注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
4．測試范圍：選擇性必修第一冊(cè)
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【答案】A
【解析】因?yàn)?，，?br>選項(xiàng)A，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則，即，解得，故該選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)B，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A.
2．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LenhardEuler）年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出，任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.后人稱這條直線為歐拉線，已知的頂點(diǎn)、，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)點(diǎn)，則的重心為，
由題意可得，可得，①
線段的中點(diǎn)為，，
所以，線段的中垂線方程為，即，
聯(lián)立，解得，故的外心為，
因?yàn)?，即，?br>聯(lián)立①②可得或.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合.
因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：A.
3．已知的一條內(nèi)角平分線的方程為，兩個(gè)頂點(diǎn)為、，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在直線上，
所以，，即，①
因?yàn)橹本€與直線垂直，直線的斜率為，則，②
聯(lián)立①②可得，，即點(diǎn)，
，所以，直線的方程為，
由題意可知，點(diǎn)為直線、的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，
因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
4．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E是線段A1D1靠近點(diǎn)D1的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別為C1D1，B1C1的中點(diǎn).下列說法中正確的是（ ）
A．A，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面
B．AD1與B1D所成夾角為60°
C．BG平面ACD1
D．三棱錐D—ACD1與三棱錐B—ACD1體積相等
【答案】D
【解析】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)正方體的棱長為3，則
,
,
取的中點(diǎn)為,則又，因此,故四點(diǎn)共面，又平面,假如直線平面，則這與平面與平面的交線是矛盾，故四點(diǎn)不共面，錯(cuò)誤；
故,所以，進(jìn)而AD1與垂直，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫?平面,所以平面，若平面，則平面平面，顯然矛盾，故C錯(cuò)誤；
由于,故底面和高均相等，因此體積相等，正確.
故選：D
5．下列結(jié)論正確的是（ ）
①過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為；
②圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于1；
③已知，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓：外一點(diǎn)，且直線的方程是，則直線與圓相交；
④已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【解析】對(duì)①，當(dāng)截距為零時(shí)，易得直線l為，①錯(cuò)；
對(duì)②，圓的圓心為，半徑，則圓心到l的距離為，
故圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于1，②對(duì)；
對(duì)③，點(diǎn)P在圓外，則有，圓心到直線m的距離為，故直線與圓相交，③對(duì)；
對(duì)④，直線，過定點(diǎn)，則，
直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則或，④錯(cuò)；
故選：B
6．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)（不妨設(shè)為橢圓右焦點(diǎn)）的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等.1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章，設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁
B．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小
C．衛(wèi)星向徑的取值范圍是
D．衛(wèi)星在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間
【答案】D
【解析】衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，即越小，則e越大，橢圓軌道越扁，故A正確；
因?yàn)檫\(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度最小，故B正確；
由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，所以最小值為，最大值為，故C正確；
當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)的面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，速度更慢，所以運(yùn)行時(shí)間大于在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，故D不正確，
故選：D．
7．已知雙曲線（，）的兩條漸近線與拋物線（）的準(zhǔn)線分別交于A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為，的面積為，則的內(nèi)切圓半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得，
所以雙曲線的漸近線方程為
由得，由得，
∴，解得，
∴，，則的三邊長分別為，，．
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由，解得.
故選：C．
8．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn).過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），設(shè)分別為的內(nèi)心，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)上的切點(diǎn)分別為H?I?J，
則.
由，得，
∴，即.
設(shè)內(nèi)心M的橫坐標(biāo)為，由軸得點(diǎn)J的橫坐標(biāo)也為，則，
得，則E為直線與x軸的交點(diǎn)，即J與E重合.
同理可得的內(nèi)心在直線上，
設(shè)直線的領(lǐng)斜角為，則，
，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，由題知，，
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
綜上所述，.
故選：B.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，且，則（ ）
A．B．
C．底面D．直線底面所成的角為
【答案】ACD
【解析】設(shè)，則，
，
因?yàn)榈酌媸沁呴L為1的正方形，側(cè)棱，且，
所以，，，，，
，，，
所以；所以，A對(duì)，
；所以，B錯(cuò)，
，
所以，，又，平面，
故底面；C對(duì)，
因?yàn)榈酌?，所以直線在平面上的投影為為直線，
所以直線與平面的夾角為，在中，，，，所以是等腰直角三角形，其中，所以，
所以直線與平面的夾角為，又，所以直線底面所成的角為，D對(duì)，
故選：ACD.
10．在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（ ）
A．的周長為
B．（不重合時(shí)）平分
C．面積的最大值為6
D．當(dāng)時(shí)，直線與軌跡相切
【答案】ABD
【解析】設(shè)，因?yàn)?，且點(diǎn)滿足，可得，整理得，即曲線的方程為．
對(duì)于A中，曲線為半徑為的圓，所以周長為，所以A正確；
對(duì)于B中，因?yàn)?，所以，所以?br>延長到，使，連結(jié)，如圖所示，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，，
因?yàn)?，所以，所以?br>即平分，所以B正確．
對(duì)于C中，由的面積為，
要使得的面積最大，只需最大，
由由點(diǎn)的軌跡為，可得，
所以面積的最大值為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，或，
不妨取，則直線，即，
因?yàn)閳A心到直線的距離為，
所以，即直線與圓相切，所以D正確．
故選：ABD．
11．油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙叢在地面上形成了一個(gè)橢圓形的影子（春分時(shí)，該市的陽光照射方向與地面的夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點(diǎn)位置，則（ ）
A．該橢圓的離心率為B．該橢圓的離心率為
C．該橢圓的焦距為D．該橢圓的焦距為
【答案】BC
【解析】，
如圖，分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是圓的直徑，為該圓的圓心.
因?yàn)?，所以?br>設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為，則.
因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
解得，所以，
所以.
故選：BC
12．如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有（ ）
A．存在點(diǎn)，使得平面
B．存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為
C．存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為
D．不存在點(diǎn)，使得，其中為二面角的大小，為直線與所成的角
【答案】ACD
【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），
則、、、、、、
、，設(shè)，即點(diǎn)，其中.
對(duì)于A：假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，
因?yàn)?，，?br>則，解得，
故當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面，
即選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為，
，，
因?yàn)?，即?br>所以不存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為，
即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：假設(shè)存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，
，且點(diǎn)到平面的距離為，
則，解得，
所以當(dāng)點(diǎn)為線段的靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，
三棱錐的體積為，即選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，可得，
易知平面的一個(gè)法向量為，
則，
，，
，
因?yàn)椋?br>則，
因?yàn)椤?，且余弦函?shù)在上單調(diào)遞減，
則，即不存在點(diǎn)，使得，即選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線過定點(diǎn)__________.
【答案】
【解析】設(shè)，則有①，又由圓的圓心為，直線，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則，，則點(diǎn)均在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則圓的方程為，
化簡得；直線即為兩圓的公共弦，所以，對(duì)于和，兩式相減可得直線的方程為，由①可得，，整理得，故直線過定點(diǎn)
故答案為：
14．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)G為底面的重心，點(diǎn)M是線段上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面分別交棱，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，，，則_______.
【答案】【解析】由題意可知，
因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，，使，所以，所以，所以
所以.
故答案為：
15．在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，為等邊三角形，，則四棱錐的外接球球心到平面的距離是___________.
【答案】
【解析】取的中點(diǎn)，連接
∵為等邊三角形，則
平面平面，平面平面
∴平面
取的中點(diǎn)，由于四邊形為等腰梯形，且，
則可以得到，即為等腰梯形的外接圓的圓心
過作的平行線，則外接球球心必在上
，設(shè)，在梯形中，，則
∵，即，解出，
建系如圖，則
設(shè)平面的法向量，則
令，則，則
∵，則到平面的距離
故答案為：.
16．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，，．若的垂心為的焦點(diǎn)，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的方程為________．
【答案】
【解析】雙曲線的漸近線為，
由，解得或，所以，
由，解得或，所以．
∵為的垂心，，即，解得，
∵點(diǎn)雙曲線上，即，∴，即雙曲線方程為；
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
17．（10分）
已知直線：.
(1)證明無論為何值，直線與直線總相交；
(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，求面積的最小值.
【解析】（1）對(duì)于，化簡得，取，得到，
對(duì)于點(diǎn)，直線與直線都是必過點(diǎn)，所以，無論為何值，直線與直線總相交
（2）設(shè)，由（1）得，
，整理得，因?yàn)?，則，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立），面積的最小值為
18．（12分）
如圖，已知正三棱柱中，所有棱長均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).
(1)求與平面AEF所成角的正弦值；
(2)過A、E、F三點(diǎn)作一個(gè)平面，則平面AEF與平面有且只有一條公共直線，在圖中作出這條公共直線，簡略寫清作圖過程，并求這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長度.
【解析】（1）正三棱柱中，取AC中點(diǎn)O，連接OB，OF，而F為的中點(diǎn)，則，
四邊形是平行四邊形，即，又平面，則有平面，即OA，OB，OF兩兩垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA，OB，OF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，，，
設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，則，令，得，
設(shè)與平面AEF所成角為，則，
所以與平面AEF所成角的正弦值為.
（2）如圖，延長交延長線于點(diǎn)M，經(jīng)過點(diǎn)F，M畫直線FM，則直線FM即為所作，
因點(diǎn)直線，而平面，則點(diǎn)平面，同理點(diǎn)平面，
而點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，因此直線FM是平面AEF與平面的公共直線，
令，因是中點(diǎn)，則且，即是的一條中位線，
因此是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，則是的重心，，
在中，，由余弦定理得：，
所以這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長度為.
19．（12分）
如圖，已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．
(1)求直線的方程，并判斷直線是否過定點(diǎn)若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由；
(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程；
(3)若兩條切線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，求的最小值．
【解析】（1），，，
故以為圓心，為半徑的圓的方程為，
顯然線段為圓和圓的公共弦，
則直線的方程為，即，
經(jīng)判斷直線過定點(diǎn)，即所以直線過定點(diǎn)
（2）因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，的中點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，
設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，直線過的定點(diǎn)為點(diǎn)，
易知始終垂直于，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，又，，故該圓圓點(diǎn)，半徑，且不經(jīng)過.
點(diǎn)的軌跡方程為
（3）設(shè)切線方程為，即，
故到直線的距離，即，
設(shè)，的斜率分別為，，則，，
把代入，得，
則，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值為．
20．（12分）
如圖所示，三棱柱中，所有棱長均為2，，，分別在，上（不包括兩端），．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)與平面所成角為，求的取值范圍．
【解析】（1）作，交于點(diǎn)，設(shè)，則，
∵，∴，即，
∵且，連接，
所以四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
（2）取中點(diǎn)，連接、、，
∵，，，
根據(jù)余弦定理得：，
∴，則，
∵是等邊三角形，∴，
∵，∴平面，平面
∴平面平面，
在中，，，
作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面，
則，∴，
∵平面，所以點(diǎn)到平面距離，
，
，
∴．
，
∵，∴，
∴．
21．（12分）
已知雙曲線的離心率為，且點(diǎn)在上.
(1)求雙曲線的方程：
(2)試問：在雙曲線的右支上是否存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，且？若存在，求出點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）因?yàn)?，所以，即?br>又點(diǎn)在雙曲線的圖像上，
所以，即，解得，
所以雙曲線；
（2）設(shè)，
由已知點(diǎn)在以為直徑的圓上，
又點(diǎn)在上，則有方程組
解得直線的方程為，
設(shè)直線與漸近線的交點(diǎn)分別為，
由解得，
由解得，
所以，
又點(diǎn)到直線的距離為，
則三角形的面積，
又因?yàn)?，所以?br>由已知，解得，即，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支上，解得，
即點(diǎn)或.
22．（12分）
已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn)、，直線與直線交于點(diǎn)．記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
由題意可得，，，故，
因此，橢圓的方程為.
（2）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，其中，
聯(lián)立，得，，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
易知點(diǎn)、，，
所以，直線的方程為，
將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，
，，
所以，，
所以，.

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2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬卷02（培優(yōu)卷）（解析版）：

這是一份2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬卷02（培優(yōu)卷）（解析版），共25頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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