本卷共22題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．空間四邊形中,點(diǎn)在上,且, 為中點(diǎn),則等于( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】按照向量運(yùn)算律計(jì)算即可
【詳解】因?yàn)?所以
因?yàn)闉锽C中點(diǎn),所以
所以
故選：B
2．已知直線的方向向量分別為，若，則（ ）
A．1B．2C．0D．3
【答案】D
【分析】由線線垂直可知其方向向量垂直，再利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求得答案.
【詳解】因?yàn)椋?，故?br>所以，則.
故選：D.
3．已知兩點(diǎn)所在直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．-7B．-5C．-2D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率表達(dá)式，然后根據(jù)傾斜角得到斜率，列出方程求解即可.
【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)所在直線的傾斜角為，
則，即
故選:A.
4．若三條直線，，能圍成一個(gè)三角形，則的值可能是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】先求出不能構(gòu)成三角形的情況，就可選出答案.
【詳解】由 得 所以兩條直線交于點(diǎn)，
當(dāng)也過時(shí)，，
解得，此時(shí)三條線交于同一點(diǎn)，不能構(gòu)成三角形，
當(dāng)與平行時(shí)，有，則，也不能構(gòu)成三角形，
當(dāng)與平行時(shí)，由，則，也不能構(gòu)成三角形，
所以，
故選：B
5．已知斜率為的直線l被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線l的方程為（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】因?yàn)閳A的半徑為，且直線l被圓截得的弦長(zhǎng)為，即可以通過垂徑定理求得圓心到直線l的距離，還可以通過圓心到直線l的距離公式，列出方程，從而求出直線方程.
【詳解】圓：，故半徑為，又因?yàn)橹本€l被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到直線l的距離為
設(shè)直線l的方程為，
則，則或
所以或.
故選：D
6．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上且，則等于（ ）
A．14B．26C．14或26D．16或24
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得，由即可求解.
【詳解】由雙曲線的方程可得，故.
因?yàn)椋?，解得?6.
故選:C.
7．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】先根據(jù)題意得到，然后利用余弦定理求得，接著求，最后利用三角形面積公式即可得到答案
【詳解】由橢圓可得，
所以，，所以，
所以在中，，
因?yàn)?，且?br>所以，
設(shè)的坐標(biāo)為，且，
所以， 所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為，
故選：C
8．直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】底邊為定值，求出點(diǎn)P到距離的范圍即可求出面積的取值范圍.
【詳解】圓心到直線距離，所以點(diǎn)P到距離即高的范圍，又可求得，所以面積的取值范圍為.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．給出下列命題，其中是真命題的是（ ）
A．若可以作為空間的一個(gè)基底，與共線，，則也可以作為空間的一個(gè)基底
B．已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底
C．己知A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面
D．己知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底
【答案】ABCD
【分析】直接利用向量的基底的定義，向量的共線，共面向量的充要條件判定、、、的結(jié)果．
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，，可以作為空間的一個(gè)基底，，，不共面，與共線，，，，不共面，故正確．
對(duì)于選項(xiàng)：向量，，與任何向量都共面，，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故正確．
對(duì)于選項(xiàng)：，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，共面，，，，共面，故正確．
對(duì)于選項(xiàng)：，，是空間的一個(gè)基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空間的一個(gè)基底，故正確．
故選：．
10．已知直線，其中，則（ ）
A．若直線與直線平行，則
B．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直
C．直線過定點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等
【答案】BC
【分析】由兩直線平行可求得實(shí)數(shù)的值，可判斷A選項(xiàng)；利用直線垂直與斜率的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求出直線的截距式方程，可判斷D選項(xiàng).
【詳解】直線的斜率為.
對(duì)于A選項(xiàng)，若直線與直線平行，且直線的斜率為，
則，解得或，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的斜率為，
直線的斜率為，
所以，當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于直線，由，可得，則直線過定點(diǎn)，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，
所以，當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，D錯(cuò).
故選：BC.
11．已知圓和軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，則圓的方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，根據(jù)圓與軸相切，得到圓的半徑等于圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，把圓心坐標(biāo)代入直線得到關(guān)于與的方程 , 再由垂徑定理得到的一個(gè)關(guān)系式，三者聯(lián)立即可求出 及的值，從而確定出圓的方程.
【詳解】設(shè)所求圓的方程為 ，則圓心到直線的距離為， 所以，即.
因?yàn)樗髨A與軸相切，所以
又因?yàn)樗髨A的圓心在直線上，
所以，
所以 或
故所求圓的方程為 或.
故選：BD
12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線上的一點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，若與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則下列說法正確的有（ ）
A．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為B．該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)度為
C．若外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則該圓面積為D．周長(zhǎng)的最小值為
【答案】ACD
【分析】由雙曲線方程可確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線方程；利用拋物線焦半徑公式可求得A正確；將準(zhǔn)線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得交點(diǎn)縱坐標(biāo)，由此可得線段長(zhǎng)度，知B錯(cuò)誤；根據(jù)外心的橫坐標(biāo)為且圓與準(zhǔn)線相切可得圓的半徑，由此可知C正確；結(jié)合拋物線定義可知，由此可求得周長(zhǎng)的最小值，知D正確.
【詳解】由雙曲線方程知：，拋物線，
對(duì)于A，設(shè)，則，解得：，A正確；
對(duì)于B，拋物線準(zhǔn)線方程為：，由得：，
準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)度為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，外接圓圓心在線段的中垂線上，則其橫坐標(biāo)為，
又該圓與拋物線準(zhǔn)線相切，該圓的半徑，
該圓的面積，C正確；
對(duì)于D，設(shè)和在準(zhǔn)線上的投影分別為，
由拋物線定義知：，
則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)重合），
又，，
周長(zhǎng)的最小值為，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則___________.
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，
所以，，，
所以；
故答案為：
14．已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是___________________．
【答案】
【分析】先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，然后根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得公切線方程.
【詳解】圓，即，圓心為，半徑.
圓，即，圓心為，半徑.
圓心角，所以兩圓相內(nèi)切.
由解得，
所以兩圓切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，所以公切線的斜率為，
所以公切線的方程為.
故答案為：
15．已知橢圓C：，對(duì)于C上的任意一點(diǎn)P，圓O：上均存在點(diǎn)M，N使得，則C的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【分析】當(dāng)P為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，可得存在點(diǎn)M，N使得；
當(dāng)P不為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn)M，N位置特殊化，從而得到直線PA，PB分別與圓O切于A，B點(diǎn)，因?yàn)椋?，并通過，，得到，從而計(jì)算出，的不等關(guān)系以及橢圓的離心率.
【詳解】連接OP，當(dāng)P不為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線PA，PB分別與圓O切于A，B點(diǎn)，設(shè)，
因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)M，N使得，所以，
所以，所以，
可得，而，即，可得，
所以橢圓的離心率，
當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)M、N位于圓O與x軸的左右交點(diǎn)時(shí)，
所以此時(shí)在圓O上存在點(diǎn)M，N使得．
所以橢圓C的離心率的取值范圍是．
故答案為：
16．已知點(diǎn)為雙曲線在第一象限上一點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為 ___；若，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，記直線與的斜率分別為，，則___.
【答案】 4 15
【分析】設(shè)，由已知條件可得，從而可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，由勾股定理可得，將代入雙曲線方程結(jié)合可得關(guān)于的齊次方程，即可求離心率；由題意知：，由可得，再計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)， 因?yàn)椋?所以，
由可得，
＝，即，
把代入雙曲線方程，可得，
即，
又，代入上式可得，
即，解得或
所以雙曲線的離心率；
設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，?br>所以，
把、的坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，可得
兩式作差可得，
即，
∴
故答案為：；.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)．
(1)求直線CD的方程；
(2)求過點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出直線CD的方程作答.
（2）求出點(diǎn)E坐標(biāo)及直線DE的斜率，再利用垂直關(guān)系求出直線方程作答.
【詳解】（1）在平行四邊形ABCD中，，，，則，則點(diǎn)，
直線CD的斜率，則有，即，
所以直線CD的方程是.
（2）依題意，點(diǎn)，則直線DE的斜率，
因此過點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線斜率為，方程為，即，
所以所求方程是.
18．（12分）已知空間向量.
(1)若與互相垂直，求；
(2)記，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合運(yùn)算求解；（2）根據(jù)理解可得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，整理求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
因?yàn)榕c互相垂直，所以，
即，所以.
（2），
因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以，即.
19．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合列式求解；（2）由兩點(diǎn)間距離結(jié)合橢圓方程整理可得，再根據(jù)二次函數(shù)求最值.
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）設(shè)，則，即
，
因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以在為減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為的最大值為.
20．（12分）如圖，已知正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).
(1)求與平面AEF所成角的正弦值；
(2)過A、E、F三點(diǎn)作一個(gè)平面，則平面AEF與平面有且只有一條公共直線，在圖中作出這條公共直線，簡(jiǎn)略寫清作圖過程，并求這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長(zhǎng)度.
【答案】(1)；(2)作圖見解析，.
【分析】（1）取AC中點(diǎn)O，連接OB，OF，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.
（2）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，經(jīng)過點(diǎn)F，M畫直線FM，再借助余弦定理計(jì)算作答.
【詳解】（1）正三棱柱中，取AC中點(diǎn)O，連接OB，OF，而F為的中點(diǎn)，則，
四邊形是平行四邊形，即，又平面，則有平面，即OA，OB，OF兩兩垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA，OB，OF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，，，
設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，則，令，得，
設(shè)與平面AEF所成角為，則，
所以與平面AEF所成角的正弦值為.
（2）如圖，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，經(jīng)過點(diǎn)F，M畫直線FM，則直線FM即為所作，
因點(diǎn)直線，而平面，則點(diǎn)平面，同理點(diǎn)平面，
而點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，因此直線FM是平面AEF與平面的公共直線，
令，因是中點(diǎn)，則且，即是的一條中位線，
因此是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，則是的重心，，
在中，，由余弦定理得：，
所以這條公共直線在正三棱柱底面內(nèi)部的線段長(zhǎng)度為.
21．（12分）已知過原點(diǎn)的兩條直線相互垂直，且的傾斜角小于的傾斜角．
(1)若與關(guān)于直線對(duì)稱，求和的傾斜角
(2)若都不過點(diǎn)，過分別作為垂足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)．求的方程．
【答案】(1)，的傾斜角分別為和
(2)．
【分析】(1)先求直線的傾斜角，結(jié)合圖形及傾斜角的定義求出，的傾斜角的傾斜角；(2) 設(shè)，，根據(jù)基本不等式證明的面積最大時(shí)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求的斜率，由此可求其方程.
【詳解】（1）直線的傾斜角為60°．
∵，關(guān)于直線對(duì)稱，且，
∴，與直線的夾角均為，
∴，的傾斜角分別為和．
（2）∵，，，∴四邊形為矩形．
設(shè)，，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
若的斜率不存在，則的傾斜角為，由直線相互垂直可得的傾斜角為0，與已知矛盾，所以的斜率存在，設(shè)，則點(diǎn)到的距離為，
令，得（負(fù)值舍去）．
∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的方程為．
22．（12分）已知雙曲線C：與雙曲線W：的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)已知C的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線與直線BM交于點(diǎn)G．證明：A，G，N三點(diǎn)共線．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）由題意可得，再將點(diǎn)代入即可求出，即可得解；
（2）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，求出直線的方程，令可得點(diǎn)的坐標(biāo)，證明即可.
【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線C：與雙曲線W：的漸近線相同，
所以，即，
又雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，
則，即，
所以，
所以C的方程為；
（2）證明：，
設(shè)，
聯(lián)立，消得，
則，所以，
則，
因?yàn)橹本€過定點(diǎn)且斜率存在，
所以直線不與軸重合，
，則直線的方程為，
令，則，故，
則，，
，
所以，
又點(diǎn)A為公共點(diǎn)，
所以A，G，N三點(diǎn)共線．

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