.分別安排在周六?周日值班共有6種情況（甲乙，丙）?（甲丙，乙）?（乙丙，甲）?（甲，乙丙）?（乙，甲丙）?（丙，甲乙）.顯然甲?乙被安排在同一天有2種情況，所以甲?乙被安排在同一天的概率為.故選C.
6.【答案】B
【解析】設(shè)，由是的中點，得，由，得.
所以，且
由與相交于點可知，點在線段上，也在線段上，由三點共線的條件可得，解得，所以，故選B.
7.【答案】A
【解析】由，解得，所以，所以.故選A.
8.【答案】C
【解析】由球的表面積公式，解得外接球半徑.因為底面三角形是邊長為的等邊三角形，所以此三角形的外接圓半徑為，由正三棱柱的外接球的特點可得，，解得.故選C.
9.【答案】C
【解析】由可得線段的中點，也是線段的中點，設(shè)，
線段的中點坐標(biāo)為，則.
又點在橢圓上，所以，兩式相減可得，
，所以，所以，即.
又因為四點共線，所以，綜上可得，由在第四象限得即，所以直線的傾斜角為.故選C.
10.【答案】A
【解析】令，即，
對函數(shù)求導(dǎo)可得，，
且，所以.故選A.
11.【答案】B
【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為，則切點在直線上，也在曲線上，所以，又切線斜率，且，所以，代入可得，故選.
12.【答案】D
【解析】由兩直線垂直的判斷條件，可知，所以直線與始終垂直，又由條件可得直線恒過定點，直線恒過定點，所以兩直線的交點是在以線段為直徑的圓上，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，但需挖去點，此點是過定點且斜率不存在的直線與過定點且斜率為0的直線的交點，故點到直線的距離的最大值與最小值可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離再加減半徑，又需要去掉點到直線的距離為，所以取值集合是.選D.
13.【答案】
【解析】因為奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，且此函數(shù)又關(guān)于點對稱，所以此函數(shù)可類比于正弦函數(shù)，因為正弦函數(shù)是奇函數(shù)，且關(guān)于點對稱，所以可聯(lián)想到.
14.【答案】-4
【解析】當(dāng)時，，解得.
當(dāng)時，，兩式相減得，
因為，所以，所以，所以數(shù)列是首項為-2，公比為-1的等比數(shù)列，所以，即數(shù)列是，故，所以.
15.【答案】
【解析】由題可得，由，可得點的橫坐標(biāo)為，所以，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，所以外接圓的半徑為.
16.【答案】
【解析】由，不妨設(shè)，則，
所以，
可變形化簡為，
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以恒成立，
即在上恒成立，
當(dāng)時，，
又時，，而，所以，
所以，
所以的取值范圍為.
故答案為：
17.【解析】（1）設(shè)購買24元的個人用戶數(shù)為，則購買24元的公司用戶數(shù)為，
設(shè)購買6元的公司用戶數(shù)為，則購買6元的個人用戶數(shù)為，
則有，解得，
所以用戶類別與購買意向列聯(lián)表如下：
（2）由（1）中列聯(lián)表得
，
所以有的把握認(rèn)為用戶類別與購買意向有關(guān)系.
18.【解析】（1）由，得
化簡得
因為三邊均不相等，所以，即
由余弦定理得
在中，由，得
（2）在中，，故
由得，易得
在中，，所以
在中，由，得
19.【解析】（1）證明：因為底面為正方形，所以，
又因為平面，
所以平面
因為平面，所以，
同理，又因為平面，所以平面
（2）由（1）知底面，即兩兩相互垂直，
如圖，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，
.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，則，得
，
由（1）知平面的一個法向量為，
所以平面與平面夾角的余弦值是
20.【解析】（1）解：由題意得
又因為，解得.所以雙曲線方程為：
（2）因為以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，所以，所以，即：..
①當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由可得，
又點在雙曲線上，代入可得，解得.
所以.
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
由聯(lián)立消去整理得，
因為直線與雙曲線交于兩點，所以，
且判別式.
設(shè)，
則，
由得到：，所以，
即，
所以，
化簡得.
所以.
當(dāng)時上式取等號，且方程有解.
綜上可得的最小值是.
21.【解析】（1）顯然定義域為，由得
當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，
當(dāng)時，由，得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為；
由，得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）由題可得函數(shù)，所以
，解得
所以
①當(dāng)時，有，
所以恒成立，
所以，在上單調(diào)遞減，是一個零點；
②當(dāng)時，，
設(shè)，則恒成立，
即在上單調(diào)遞增.
又，
所以根據(jù)零點存在定理可知，，使得
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增
又，所以.
因為，
根據(jù)零點存在定理可知，，使得
綜上所述，在上的零點個數(shù)為2.
22.【解析】（1）由可得，代入
消去參數(shù)，可得的直角坐標(biāo)方程為：
化簡可得，所以.
將代入的極坐標(biāo)方程，可得的直角坐標(biāo)方程為：.
（2）曲線是拋物線，其焦點，準(zhǔn)線，
直線，恰好過拋物線的焦點.
由，
設(shè)，
則，線段的中點的橫坐標(biāo)，中點的縱坐標(biāo)，
過點作軸的平行線交于一點，則點的縱坐標(biāo)也等于，所以點的橫坐標(biāo)為
23.【解析】（1），
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時，函數(shù)取得最小值
（2）由（1）可得當(dāng)為正實數(shù)時，，
則由可得：，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時，
又，即當(dāng)時，等號成立.
所以的最小值為9購買6元
購買24元
總計
個人用戶
公司用戶
總計
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
購買6元
購買24元
總計
個人用戶
40
60
100
公司用戶
20
80
100
總計
60
140
200

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