注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無(wú)效．
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．
4．測(cè)試范圍：選擇性必修第一冊(cè)
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．四面體中，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由題意畫出如下圖形：
為中點(diǎn)，則，，則，
∴.
故選：B.
2．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，直線與直線平行，
所以，直線的斜率為，
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，直線的方程為：，即
故選：A
3．已知兩點(diǎn)，，直線：線段相交，則的取值范圍是
（ ）
A． B．或C． D．
【答案】B
【解析】
因?yàn)橹本€，如圖
直線：即恒過(guò)，
而，
因?yàn)橹本€與線段相交，結(jié)合圖形，
故直線的斜率的范圍為：或．
故選：B
4．已知半徑為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，圓心的軌跡方程為，則其圓心到點(diǎn)的距離的最大值為.
故選：C.
5．在三棱錐中，平面，D，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因?yàn)槠矫?，而平面?br>故，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則且，
故，
故，，，
設(shè)平面的法向量為，則：
由可得，取，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
故選：B.
6．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn).點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn).則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．平面
C．D．是銳角
【答案】D
【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，，
，，
所以，A正確；
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，B正確；
，
所以，
所以，C正確；
，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)為鈍角，故D錯(cuò)誤.
故選：D
7．若直線與橢圓交于點(diǎn)，，線段中點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，兩式相減可得，
整理可得，由線段中點(diǎn)為，則，
故直線的斜率.
故選：B.
8．已知F為雙曲線C：的左焦點(diǎn)，過(guò)F作圓的切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交C于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取雙曲線右焦點(diǎn)F2，連接PF2，由題知，，所以
在中，，所以，所以
記，則由雙曲線定義和余弦定理可得
，解得
因?yàn)镸為線段FP的中點(diǎn)，所以
所以
故選：D
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知空間向量，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【答案】BCD
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：，故A錯(cuò)誤；
令，則，，故B正確；
，所以，解得：，故C正確；
當(dāng)，，
因?yàn)?，，故D正確．
故選：BCD
10．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（ ）
A．
B． 點(diǎn)到平面的距離是
C． 異面直線與所成角的余弦值為
D． 與平面所成角的正弦值為
【答案】BD
【解析】因?yàn)椋?，所以，A錯(cuò)誤．
在空間直角坐標(biāo)系中，結(jié)合與兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知軸與平面垂直，所以為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離是，B正確．
因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，C錯(cuò)誤．
設(shè)與平面所成的角為，，則，D正確．
故選：BD
11．已知，是圓O：上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若點(diǎn)到直線的距離為，則
C．若，則的最小值為
D．若，則的最大值為
【答案】AD
【解析】因?yàn)?，是圓O：上兩點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，為正三角形，所以，A正確；
點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，，B錯(cuò)誤；
的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的到直線
的距離之和，又，
所以為等腰三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，
則，且，
則在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，
兩點(diǎn)到直線的距離之和為
點(diǎn)到直線的距離的倍，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，
最小值為，則兩點(diǎn)到直線的距離之和
最大值為，最小值為.
所以的最大值為，
最小值為，C錯(cuò)誤，D正確；
故選：AD
12．月光石不能頻繁遇水，因?yàn)槠渲饕煞质氢涒c硅酸鹽．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn) ，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．橢圓的離心率是B．線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是
C．面積的最大值是D．的周長(zhǎng)存在最大值
【答案】ABC
【解析】由題意得半圓的方程為，
設(shè)橢圓的方程為，所以 ，
所以橢圓的方程為．
A．橢圓的離心率是，所以該選項(xiàng)正確；
B． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是，所以該選項(xiàng)正確；
C．由題得面積，
設(shè)，
設(shè)，所以，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以該選項(xiàng)正確；
D．的周長(zhǎng)，
所以當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，但是不能取零，所以的周長(zhǎng)沒(méi)有最大值，
所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．直線l過(guò)且與圓相切，則直線l的方程為_(kāi)__________
【答案】或.
【解析】由圓的方程，得，
則圓心坐標(biāo)為，半徑為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，與圓相切，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，即，
由直線與圓相切，得圓心到直線的距離，
即，解得，所以：；
綜上，直線的方程為或.
故答案為：或.
14．已知四面體棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，則___________.
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，
所以，，
，
，
所以.
故答案為：
15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上，若，則__________.
【答案】【解析】過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，易知：，
可得，如圖所示：
在中，可得，，
由拋物線的性質(zhì)可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以.
故答案為：
16．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是___________.
①直線平面，
②三棱錐的體積為定值，
③異面直線與所成角的取值范圍是
④直線與平面所成角的正弦值的最大值為
【答案】①②④
【解析】對(duì)于①，連接，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，同理可得，因?yàn)?，平面，所以平面，所以①正確，
對(duì)于②，因?yàn)椤?，平面，平面，所以∥平面，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)到平面距離為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以②正確，
對(duì)于③，連接，因?yàn)椤?，所以異面直線與所成角即為與所成的角，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以?dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以③錯(cuò)誤，
對(duì)于④，如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則，
所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為
，
當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大，最大值為，所以④正確，
故答案為：①②④
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
17．（10分）
已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
(1)用表示，并求出；
(2)求證：.
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以
因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為，
所以,
所以
，
所以.
（2）
，
所以.
18．（12分）
已知直線.
(1)證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
(2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍；
(3)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.
【解析】（1）證明：直線的方程可化為，
令，解得
所以無(wú)論取何值，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
（2）由方程知，當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，
要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須有
解得；
當(dāng)時(shí)，直線為，符合題意，
故的取值范圍是.
（3）由題意可知，再由直線的方程，
得.
依題意得解得.
因?yàn)?br>所以，
所以直線的方程為.
19．（12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，為三個(gè)不同的定點(diǎn)，且，，不共線，以原點(diǎn)為圓心得圓與線段，，都相切.
(1)求圓的方程及，的值；
(2)若直線：與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求的值.
【解析】（1）因?yàn)閳A與相切，所以半徑等于到的距離．
直線，所以，圓．
圓與相切，，所以直線，所以．
直線
到的距離為1，所以或（舍
所以．
（2）設(shè)，，，，因?yàn)?，在直線上，所以，．
聯(lián)立得，所以．
則．
20．（12分）
如圖，圓柱的軸截面為正方形，點(diǎn)在底面圓周上，且為上的一點(diǎn)，且為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合）
(1)若，設(shè)平面面，求證：；
(2)當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點(diǎn)的位置.
【解析】（1）由題知面面，則，
由為底面圓的直徑，則，
由，面，
面，
又∵面，∴，
又，面，
面，
又∵面，故.
由，在中，由射影定理：，
故面面,
∴面，又面面，面，
∴.
（2）由（1）知，以為原點(diǎn)為軸正方向，過(guò)的母線為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，
則，
設(shè)，，
設(shè)面的法向量為，則，
令，則，
又平面的一個(gè)法向量
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
解得或，
其中時(shí)重合，不合題意，
故當(dāng)平面與平面夾角為時(shí)，此時(shí)為中點(diǎn).
21．（12分）
已知拋物線：，直線過(guò)點(diǎn).
(1)若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；
(2)若與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由，得.
當(dāng)時(shí)，直線符合題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
∴直線的方程為，即.
綜上，直線的方程為，或，或.
（2）解法一：設(shè)，，，不妨令，
∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，
∴，且，，.
由，得，∴，
∴，∴.
∵，且，∴，且，
∴點(diǎn)的軌跡方程為（，且）.
解法二：設(shè)，，，不妨令，
∵直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，
∴，且，，.
∵點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，，
∴，∴，∴，∴.
∵，且，∴，且，
∴點(diǎn)的軌跡方程為（，且）.
22．（12分）
如圖，已知橢圓與等軸雙曲線共頂點(diǎn)，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（2，-1）作兩直線與橢圓相交于相異的兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ).直線AB與x，y軸正半軸相交，分別記交點(diǎn)為M，N.
(1)若的面積為，求直線AB的方程；
(2)若AB與雙曲線的左?右兩支分別交于Q，R，求的范圍.
【解析】(1)由題得，解得，所以橢圓的方程為，
等軸雙曲線的方程為.
由題意，直線PA的斜率存在，設(shè)PA：，則PB：，
聯(lián)立，消去得，
所以，又，所以，則
將換成，得，所以，
設(shè)，
由，消去得，
，所以得，
則，，，
所以，解得，
所以直線AB的方程為；
(2)由，消去得，解得，
所以，
，，則，
，，
所以的取值范圍為．

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