教材要點要點一　直線與平面垂直的性質定理
狀元隨筆　(1)直線與平面垂直的性質定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關系轉化的依據(jù)．(3)線面垂直的性質定理可簡記為“線面垂直，則線線平行”．
要點二　點面距、線面距1．點到平面的距離過一點S向平面ABC作垂線，垂足為A，則稱垂線段SA的長度為點S到平面ABC的距離．2．直線與平面的距離一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線與這個平面的距離．
要點三　直線與平面所成的角
狀元隨筆　把握定義應注意兩點：①斜線上不同于斜足的點P的選取是任意的；②斜線在平面上的投影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段．
基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若l⊥β，且α∥β，則l⊥α.(　　)(2)垂直于同一條直線的兩平面平行．(　　)(3)如果一條直線上有兩點到一平面的距離相等，那么直線不一定與平面平行．(　　)(4)如果一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離相等，那么這兩個平面平行．(　　)
2．已知△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則不重合的直線l，m的位置關系是(　　)A．相交　 B．異面C．平行　 D．不確定
3．棱長為2的正方體ABCD--A′B′C′D′中，P是平面ABCD內(nèi)一點，則點P到平面A′B′C′D′的距離是(　　)A．1　 B．2C．3　 D．4
4．在正方體ABCD--A1B1C1D1中，直線AC與平面A1D所成的角為________．
解析：如圖，因為CD⊥平面ADD1A1，所以直線AC與平面A1D所成的角為∠CAD，因為△ADC是等腰直角三角形，所以∠CAD＝45°.
題型 1　直線與平面垂直的性質定理的應用例1　如圖，已知正方體ABCD--A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1.(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.
方法歸納(1)若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質定理，證明另一條直線和這個平面垂直．(2)在證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關性質．
跟蹤訓練1　如圖所示，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.
題型 2　有關距離的計算例2　已知在長方體ABCD--A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.(1)求點B1到平面A1BCD1的距離；(2)求B1C1到平面A1BCD1的距離．
方法歸納(1)從平面外一點向平面作垂線，該點到垂足間的線段的長度叫作點到平面的距離．求點到平面的距離的關鍵是作出或找出點到平面的垂線段．(2)當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離都是直線到平面的距離，求解的基本方法是在直線上任選一點，找出該點到平面的距離，然后根據(jù)求點到平面的距離的有關方法求解，即將線面距離轉化為點面距離．
跟蹤訓練2　正方體ABCD--A1B1C1D1，棱長為2，求：(1)直線A1A到平面B1BCC1的距離；(2)點A1到平面D1DBB1的距離．?
題型 3　直線與平面所成的角例3　在正方體ABCD--A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．
方法歸納求斜線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的投影，作投影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計算：通常在垂線段、斜線和投影所組成的直角三角形中計算．?
跟蹤訓練3　在正三棱柱ABC--A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．
易錯辨析　對線面垂直的性質應用不當致誤例4　已知m，n為異面直線，m⊥α，n⊥β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線與l垂直D．α與β相交，且交線與l平行
課堂十分鐘1．對于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l(　　)A．平行　 B．相交C．垂直　 D．互為異面直線
3．△ABC的三個頂點A，B，C到平面α的距離分別為2 cm，3 cm，4 cm，且它們在α的同側，則△ABC的重心到平面α的距離為________ cm.

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高中數(shù)學湘教版（2019）必修 第二冊電子課本

4.3 直線與直線、直線與平面的位置關系

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第二冊

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