期末復習  空間向量能力提升卷第I卷（選擇題）一、單選題1．若構成空間的一組基底，則(    ) A． B．C． D．2．已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,則x等于(　　)A．4 B．-4 C． D．-63．是空間的一個基底，向量，，，.若，則，，分別為（    ）.A．，， B．，1，C．，1， D．，1，4．已知是兩兩垂直的單位向量，，則與的數(shù)量積等于（    ）A．－15 B．－5 C．－3 D．－15．在如圖所示的坐標系中,為正方體,給出下列結(jié)論:①直線 的一個方向向量為(0,0,1);②直線的一個方向向量為(0,1,1); ③平面的一個法向量為(0,1,0);④平面的一個法向量為(1,1,1).其中正確的個數(shù)為(　　)A．1 B．2 C．3 D．46．向量，若，且，則的值為（    ）A． B．1 C． D．47．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，P是側(cè)面內(nèi)一點，若平行于平面，則線段長度的最小值為（    ）A． B． C． D．8．如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（    ）A． B． C． D．二、多選題9．已知，,且與夾角為，則的取值可以是（    ）A．17 B．-17 C．-1 D．110．給出下列命題，其中不正確的命題為（    ）A．若＝，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段；B．若，則是鈍角；C．若為直線l的方向向量，則 (λ∈R)也是l的方向向量；D．非零向量滿足與，與，與都是共面向量，則必共面． 
第II卷（非選擇題）三、填空題11．若向量，則=_____12．如圖所示，在正方體中，M為棱的中點，則異面線與AM所成角的余弦值為________.13．若向量1，，且，則______．14．已知是空間的一個基底，若，則________.四、解答題15．如下圖所示，四棱錐中，底面，，為的中點，底面四邊形滿足，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．16．如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在上是否存在一點，使得與所成角為？若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由．17．如圖一所示，四邊形是邊長為的正方形，沿將點翻折到點位置(如圖二所示)，使得平面和垂直.分別為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.18．如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．   參考答案1．A2．B3．A4．A5．C6．C7．B8．D9．AC10．ABCD11．1312．13．或14．015．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.（Ⅰ）∵底面，∴，如圖以點為原點，直線、、分別為、、軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，∴，，∴，∴，，∴平面，∵平面，∴平面平面；（Ⅱ）設為平面的一個法向量，又，，，則，取，得設為平面的一個法向量，又，，則，取，得，∴，∴二面角的余弦值．16．（1）證明：以為原點，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，，1，，，2，，，2，，設平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，1，，，故平面．（2）解：由（1）知，平面的法向量為，1，，，0，，同（1）可求得平面的法向量，0，，，，由圖可知，平面與平面的夾角為鈍角，平面與平面夾角的余弦值為．（3）解：設，則，0，，，0，，與所成角為，，2，，，，解得，故在上存在一點，使得與所成角為，點的坐標為，0，．17．（1）證明：取中點，連結(jié)，，，，，，平面，平面，平面，．（2）二面角是直二面角，，，，，兩兩垂直，以為原點，、、分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，1，，，，，，0，，，分別為，的中點．，，，，設，，是平面的一個法向量，，令，得，1，，平面，平面的一個法向量，0，，設平面與平面所成的銳二面角為，則．平面與平面所成的銳二面角的余弦值為． 18．（1）見解析（2）解：（1）由題設知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因為M為上異于C，D的點,且DC為直徑，所以 DM⊥CM.又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz.當三棱錐M?ABC體積最大時，M為的中點.由題設得，設是平面MAB的法向量,則即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.    

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