教材要點(diǎn)要點(diǎn)一　復(fù)數(shù)的加法與減法1．設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，則z1＋z2＝___________，z1－z2＝____________．2．加法運(yùn)算律：設(shè)z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝___________．狀元隨筆　復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的理解(1)復(fù)數(shù)的加法中規(guī)定，兩復(fù)數(shù)相加，是實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加，復(fù)數(shù)的加法可推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形．(2)在這個(gè)規(guī)定中，當(dāng)b＝0，d＝0時(shí)，則與實(shí)數(shù)的加法法則一致．(3)實(shí)數(shù)加法的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集C中仍然成立．
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
要點(diǎn)二　復(fù)數(shù)的乘法與乘方1．復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________．2．復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)任意復(fù)數(shù)z1、z2、z3∈C，有
(ac－bd)＋(bc＋ad)i
基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)的和(或差)仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)．(　　)(2)兩個(gè)虛數(shù)的和(或差)一定是虛數(shù)．(　　)(3)復(fù)數(shù)的加法滿足結(jié)合律，但減法不滿足結(jié)合律．(　　)(4)兩個(gè)虛數(shù)相乘的結(jié)果可能為實(shí)數(shù)．(　　)
2．(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(　　)A．2＋2i B．4－2i C．2 D．0
解析：(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(3－2＋1)＋(2－1－1)i＝2.
3．復(fù)數(shù)i(2＋i)的虛部為________．
解析：i(2＋i)＝2i＋i2＝－1＋2i，所以復(fù)數(shù)i(2＋i)的虛部為2.
題型 1　復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算例1　(1)計(jì)算(3＋5i)＋(3－4i)＝________；
解析：原式＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i
(3)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋1－3i＝5－2i，求z.
解析：∵z＋1－3i＝5－2i，∴z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
方法歸納(1)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算類似于合并同類項(xiàng)，實(shí)部與實(shí)部合并，虛部與虛部合并，注意符號(hào)是易錯(cuò)點(diǎn)；(2)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算結(jié)果仍是復(fù)數(shù)；(3)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的加法(或減法)可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加(或相減)的混合運(yùn)算；(4)實(shí)數(shù)的加法交換律和結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍適用．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)若z＋5－6i＝3＋4i，則復(fù)數(shù)z＝(　　)A．－2＋10i B．－1＋5i C．－4＋10i D．－1＋10i
解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝－2＋10i.
解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，故復(fù)數(shù)z的虛部為－1.
(3)設(shè)z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，則z1－z2＝________．
題型 2　復(fù)數(shù)的乘法與乘方運(yùn)算例2　計(jì)算：(1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)；(2)i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 021.?
解析：(1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)＝(2－i＋2i－i2)(3＋2i)＝(3＋i)(3＋2i)＝9＋6i＋3i＋2i2＝7＋9i.(2)i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 021＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020)＋i2 021＝0＋0＋…＋0＋i＝i.
方法歸納(1)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的技巧①?gòu)?fù)數(shù)乘法與實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘法類似，在計(jì)算兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積時(shí)，先按照多項(xiàng)式的乘法展開，再將i2換成－1，最后合并同類項(xiàng)即可．②三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致．③在復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，若符合乘法公式，則可直接運(yùn)用公式計(jì)算．例如(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．(2)利用i冪值的周期性解題的技巧①熟記i冪值的4個(gè)結(jié)果，當(dāng)冪指數(shù)除以4所得的余數(shù)是0，1，2，3時(shí)，相應(yīng)的冪值分別為1，i，－1，－i.②對(duì)于n∈N*，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)復(fù)數(shù)i(2＋i)的實(shí)部為(　　)A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析：i(2＋i)＝－1＋2i的實(shí)部為－1.
(2)已知i為虛數(shù)單位，則i2 020＋i2 021＝________．
解析：i2 020＋i2 021＝i4×505＋i4×505＋1＝1＋i.
題型 3　復(fù)數(shù)加、減、乘和乘方的綜合運(yùn)算例3　(1)(1＋2i)(1－2i)＋(3－4i)2；(2)(1＋i)10(1－i)7－(1＋i)(2＋i)．
解析：(1)(1＋2i)(1－2i)＋(3－4i)2＝1－4i2＋9－24i＋16i2＝－2－24i.(2)(1＋i)10(1－i)7－(1＋i)(2＋i)＝(1＋i)7(1＋i)3(1－i)7－(1＋3i)＝[(1＋i)(1－i)]7(1＋i)2·(1＋i)－(1＋3i)＝27×2i(1＋i)－(1＋3i)＝28(i－1)－(1＋3i)＝－257＋253i.
方法歸納在復(fù)數(shù)加、減、乘和乘方的運(yùn)算中，可以運(yùn)用一些技巧，以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程．?
跟蹤訓(xùn)練3　求(3＋i)－(1－2i)2－i20＋(1－i)8的值．?
解析：(3＋i)－(1－2i)2－i20＋(1－i)8＝3＋i－(1－4i－4)－1＋(－2i)4＝21＋5i.
課堂十分鐘1．計(jì)算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i＝(　　)A．－8i B．13＋8i C．8＋13i D．13－12i
解析：原式＝10－4i＋3－3i－5i＝13－12i.
解析：∵復(fù)數(shù)z1＋z2＝1－i＋a＋2ai＝1＋a＋(2a－1)i是純虛數(shù)，∴a＋1＝0，2a－1≠0，∴a＝－1.
3．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝(3＋2i)(1－i)2，則z＝(　　)A．4＋6i B．4－6i C．6＋4i D．6－4i
解析：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算得：z＝(3＋2i)(1－i)2＝－2i(3＋2i)＝4－6i.
4．已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的虛部為________．
解析：z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，所以復(fù)數(shù)z的虛部為3.

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第二冊(cè)電子課本

3.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

版本： 湘教版（2019）

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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