2023屆福建省詔安縣橋東中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A．， B．， C．，， D．，，【答案】B【分析】求出集合，利用交集運(yùn)算可求得答案.【詳解】解：由，，，2，，所以，，故選：B.2．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題形式，可得答案.【詳解】命題“，”為特稱命題，其否定為全稱命題，即，，故選：D3．“”是“”的（    ）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】計(jì)算得到等價(jià)于，根據(jù)范圍大小得到答案.【詳解】等價(jià)于 即，故是的充分不必要條件故選：B4．sin2，，的大小關(guān)系為(    )A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷sin2，，與中間值0和1的大小即可比較它們之間的大?。?/span>【詳解】∵；；，∴﹒故選：B﹒5．已知，且，則一定有（    ）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定【答案】C【分析】令，則由題意可得，而，從而可知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可得，進(jìn)而可得答案【詳解】令，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即，故選：C6． 記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則（    ）A．15 B．16 C．19 D．20【答案】B【分析】根據(jù)題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列出方程組求解、，即可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?/span>，所以，解得，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.7．已知，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?/span>，則，所以，，所以，.故選：B.8．已知偶函數(shù)在R上的任一取值都有導(dǎo)數(shù)，且，，則曲線在處的切線的斜率為（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先根據(jù)求出周期，利用周期性和偶函數(shù)的對稱性得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即函數(shù)的周期為4；由周期性可知曲線在處的切線的斜率等于它在處的切線的斜率，因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，所以.故選：A. 二、多選題9．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說法正確的是（    ）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【答案】CD【分析】根據(jù)表達(dá)式及時(shí)，的關(guān)系，算出數(shù)列通項(xiàng)公式，即可判斷A、B、C選項(xiàng)的正誤. 的最值可視為定義域?yàn)檎麛?shù)的二次函數(shù)來求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；因?yàn)?/span>的對稱軸為，開口向下，而是正整數(shù)，且或距離對稱軸一樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故D正確.故選：CD.10．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，，則下面結(jié)論正確的有（    ）A．若，則B．C．若，則有最大值D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)基本不等式及其推理分別判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號，A正確；因?yàn)?/span>，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，B錯(cuò)誤；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，C正確；若，則，解得，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．下列可能為函數(shù)的圖像的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】分析、、和，結(jié)合函數(shù)的周期范圍可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，的周期為，所以B不正確；當(dāng)時(shí)，的周期為，所以D有可能；當(dāng)時(shí)，的周期為，所以A有可能；當(dāng)時(shí)，的周期為，所以C有可能.故選：ACD.12．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（    ）A．函數(shù)在上遞減，在上遞減B．函數(shù)在上遞增，在上遞增C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值【答案】BD【分析】結(jié)合函數(shù)圖象，對分區(qū)間討論與大小關(guān)系，從而推導(dǎo)出在區(qū)間上的單調(diào)性即可；【詳解】解：由圖可知：當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；故函數(shù)在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，即函數(shù)有極大值和極小值；故選：BD． 三、填空題13．已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則___________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?/span>，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則，，①，且，②由①②可得，.故答案為：.14．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，寫出的一個(gè)通項(xiàng)公式________，滿足下面兩個(gè)條件：①是單調(diào)遞減數(shù)列；②是單調(diào)遞增數(shù)列.【答案】（答案不唯一）【分析】理解兩個(gè)條件的意義，然后可以從等比數(shù)列中尋到滿足條件的例子.【詳解】根據(jù)前n項(xiàng)和數(shù)列是單調(diào)遞增的，可以判定數(shù)列的各項(xiàng)，從第二項(xiàng)起，各項(xiàng)都是大于零的，由數(shù)列本身為單調(diào)遞減數(shù)列，結(jié)合各項(xiàng)的值的要求，可以考慮公比在0到1之間的等比數(shù)列的例子，就是符合條件的例子，故答案為：（答案不唯一)【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性以及前n項(xiàng)和的單調(diào)性的意義，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是理解前n項(xiàng)和數(shù)列是單調(diào)遞增的，可以判定數(shù)列的各項(xiàng)，從第二項(xiàng)起，各項(xiàng)都是大于零的.15．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像與將其向右平移個(gè)單位后所得到的圖像重合．則的值為________.【答案】2【分析】根據(jù)增函數(shù)確定的范圍，結(jié)合平移圖像間的關(guān)系可得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即；函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為，函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后所得到的函數(shù)為；因?yàn)槎叩膱D像重合，所以，，即.所以.故答案為：2.16．已知函數(shù)的定義域和值域均為，的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則的范圍是______．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可求解.【詳解】解：令 ，則 即的范圍是.故答案為： 四、解答題17．設(shè)，關(guān)于的不等式滿足.(1)若，求該不等式的解集；(2)若上述不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）依題意可得，將式子左邊因式分解，即可求出不等式的解集；（2）首先求出不等式的解集記為，記，依題意可得?，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)不等式即為，即，解得，即不等式的解集為；（2）解：不等式，即，因?yàn)?/span>，則，解得，所以不等式的解集為，記集合，集合，依題意可得?，所以，解得，即.18．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求的解析式及對稱中心；(2)先將的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到函數(shù)圖象，再將圖象右平移個(gè)單位后得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間.【答案】(1);.(2). 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象確定A以及周期，進(jìn)而確定，將點(diǎn)代入解析式求得，即得函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得其對稱中心；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律可求得的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】（1）由函數(shù)圖象知，，最小正周期，所以 ，所以，將點(diǎn) 代入中，有 ，所以 ， ，因?yàn)?/span>，所以 ,所以 ,令 ,，則，即的對稱中心為 ．（2）先將的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到函數(shù)圖象，即，再將圖象右平移個(gè)單位后得到的圖象，即，令，，則，，因?yàn)? ，所以，即函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為 .19．已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接列方程組求解和即可，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式；（2）先求數(shù)列的通項(xiàng)，再用錯(cuò)位相減法求即可.【詳解】（1）解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，則，可得，解得，.（2）解：，∴，①又，②由①②，得，∴．20．已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(2)若，，求的值．【答案】(1)最大值為，最小值為；(2) 【分析】（1）利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由已知結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及三角恒等變換公式進(jìn)行化簡即可求解．【詳解】（1）∵∴函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)，即，又，所以，故，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；（2）因?yàn)?/span>，，所以，所以，，所以．21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析，(2) 【分析】(1) 要證明數(shù)列是等比數(shù)列，需要把已知遞推公式變形為等于非零常數(shù)，求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用累加法求的通項(xiàng)公式.(2) 求出，不等式等價(jià)于恒成立，令，利用單調(diào)性求的最大值即可.【詳解】（1）由，得，則，又，則，所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．則，則時(shí)，．當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）可知，數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則，由，即恒成立．令，則，則時(shí)，，即數(shù)列遞增；當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列遞減，則的最大值為，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．22．已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)時(shí)，無極值；時(shí)，的極大值為，無極小值.(2) 【分析】（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的極值；（2）解法一：依題意，令，不等式的恒成立，即為在恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解；解法二：依題意，令，不等式的恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，，①時(shí)，，在上為增函數(shù)，所以無極值.②時(shí)，令，得.時(shí)，，為增函數(shù)，時(shí)，，為減函數(shù)，故的極大值為，無極小值.綜上，時(shí)，無極值；時(shí)，的極大值為，無極小值.（2）解法一：依題意，當(dāng)時(shí)，，即，即在恒成立令，即在恒成立，①時(shí)，，在上為增函數(shù)，時(shí)，不合題意，舍去.②時(shí)，令，則，所以時(shí)，，為減函數(shù)，所以，適合題意；③時(shí)，，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，因?yàn)?/span>，所以時(shí)，，為增函數(shù)，故不合題意，舍去綜上，的取值范圍為.解法二：依題意，在恒成立，令，即在恒成立 ，①時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在上為增函數(shù)，故 ，適合題意；②時(shí)，令，，以為，所以時(shí)，為減函數(shù)且，所以 ，為減函數(shù)，所以時(shí)，不合題意，舍去③時(shí)，的對稱軸為，因?yàn)?/span>，所以時(shí)，為減函數(shù)且，所以，故為減函數(shù)，所以時(shí)，不合題意，舍去綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 

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